MATLAB在时域分析中的应用

控制系统计算机仿真Lirui@时域分析法续基于Simulink的PID控制器设计改善系统时域响应性能的措施二阶系统参数对时域响应性能的影响时域响应性能指标求取LTIViewer应用TheComputerSimulationofControlSystemUESTC（2）单位阶跃响应的求法：控制系统工具箱中给出了一个函数step()来直接求取线性系统的阶跃响应，如果已知传递函数为：则该函数可有以下几种调用格式：step(num,den)

(a)step(num,den,t)

(b)或

step(G)

(c)step(G,t)

(d)TheComputerSimulationofControlSystemUESTC该函数将绘制出系统在单位阶跃输入条件下的动态响应图，同时给出稳态值。对于式(b)和(d)，t为图像显示的时间长度，是用户指定的时间向量。式(a)和(c)的显示时间由系统根据输出曲线的形状自行设定。如果需要将输出结果返回到MATLAB工作空间中，则采用以下调用格式：

c=step(G)此时，屏上不会显示响应曲线，必须利用plot()命令去查看响应曲线。plot可以根据两个或多个给定的向量绘制二维图形

TheComputerSimulationofControlSystemUESTC

已知传递函数为：G(s)=25/(s^2+4s+25)

利用以下MATLAB命令可得阶跃响应曲线如图3-2所示

num=[0025];

den=[1425];step(num,den)TheComputerSimulationofControlSystemUESTC典型环节及其传递函数一、典型环节及其传递函数典型环节通常分为以下六种：1比例环节式中K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。动态方程传递函数TheComputerSimulationofControlSystemUESTC典型环节及其传递函数2惯性环节3纯微分环节动态方程传递函数动态方程传递函数TheComputerSimulationofControlSystemUESTC典型环节及其传递函数4一阶微分环节5二阶微分环节动态方程传递函数动态方程传递函数TheComputerSimulationofControlSystemUESTC典型环节及其传递函数6积分环节7振荡环节式中ξ－阻尼比-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）动态方程传递函数动态方程传递函数TheComputerSimulationofControlSystemUESTC典型环节及其传递函数8纯时间延时环节式中－延迟时间动态方程传递函数TheComputerSimulationofControlSystemUESTC典型试验信号二、典型试验信号Typicaltestsignals（单位）阶跃函数（Stepfunction）

（单位）斜坡函数（Rampfunction）（单位）加速度函数（Accelerationfun）（单位）脉冲函数（Impulsefunction）

正弦函数（Simusoidalfunction）TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标三、动态性能指标上升时间响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快峰值时间：响应曲线达到峰值所需要的时间。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标动态性能指标调节时间（SettlingTime）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示。

超调量%

：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即

即：ttrTheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标求取四、时域响应性能指标求取1.峰值时间（timetopeak）峰值时间可由下述命令获得：[Y,k]=max(y)%求出y的峰值及相应的时间timetopeak=t(k)%获得峰值时间TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标求取2.超调量（Percentovershoot）超调量可由以下命令获得：C=dcgain(G)%求取系统的终值[Y,k]=max(y)%求出y的峰值及相应的时间percentovershoot=100*(Y-C)/C%计算超调量TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标求取C=dcgain(G);%求取系统的终值n=1;whiley(n)<0.1*C%通过循环，求取输出第一n=n+1;次到达终值的10%的时间endm=1;whiley(n)<0.9*C%通过循环，求取输出第一

m=m+1;

次到达终值的90%的时间endrisetime=t(m)-t(n)3.上升时间TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标求取4.调节时间（settingtime）C=dcgain(G);i=length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)i=i-1;endSettingtime=t(i)TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标求取例1已知二阶系统传递函数为编程求取系统的性能指标。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC时域响应性能指标求取

G=zpk([],[-1+3*i,-1-3*i],3);%计算最大峰值时间和它对应的超调量。

C=dcgain(G)[y,t]=step(G);plot(t,y)grid[Y,k]=max(y);timetopeak=t(k)percentovershoot=100*(Y-C)/CTheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统的时域分析%计算上升时间。n=1;whiley(n)<Cn=n+1;endrisetime=t(n)TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统的时域分析%计算稳态响应时间。

i=length(t);while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)i=i-1;endSettingtime=t(i)TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响C=0.300timeopeak=1.0491percentovershoot=

35.0914risetime=0.6626settingtime=3.5337运行程序后，结果为：TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响五、二阶系统参数对时域响应性能的影响二阶系统结构图：TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响二阶系统的标准形式：式中，n为无阻尼自由振荡角频率，简称固有频率；为阻尼系数；T=1/n为系统振荡周期。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响系统的特征方程为：系统的特征根为：TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响，为两个相等的根s1,2=-n(2)临界阻尼，两个不相等的根(3)过阻尼极点为一对纯虚根，s1,2=±jn瞬态响应变为等幅振荡.(1)无阻尼TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，(4)欠阻尼系统其阶跃响应为一种衰减振荡曲线。上升时间tr

峰值时间tpTheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响超调量

调整时间ts:与n成反比，其中，为允许误差。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响5.1闭环参数n和的影响

tr,tp和ts均与n成反比，因此，n越大则响应越快。唯一决定了p%的大小，越大，p%越小例2已知单位负反馈系统，其开环传递函数为其中n=1，试绘制分别为0,0.2,0.4,0.6,0.9,1.2,1.5时其单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响wn=1sigma=[0,0.2,0.4,0.6,0.9,1.2,1.5]figure(1);holdonnum=wn*wnt=linspace(0,20,200)'%将t在0到20之间均等分成200份fori=sigmaden=conv([1,0],[1,2*wn*i]);s1=tf(num,den)sys=feedback(s1,1)

TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响step(sys,t)gridendtitle('典型二阶系统取不同阻尼比时的单位阶跃响应')holdongtext('sigma=0');gtext('sigma=0.2');gtext('sigma=0.4');gtext('sigma=.6');gtext('sigma=0.9');gtext('sigma=1.2');gtext('sigma=1.5');TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响从图中可知：在为0.4~0.9的范围内，系统上升较快，超调又不太大,故工程上一般选这个范围，其中，尤以时响应较快，此时超调仅为4.3%，通常称最佳阻尼。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响5.2开环参数K和T的影响二阶系统可通过适当的变换写成如下形式对比标准二阶系统，可设即TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响可见：T越小，则n越大，也越大，系统的快速性和相对稳定性同时好转；K越大，则n越大，而越小，表明K对快速性和相对稳定性的影响是矛盾的。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响例3已知单位负反馈的二阶系统，其开环传函为其中T=1,试绘制k分别为0.1，0.2，0.5，0.8，1.0，2.4时，其单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响T=1k=[0.1,0.2,0.5,0.8,1.0,2.4]t=linspace(0,20,200)'num=1;den=conv([1,0],[T,1])forj=1:6s1=tf(num*k(j),den)sys=feedback(s1,1)

y(:,j)=step(sys,t);endTheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响plot(t,y(:,1:6));gridtitle(‘典型二阶系统取不同开环增益时的单位阶跃响应')gtext('k=0.1');gtext('k=0.2');gtext('k=0.5');gtext('k=0.8');gtext('k=1.0');gtext('k=2.4');TheComputerSimulationofControlSystemUESTC二阶系统参数对时域响应性能的影响TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施六、改善系统时域响应性能的一些措施6.1输出微分反馈TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施根据K,T与n,的关系，将原开环传递函数改写为:其中，n和是=0时原系统的固有频率和阻尼系数。当不等于0时，由其闭环传递函数可推出：TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施可见，加微分反馈后，系统的固有频率n不变，而阻尼比提高了。结论：输出微分反馈可在不改变快速性的条件下提高相对稳定性，因此在实际中可通过提高K来进一步提高快速性，而用来保证必要的相对稳定性。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施例4已知单位负反馈的二阶系统，其中T=1,K=1，试绘制分别为0,0.05,0.2,0.5,1.0,2.4时，其单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线。T=1k=1tou=[0,0.05,0.2,0.5,1.0,2.4]t=linspace(0,20,200)'num=1TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施forj=1:6den=conv([1,0],[T,1+tou(j)])s1=tf(num*k,den)sys=feedback(s1,1)

y(:,j)=step(sys,t);endplot(t,y(:,1:6));gridtitle('典型二阶系统采用输出微分反馈时的单位阶跃响应')gtext('tou=0');gtext('tou=0.05');gtext('tou=0.2');gtext('tou=0.5');gtext('tou=1.0');gtext('tou=2.4');TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施6.2比例微分控制其闭环传递函数为TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施可知：比例微分控制同样能实现在不改变n的条件下提高系统阻尼比作用类似输出微分反馈控制。但与输出微分反馈控制不同的是，在闭环传递函数中增加了一个零点，分析表明，它的存在将使系统的上升加快，但p%会有所增加，其趋势随的加大而加大TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施例5设系统闭环传递函数为试求取时的单位阶跃响应。解Matlab程序代码如下：TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施tou=[0,0.2,0.4]t=linspace(0,8,80)'num=4;den=[1,2,4]forj=1:3sys=tf(conv(num,[tou(j),1]),den)

y(:,j)=step(sys,t);endplot(t,y(:,1:3));gridtitle('比例微分控制，不同微分时间下的系统阶跃响应')gtext('tou=0');gtext('tou=0.2');gtext('tou=0.4');TheComputerSimulationofControlSystemUESTC改善系统时域响应性能的措施TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用七、LTIViewer应用（Linear-Time-InvariantViewer）LTIViewer的使用非常简单，只需要以下两步简单的操作：（1）在Matlab工作空间中建好控制系统的数学模型；（2）在命令窗口中输入“LTIViewer”，调出LTIViewer窗口，便可对控制系统进行许多功能的分析。下面以控制系统的模型为例进行介绍。TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用【步骤1】建立数学模型。【步骤2】进入LTIViewer窗口。TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用【步骤3】在LTIViewer中导入控制系统的模型。TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用【步骤4】操作功能丰富的现场菜单。TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用菜单的主要功能如下：PlotTypes:选择图形类型。Characteristics:可对不同类型的响应曲线标出相关特征值。Properties:对图形窗口进行编译，对显示性能参数进行设置。下图为选择冲击响应的图形。TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用【步骤5】配置图形窗口，实现多图形窗口显示。选择EditPlotConfigurations后，弹出图形配置对话框。TheComputerSimulationofControlSystemUESTCLTIViewer应用TheComputerSimulationofControlSystemUESTC基于Simulink的PID控制器设计控制器kpTiPT/(KL)0PI0.9T/(KL)L/0.30PID1.2T/(KL)2.2L0.5L八、Ziegler-Nichols整定法PID控制器：被控系统TheComputerSimulationofControlSystemUESTC基于Simulink的PID控制器设计八、Ziegler-Nichols整定法例6已知如图所示的控制系统。试采用Ziegler-Nichols整定公式计算系统P,PI,PID控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线TheComputerSimulationofControlSystemUESTC基于Simulink的PID控制器设计解:(1)获取开环系统的单位阶跃响应。TheComputerSimulationofControlSystemUESTC基于Simulink的PID控制器设计可得：L=2.2,T=9.2-2.2K=13.727TheComputerSimulationofControlSystemUESTC基于Simulink的PID控制器设计(2)P控制器：Kp=0.2318TheComputerSimulationofControlSystemUESTC基于Simulink的PID控制器设计TheComputerSimulationofControlSystemU