第14次课第6章弹性力学变分解法

第六章弹性力学的变分解法

偏微分方程求解的困难应力函数解法的限制计算机的广泛应用

6.1变形体的虚功原理6.2功的互等定理6.3最小势能原理

6.4最小势能原理的应用6.1变形体的虚功原理1.变形比能变形势能对于线弹性材料，单位体积的变形能：变形比能(变形比能)变形势能oWv:体积改变比能Wf:形状改变比能对W

进行分解有2.体积改变比能形状改变比能Wv:体积改变比能Wf:形状改变比能对W

进行分解有2.体积改变比能形状改变比能式中:体积改变比能形状改变比能3.平面问题变形比能表达式弯曲应力:弯曲力矩:式中I为对中性轴的惯性矩:则变形比能4.梁弯曲变形比能表达式变形势能xzo在Su

上在V内5.变形体的基本方程与边界条件在上SuSσV加载的变形体7.变形体的虚功原理SuSσV平衡方程组几何方程组加载的变形体

满足几何方程与上位移边界条件的位移,称可能位移；

与可能位移相应的应变，称可能应变；（1）可能位移可能应变可能应力可能位移可能应变

真实位移一定是可能位移。真实应变一定是可能应变。可能应力

满足平衡方程与上力边界条件的应力称为可能应力;真实应力一定是可能应力。7.变形体的虚功原理设变形体体积V，表面积为S。给定面力表面Ss

：成立；给定位移表面Su

：成立。

对平衡的变形体，外力在任一组可能位移上作的功，等于任一组可能应力在可能应变上作的功。

即在外力作用下，产生可能应力，可能位移，可能应变，则有外力的功:（2）虚功原理SuSσV内力的功：存在即此式为变形体的虚功方程。应用条件：弹性体、塑性体，小变形假设。

虚功原理：对平衡的变形体，外力在任一组可能位移上作的功，等于任一组可能应力在可能应变上作的功。在V内；在上。即有虚功原理说明：因为变形体是平衡的，所以有外力的功（称为外力的虚功）为虚功原理常用的一种形式：在真实位移与真实应力基础上,给定一个虚位移,

其产生一个相应的虚应变。虚位移原理虚位移:在真实位移的基础上，假想变形体各点产生了位移边界约束所允许的任意微小位移。属于可能位移。由虚功原理：虚应变:与虚位移相应的应变称虚应变。属于可能应变。(2)虚位移原理外力的虚功:内力的虚功:则有变形体的虚位移方程：虚位移原理：对平衡的变形体，给定其虚位移，外力虚功与内力虚功相等。从平衡条件和边界条件导出虚位移原理：此式即虚位移原理方程。（3）虚位移原理的等价性从虚位移原理方程导出平衡条件和边界条件：由于的任意性，有：（力边界条件）（平衡微分方程）

因此虚位移原理与平衡方程和力边界条件是等价的。即满足虚位移原理的解，一定满足平衡方程和力边界条件，或者说变形体平衡的充要条件是：外力所做的的虚功等于内力所作的虚功。也称为位移变分原理。因为对于真实位移应力有与变形体的虚位移原理是一致的。由上式对位移及相应的应变取变分得对于变形体的虚位移原理由于是微小的，所以有:由虚位移原理（位移变分原理）关于虚位移原理的进一步的解析令则对于有令则有即称为外力势能称为变形势能称为总势能对于内力的虚功内力的虚功在数值上等于变形体的虚变形势能。又称为变形体的虚变形势能。作用于弹性体的第一种外力状态(体力和面力)，在第二种外力状态对应的位移上所做的功，等于第二种状态外力在第一种状态对应的位移上所做的功。6.2功的互等定理

q

ΔV第二种外力状态第一种位移状态设F引起的体积改变为ΔVq在l上引起的线伸长为Δl则由功的互等定理有第一种外力状态FFΔVl第二种外力状态qΔll＝第一种外力状态第二种位移状态F

Δl总势能是应变分量的泛函，又是位移分量的泛函。总势能定义第一项变形势能总势能的变分第二项外力势能总势能6.3最小势能原理最小势能原理是变分表达的平衡条件的数学形式，等价于平衡微分方程和力边界条件。

1.最小势能原理：真实的位移使变形体的总势能取最（极）小值。最小势能原理说明，真实位移除满足位移边界条件外，还满足最小势能原理，即满足：上式称为总势能变分方程。6.3最小势能原理

瑞利-里兹法(Rayleigh-Ritz),给定几何边界条件。伽辽金法(Galerkin),给定混合边界条件。2.最小势能原理的应用基本思想构造一个位移试函数(几何可能的位移函数)通过总势能变分方程，使偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。满足边界条件：且代入总势能变分方程中可解出系数即对i不求和

(1)瑞利-里兹法：构造一个位移试函数即任意展开上式m=1，2，3…m=1，2，3…m=1，2，3…上式为瑞利-里兹法方程。对于(2)伽辽金法：由有展开上式(2)(1)即即得若位移试函数不仅满足位移边界条件，而且满足力边界条件，则有（1）、（2）式代入有也得

若位移试函数满足位移边界条件，不满足力边界条件，但满足积分形式的力边界条件，即

意义为在变形体V上内力与外力满足平衡方程。对于将代入上式得：展开上式为伽辽金方程。对于用位移表示的平衡方程代入上式有:展开上式将代入上式得：由于是任意的变分对于展开上式得

m=1，2，3…m=1，2，3…m=1，2，3…上式也为伽辽金方程。对于(2)满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0解1：(1)构造位移试函数例题：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度w(x)

。(3)总势能xzo所以回代有

(4)根据m为奇数m为偶数m为奇数m为偶数xzo取1项

取2项

取3项

取4项

取5项

取6项

如果取一项这一结果与材料力学值的相对误差为0.38%

。挠曲线表达式是无穷级数—精确解；这个级数收敛很快，只要取前两项就可以得到足够的精度。材料力学解

xzo(2)位移边界条件:w|x=0

=0,w|x=l

=0

力边界条件:w"|x=0

=0,w"

|x=l

=0(因M=-EIw”)(1)位移试函数可见w(x)满足位移边界条