第2章数据的表述

第二章数据的表述一、数据的分类二、数据的整理三、数据的概括性度量指标主要内容目录一、数据的分类（一）数据分类的原则互斥原则：每一个数据只能划归到某一类型中，而不能既是这一类，又是那一类。穷尽原则：所有被观察的数据都可被归属到适当的类型中，没有一个数据无从归属。（二）数据的类型1.定性数据和定量数据定性数据：用文字描述的。如消费者对国美所提供服务的总体评价等都属于文字描述的定性数据。定量数据：用数字描述的。如企业的净资产额、净利润额等。2.离散型数据和连续型数据类型离散型变量：数据只能取整数。如一家公司的职工人数。连续型变量的数据可以取介于两个数值之间的任意数值。如销售额、经济增长率等。

3.数据的四个等级定类数据例如，对人口按性别划分为男性和女性两类。也称列名数据（分类数据），这种数据只对事物的某种属性和类别进行具体的定性描述。能够进行的唯一运算是计数，即计算每一个类型的频数或频率（即比重）。定序数据例如，对企业按经营管理的水平和取得的效益划分为一级企业、二级企业等。定序数据，也称顺序数据，是对事物所具有的属性顺序进行描述。定距数据如10℃、20℃等。它不仅有明确的高低之分，而且可以计算差距，如20℃比10℃高10℃，比5℃高15℃等。也称间距数据，是比定序数据的描述功能更好一些的定量数据。定距测定的量可以进行加或减的运算，但却不能进行乘或除的运算。定比数据如产量、产值、固定资产投资额、居民货币收入和支出、银行存款余额等。也称比率数据，是比定距数据更高一级的定量数据。它不仅可以进行加减运算，而且还可以作乘除运算。测定层次特征运算功能举例1.定类测定2.定序测定3.定距测定4.定比测定分类分类；排序分类；排序；有基本测量单位分类；排序；有基本测量单位；有绝对零点计数计数；排序计数；排序；加减计数；排序；加减乘除产业分类企业等级温度商品销售额统计数据四个层次的概括

《知音漫客》问卷大调查Q1.看完《知音漫客》第五集的感觉是什么？1.非常有趣2.有点有趣3.一般4.有点无趣5.非常无趣Q2.你的性别是？1.女2.男Q3.你的年龄是？___岁Q4.平均每月购买几本杂志？___本气温是什么数据？出生地呢？柔道的段位？体重？二、统计数据的整理统计搜集到的大量资料是分散的，不系统的，只能说明各个单位的特征和属性，必须按照科学的原则加以整理，使之条理化和系统化，成为便于储存和传递的、反映总体特征的数据。基本问题要弄清所面对的数据类型不同类型的数据，采取不同的处理方式和方法对分类数据和顺序数据主要是作分类整理对数值型数据则主要是作分组整理适合于低层次数据的整理和显示方法也适合于高层次的数据；但适合于高层次数据的整理和显示方法并不适合于低层次的数据分类数据的整理与图示定类数据的整理

(基本过程)1. 列出各类别2.计算各类别的频数3.制作频数分布表4.用图形显示数据分类频数比例百分比比率ABCDE定类数据的整理

(可计算的统计量)

SPSS中的频数分布表频数（Frequency)：变量值落在某个区间（或某个类别）中的次数。百分比（Percent):各频数占总样本数的百分比。有效百分比（ValidPercent):各频数占有效样本数的百分比。定类数据整理—频数分布表

(例题分析)【例】一家市场调查公司为研究不同品牌饮料的市场占有率，对随机抽取的一家超市进行了调查。调查员在某天对50名顾客购买饮料的品牌进行了记录，如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌名字记录一次。右边就是记录的原始数据绿色健康饮品使用Excel计数函数(COUNTIF)如果只需要计算某一类别的数据个数，可以使用Excel中的统计函数【COUNTIF】。在对话框【Range】后输入数据区域，在【Criteria】后输入数字、表达式、字符串等，计数单元格必须符合的条件，即可得出结果例如，我们要计算出可口可乐出现的频数，在【Range】后输入A1:A50(数据所在的区域)，在【Criteria】后输入“可口可乐”，结果为15。如果数据区域是数值型数据，计算符合特定条件的数据个数，则可在【Criteria】后输入“>某一数值”、“<某一数值”、“=某一数值”，等等统计函数—COUNTIF分类数据的图示—条形图

(barchart)用宽度相同的条形的高度或长短来表示各类别数据的图形有单式条形图、复式条形图等形式主要用于反映分类数据的频数分布绘制时，各类别可以放在纵轴，称为条形图，也可以放在横轴，称为柱形图(columnchart)分类数据的图示—条形图

(例题分析)分类数据的图示—帕雷托图(Paretochart)按各类别数据出现的频数多少排序后绘制的柱形图主要用于展示分类数据的分布分类数据的图示—对比条形图

(side-by-sidebarchart)分类变量在不同时间或不同空间上有多个取值对比分类变量的取值在不同时间或不同空间上的差异或变化趋势电脑品牌一季度二季度联想256468IBM285397康柏247328戴尔563688分类数据的图示—对比条形图

(例题分析)分类数据的图示—饼图

(piechart)也称圆形图，是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形主要用于表示样本或总体中各组成部分所占的比例，用于研究结构性问题绘制圆形图时，样本或总体中各部分所占的百分比用圆内的各个扇形角度表示，这些扇形的中心角度，按各部分数据百分比占3600的相应比例确定分类数据的图示—饼图

(例题分析)顺序数据的整理

(可计算的统计量)1.

累积频数(cumulativefrequencies)：各类别频数的逐级累加2.累积频率(cumulativepercentages)：各类别频率(百分比)的逐级累加顺序数据的频数分布表

(例题分析)【例】在一项城市住房问题的研究中，研究人员在甲乙两个城市各抽样调查300户，其中的一个问题是：“您对您家庭目前的住房状况是否满意？”1．非常不满意；2．不满意；3．一般；4．满意；5．非常满意。甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)向下累积向上累积户数(户)百分比(%)户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510241322252703008.044.075.090.0100.03002761687530100.092562510合计300100.0————顺序数据的频数分布表

(例题分析)乙城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别乙城市户数(户)百分比(%)向上累积向下累积户数(户)百分比(%)户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意21997864387.033.026.021.312.7211201982623007.040.066.087.3100.030027918010238100.093.060.034.012.7合计300100.0————顺序数据的图示—累计频数分布图

(例题分析)243001322252700100200300400

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意累积户数（户）(a)向上累积27616830300750100200300400

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意累积户数（户）(b)向下累积甲城市家庭对住房状况评价的累积频数分布环形图

(doughnutchart)环形图中间有一个“空洞”，样本或总体中的每一部分数据用环中的一段表示与饼图类似，但又有区别饼图只能显示一个总体各部分所占的比例环形图则可以同时绘制多个样本或总体的数据系列，每一个样本或总体的数据系列为一个环用于结构比较研究用于展示分类和顺序数据环形图

(例题分析)8%36%31%15%7%33%26%21%13%10%

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意

甲乙两城市家庭对住房状况的评价数值型数据的整理与展示数据分组分组方法分组方法等距分组异距分组单变量值分组组距分组单变量值分组

(要点)1.

将一个变量值作为一组2.适合于离散变量3.适合于变量值较少的情况组距分组

(要点)将变量值的一个区间作为一组适合于连续变量适合于变量值较多的情况需要遵循“不重不漏”的原则可采用等距分组，也可采用不等距分组~~~~~组距分组

(步骤)确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。在实际分组时，组数一般为5K15,可以按Sturges

提出的经验公式确定组数K确定组距：组距(classwidth)是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即组距＝(最大值-最小值)÷组数统计出各组的频数并整理成频数分布表组距分组

(几个概念)1.下限(lowlimit)：一个组的最小值2.上限(upperlimit)：一个组的最大值3.组距(classwidth)：上限与下限之差4.组中值(classmidpoint)：下限与上限之间的中点值下限值+上限值2组中值=频数分布表的编制

(例题分析)【例】表中是某电脑公司2005年前四个月各天的销售量数据(单位：台)。试对数据进行分组频数分布表的编制

(步骤)确定组数：根据

Sturges

提出的经验公式得组数K为确定各组的组距

组距＝(237-141)÷10=9.610

用Excel制作频数分布表

等距分组表

(上下组限重叠)等距分组表

(上下组限间断)等距分组表

(使用开口组)使用Excel频数函数(FREQUENCY)Excel的【直方图】工具的缺陷是：频数分布及直方图没有与数据链接，当改变任何一个数据时，频数分布表和直方图不会跟着改变使用统计函数【FREQUENCY】创建频数分布表和直方图可解决这一问题。具体步骤是选择与接受区域相临近的单元格区域，作为频数分布表输出的区域选择统计函数中的【FREQUENCY】函数在对话框【Date-array】后输入数据区域，在【Bins-array】后输入接受区域同时按下“Ctrl-Shift-Enter”组合键，即得到频数分布统计函数—FREQUENCY数值型数据的图示Excel分组数据—直方图和折线图分组数据—直方图

(histogram)用于展示分组数据分布的一种图形用矩形的宽度和高度来表示频数分布本质上是用矩形的面积来表示频数分布在直角坐标系中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图直方图下的总面积等于1分组数据的图示

(直方图的绘制)140150210直方图下的面积之和等于1某电脑公司销售量分布的直方图我一眼就看出来了，销售量在170～180之间的天数最多!190200180160170频数(天)25201510530220230240销售量（台）分组数据—直方图

(直方图与条形图的区别)条形图是用条形的长度(横置时)表示各类别频数的多少，其宽度(表示类别)则是固定的直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或百分比，宽度则表示各组的组距，其高度与宽度均有意义直方图的各矩形通常是连续排列，条形图则是分开排列条形图主要用于展示分类数据，直方图则主要用于展示数值型数据分组数据—折线图

(frequencypolygon)折线图也称频数多边形图是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是第一个矩形的顶部中点通过竖边中点(即该组频数一半的位置)连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布一致分组数据的图示

(折线图的绘制)折线图与直方图下的面积相等！140150210某电脑公司销售量分布的折线图190200180160170220230240频数(天)25201510530销售量（台）未分组数据—茎叶图

(stem-and-leafdisplay)用于显示未分组的原始数据的分布由“茎”和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的以该组数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶树叶上只保留最后一位数字对于n(20n300)个数据，茎叶图最大行数不超过

L=[10×lg

n]未分组数据—茎叶图

(例题分析)某电脑公司销售量分布的茎叶图茎叶图与直方图的区别茎叶图类似于横置的直方图，但又有区别直方图可观察一组数据的分布状况，但没有给出具体的数值茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，保留了原始数据的信息直方图适用于大批量数据，茎叶图适用于小批量数据随时间起舞的图—线图

(lineplot)表示时间序列数据趋势的图形时间一般绘在横轴，数据绘在纵轴图形的长宽比例大致为10:74.一般情况下，纵轴数据下端应从“0”开始，以便于比较。数据与“0”之间的间距过大时，可以采取折断的符号将纵轴折断

(例题分析)【例】我国1991～2003年城乡居民家庭的人均收入数据如右表。试绘制线图￥

＄

1991～2003年城乡居民家庭人均收入年份城镇居民农村居民19911992199319941995199619971998199920002001200220031700.62026.62577.43496.24283.04838.95160.35425.15854.06280.06859.07702.88472.2

708.6784.0921.61221.01577.71926.12091.12162.02210.32253.42366.42475.62622.2

(例题分析)留意象形图右图是象形图，象形图其实就是柱状图，以图形取代柱体。这个图的目标是广告商，他们正在考虑预算要花在什么地方。这个图显示，《时代杂志》吸引了大量的广告支出。真是这样的吗？笔顶端的数字显示在《时代杂志》的广告费是《新闻周刊》的1.64倍。注意刻度改变线图的刻度所产生的效果：两个图所展示的是同一组数据，但是右边的图使得增加的速度看起来快得多。怎样把图画好一定要在表示与说明里表示清楚，图里面变量是什么，单位是什么，以及资料来源。要让数据很醒目。要确实注意到，抓住看图者注意力的是数据本身，而不是标示，格子，或者背景。你是在画一个呈现数据的图，而不是在搞艺术创作。要注意实际上眼睛会捕捉到什么。避免用象形图，而且要注意刻度。也不要用很炫目的“三维空间”效果，因为那只会让人看得迷迷糊糊，不会增加看的人对数据的了解。蹩脚的图右图显示，25岁以上女性拥有高学位的比率增加了。一共只有五个数据点。所以线图应该很简单，但右图可不简单，画图的人大概忍不住在背景中加画些东西。三、变量的概括性度量4-60

第四章综合指标4-62

数值平均数位置平均数算术平均数几何平均数中位数众数集中趋势的测度四分位数4-63

众数分布数列中出现频数(率）最多的变量值。

存在条件位置平均数

总体单位数较多；变量值的次数分布有明显的集中趋势特点不受极端值和开口组的影响，增强对数列一般水平的代表性；是一个不易确定的平均指标例：7名工人日产量（件）为4、5、6、6、6、7、8。则众数是6。由未分组资料确定众数4-65

【例】：已知某企业某日工人的日产量资料如下:

计算工人日产量的众数。日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800单项数列4-66

【例】以下是教师按年龄分组的资料，计算教师年龄的众数。教师按年龄分组（岁）人数（人）20—30830—402840—501650—6010合计62组距数列4-67

中位数

各单位变量值按顺序排列，位于中点位置的变量值。1、未分组资料：4562747879818587903645487881848588变量值的个数是奇数:变量值的个数是偶数:

排序：

中位数位次：

计算中位数的位次：中位数为:(78+81）/2=79.5中位数为:79

确定中位数组

根据公式计算中位数（组距式分组）2、分组资料：4-69

【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人日产量的中位数。

日产量（件）工人人数（人）向下累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—

单项数列中位数的位次：4-70

【例】以下是教师按年龄分组的资料，计算教师年龄的中位数。教师按年龄分组（岁）人数（人）向下累计人数20—30830—402840—501650—6010合计628365262----组距数列四分位数

(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%四分位数

(位置的确定)原始数据：分组数据：数值型数据的四分位数

(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789数值型数据的四分位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345678910顺序数据的四分位数

(例题分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225

从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中

四分位数为

QL

=不满意

QU

=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意

2410893

4530

24132225270300合计300—箱线图

(boxplot)用于显示未分组的原始数据的分布由一组数据的5个特征值绘制而成，它由一个箱子和两条线段组成绘制方法首先找出一组数据的5个特征值，即最大值、最小值、中位数Me和两个四分位数(下四分位数QL和上四分位数QU)连接两个四分位数画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接该箱线图也称为Median/Quart./Range箱线图

未分组数据—单批数据箱线图

(箱线图的构成)中位数4681012QUQLX最大值X最小值Median/Quart./Range箱线图未分组数据—单批数据箱线图

(例题分析)最小值141最大值237中位数182下四分位数170.25上四分位数197140150160170180190200210220230240某电脑公司销售量数据的Median/Quart./Range箱线图分布的形状与箱线图

对称分布QL中位数

QU左偏分布QL中位数

QU右偏分布QL

中位数

QU不同分布的箱线图未分组数据—多批数据箱线图

(例题分析)【例】

从某大学经济管理专业二年级学生中随机抽取11人，对8门主要课程的考试成绩进行调查，所得结果如右表。试绘制各科考试成绩的批比较箱线图，并分析各科考试成绩的分布特征11名学生各科的考试成绩数据课程名称学生编号1234567891011英语经济数学西方经济学市场营销学财务管理基础会计学统计学计算机应用基础76659374687055859095818775739178975176857092688171748869846573957078669073788470936379806087816786918377769070828382928481706972787578918866948085718674687962818155787075687177未分组数据—多批数据箱线图

(例题分析—Median/Quart./Range)8门课程考试成绩的Median/Quart./Range箱线图11名学生8门课程考试成绩的Median/Quart./Range箱线图min-max25%-75%medianvalue455565758595105学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10学生11未分组数据—多批数据箱线图

(例题分析—Median/Quart./Range)

集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据均值（算数平均数）mean4-84

（二）计算与应用未分组资料：

简单算术平均数例：两组推销人员某日的销售量分别是（箱）：一组：10、16、15、8、14、11二组：8、11、13、12、17、14、9比较哪个组的销售成绩好？

一组平均销售量：12.33二组平均销售量：124-85

例：以下是50个工人每人每天加工的某种零件数分组（件）：

分组资料：

工人按日产量分组（X）人数（f）

总产量（X•f）

20120214842261322381842412288251025026718227254合计501194

工人的平均日产量:4-86

——加权算术平均

权数

2）如果该班有20名学生，平均分是多少？3）如果不知道该班的学生数，能否算出平均分？1）如果该班有10名学生，平均分是多少？反映了各组的变量值对平均数的影响程度例：一次智力测试中，班级学生有30%得5分，50%得4分，10%得3分，10%得1分。4-87

成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成绩（分）619980影响总体平均数的因素?各组频数（频率）各组变量值4-88

【例】某投资项目评估，将项目投产时，市场可能发生景气、一般、不景气三种情况，分别估计项目年利润和可能的频率如下

：计算该项目平均年利润。市场情况年利润（万元）X频率（%）(fi/∑fi）景气一般不景气

200120505030201004-89

数学性质各变量值与其算术平均数的离差之和等于零

在分析和计算上非常简捷、便利。各个变量值与其平均数离差平方之和为最小值不足：易受极端变量值的影响；开口式的组距数列，组中值不易确定，影响其代表性。4-90

几何平均数Geometricmean用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：n个变量值乘积的n次方根

4-91

【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。简单公式及应用应用条件：资料未分组（各变量值次数都是1）。4-92

分

析设最初投产A个单位

，则

第一道工序的合格品为A×0.95；第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92；

……

第五道工序的合格品为

（A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，

故该流水线总的合格品应为

A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：结论：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。4-93

【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。加权公式及应用

应用条件：资料经过分组，各组次数不同。4-94

分析：设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为：第12年末的本利和为：第2年的计息基础第12年的计息基础………………

结论：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。4-95

几何平均数的适用范围当变量值是相对数，而且变量值之间存在连乘关系，反映现象的一般水平用几何平均数。切尾均值

(trimmedMean)

去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值在电视大奖赛、体育比赛及需要人们进行综合评价的比赛项目中已得到广泛应用计算公式为n表示观察值的个数；α表示切尾系数，

切尾均值

(例题分析)

【例】某次比赛共有11名评委，对某位歌手的给分分别是：

经整理得到顺序统计量值为去掉一个最高分和一个最低分，取1/11

4-99

各种平均数的比较（一）各种平均数的特点及应用场合

是就全部数据计算的，具有优良的数学性质，实际中应用最为广泛。其主要缺点是易受极端值的影响，对偏态分布其代表性较差。G主要用于计算比率数据的平均数,易受极端值的影响。不受极端值大小的影响，对偏态分布其代表性较好。但不是根据所有的变量值计算的.不受极端值的影响,对偏态分布其代表性较好.但不是根据所有的变量值计算的.

4-100

（二）平均数、中位数、众数的关系对称分布左偏分布右偏分布皮尔生经验公式：4-101

例：某地居民去年医疗费支出的众数是300元，算术平均数为250元，（1）计算中位数近似值；（2）说明该地居民医疗费支出额分布的态势（3）若该地居民医疗费支出额小于400元的人数占一半，众数仍为300元，估计算术平均数，并说明其分布态势。解：1.

3、4-102

平均数计算只宜用于同质总体应结合分配数列和组平均数补充说明总平均数按地势分组甲

地乙

地播种面积（亩）平均亩产（千克/亩）播种面积（亩）平均亩产（千克/亩）旱田190380200320水田70640300620合计260450500500应用平均指标须注意的问题

4-103

一组：8576758281747279二组：7080829093546095平均值变量值频率变量变动度----数据分布离散程度4-104

测定离散程度的意义1.反映各单位变量值分布的离中趋势2.说明平均指标对总体的代表性程度3.说明现象变动的均匀性或稳定性程度指总体中各单位变量值背离分布中心的规模或程度，用离散程度

来反映。离散程度反映统计数据差异程度的综合指标，也称为变量变动度4-105

1、极差(range)分布离散程度的测度

优点:计算方法简单、易懂；

缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有变量值差异大小及分布状况，准确程度差R=max(xi)-min(xi)2.内距(Inter-QuartileRange,IQR)

也称四分位差上四分位数与下四分位数之差

内距=Q3

–Q1反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响可用于衡量中位数的代表性3.方差和标准差

(VarianceandStandarddeviation)1. 离散程度的测度值之一2. 最常用的测度值3. 反映了数据的分布反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012x=8.3总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式样本方差和标准差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!自由度(degreeoffreedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为n时，若样本均值x确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则x=5。当x

=5确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而