第二讲抽样分布与分位数

第二讲抽样分布与分位数P135一c2

分布(卡方分布)二t分布(student分布)三F分布四抽样分布五大定理五单侧分位数统计量g(X1,X2,…,Xn)既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”

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由阿贝(Abbe)于1863年首先给出,海尔墨特(Hermert)和皮尔逊(K.Person)分别于1875和1900年导出的

一c2分布(卡方分布)P135

(k.Pearson,1857-1933)英国著名统计学家1879年毕业于剑桥大学，1901年，他与高尔顿、韦尔登创办的生物统计学杂志《biometrika》,使数理统计有了自己的阵地。他发展了一系列频率曲线，将复相关和回归理论扩展到许多领域，并为大样本理论奠定了基础。皮尔逊的最大贡献是在1900年发表的一篇文章中引进的拟合优度的卡方检验。不少人把这视为近代统计学的开端。12

分布的定义设令...相互独立则Y的概率密度函数为称Y服从自由度为n的2分布记为:Y~2(n)

2不同自由度的c2-分布密度曲线c2n=1n=4n=10n=20分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称二t分布(student分布)P137

t分布是高塞特于1908年在一篇以“学生”（student为笔名的论文中首先提到的

高塞特（W、S、Cosset，1876-1937）美国人，t分布的发现者，年轻时在美国牛津大学学习数学与化学，1899年在一家酿酒厂任酿酒技师，从事实验和数据分析工作。这项工作中进行的小样本实验的结果使他怀疑存在一个不属于正态分布曲线的其它分布,经过研究，终于得到新的密度曲线,并与1908年以笔名“student”发表此次结果。故后人称次分布为“学生氏分布”或“t分布”。

Cosset的t分布打开了人们的思路,开创了小样本方法的研究。1t分布分布的定义设随机变量X,Y相互独立，且X

~N(0,1)

Y~c2(n)，令称T服从有n个自由度的t分布

记为:T~t(n)则T的概率密度函数为:2不同自由度的t分布密度曲线xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(n=13)t(n=5)zt分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布三F分布P138

F分布是以统计学家费歇（R.A.Fisher）姓氏的第一个字母命名的费歇(R.A.Fisher,1890-1962),英国统计学家,遗传学家,现代数理统计的主要奠基人之一。他是使统计成为一门有坚实理论基础并获得广泛应用的主要统计学家。对数理统计有众多贡献,内容涉及估计理论,假设检验,实验设计和方差分析等重要领域，他还是一位举世闻名的遗传学家，优生学家，他用统计方法对这些领域进行研究，作出了许多重要贡献。由于他的成就，他曾多次获得美国和许多国家的荣誉。1F分布的定义设X

~c2(n1),Y

~c2(n2),X与Y独立称F服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布则F的概率密度函数为:简记为F~F(n1,n2)2不同自由度的F分布密度曲线F(1,10)(5,10)(10,10)定理1(样本均值的分布)P140四抽样分布五大定理设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有即3在总体求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率中随机抽取容量为5的样本，解=0.2628

6设总体则容量n应取多大,才能使得是X的样本,解所以n最小为35定理2(样本方差的分布)P140设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有(2)与相互独立定理3设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理4(两总体均值差的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有Y1,Y2,…,是样本定理5(两总体方差比的分布)P140分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本设0<<1,对随机变量X，称满足1定义：的点为X关于

的单側分位数.五单側分位数2标准正态分布的上分位数的求法问题倒查1-α的求法是:例倒查0.975=1.96倒查0.95=1.64P301例如:分布的上分位数3自由度为n的P304例