2022年北京海淀高三一模数学试题及答案

2023年最新整理——考试真题资料2023年最新整理——考试真题资料2023年最新整理——考试真题资料2022年北京海淀高三一模数学试题及答案本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{}12Axx=−≤≤，{}0Bxx=>则AB⋃=（）（A）{}2xx≤（B）{}1xx≥−（C）{}1xx>−（D）{}0xx>（2）在复平面内，复数z对应的点为（1，-1），则()1iz+=（）（A）2（B）2i（C）-2i（D）-2（3）双曲线2213xy−=的离心率为（）（A）3（B）3（C）3（D（4）在4)x的展开式中，2x的系数为（）（A）-1（B）1（C）-4（D）4（5）下列命题中正确的是（）（A）平行于同一个平面的两条直线平行（B）平行于同一条直线的两个平面平行（C）垂直于同一个平面的两个平面平行（D）垂直于同一条直线的两个平面平行（6）已知直线:1laxby+=是圆22220xyxy+−−=的一条对称轴，则ab的最大值为（）（A）14（B）12（C）1（D（7）已知角α的终边绕原点O逆时针旋转号23π后与角β的终边重合，且cos()1αβ+=，则α的取值可以为（）（A）6π（B）3π（C）23π（D）56π（8）已知二次函数()fx的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()gx的图象，则不等式2()loggxx>的解集是（）（A）(,2)−∞（B）(2,)+∞（C）（0,2）（D）（0,1）（9）在ABC△中，4Aπ=，则sin2B<是“ABC△是钝角三角形”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：人中随机抽取7人，用,XY分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比。给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0：③,XY的取值范围都是120,,65⎧⎫⎨⎬⎩⎭；④()()EXEY<．其中，正确结论的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知抛物线22ypx=的准线方程为1x=−，则p=____________．（12）已知{}na是等比数列，nS为其前n项和。若2a是1a，2S的等差中项，415S=，则q=____________1a=____________．（13）若函数()21xfxa=−−的值域为[)1−+∞,，则实数a的一个取值可以为____________．（14）已知12,ee，是单位向量，且120ee⋅=，设向量12aeeλμ=+，当1λμ==时，1,ae<>=_________．当2λμ==时，1ae−=，的最小值为_________．（15）已知函数2cos()1xfxxπ=+，给出下列四个结论：①()fx是偶函数；②()fx有无数个零点；③()fx的最小值为12−；④()fx的最大值为1其中，所有正确结论的序号为_________．三、解答题共6小题。共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）设函数()2sincoscos2()fxxxAxA=+∈R。已知存在A使得()fx同时满足下列三个条件中的两个：条件①：()0fx=；条伴②：()fx；条件：8xπ=是()fx图象的一条对称轴。（Ⅰ）请写出()fx满足的两个条件，并说明理由：（Ⅱ）若()fx在区间(0,)m上有且只有一个零点，求m的取值范围。（17）（本小题14分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形。平面11AADD⊥平面ABCD，2AD=，11AAAD=．（Ⅰ）求证：1ADAB⊥；（Ⅱ）若直线AB与平面11ADC，所成角的正弦值为7，求1AA，的长度。《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点），相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低。根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表。（Ⅰ）根据表中数据。估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（Ⅱ）据统计。睡眠指数得分在区间[)76,90内的人群中，早睡人群约占80%，从睡眠指数得分在区同[)76,90内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望()EX；（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[)76,90内．试判断的分布列这种说法是否正确，并说明理由．（19）（本小题14分）已知函数()2()1xfxeaxx=−+。（I）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()fx在0x=处取得极大值，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数()fx存在最小值，直接写出a的取值范围。（20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=>>的下顶点A和右顶点B都在直线11:(2)2lyx=−上．（1）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）不经过点B的直线2:lykxm=+交椭圆C于两点,PQ，过点P作x轴的垂线交1l于点D，点P关于点D的对称点为E．若,,EBQ三点共线，求证：直线2l经过定点，设m为正整数，若无穷数列{}na满足(1,2,,;1,2,)ikiikaaiimk+=+==，则称{}na为mP数列。（Ⅰ）数列{}n是否为1P，数列？说明理由；（Ⅱ）已知,,nsnatn⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,其中,st为常数．若数列{}na为2P数列，求,st；（Ⅲ）已知3P数列{}na满足186660,2,(1,2,)kkaaaak+<=<=，求na．高三数学参考答案2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。说明：12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（Ⅰ）()fx满足条件②和条件③.由()2sincoscos2fxxxAx=+，得()sin2cos2)fxxAxxϕ=+=+,ππ(,tan)22Aϕϕ-<<=所以()fx由条件②：()fx，=，得1A=±.当1A=时，π())4fxx=+，π()8f=，满足条件③，当1A=-时，π())4fxx=-，π()08f=，不满足条件③，所以，()fx满足条件②和③，且π())4fxx=+.（Ⅱ）方法1:当0xm<<时，πππ22444xm<+<+,因为()fx在区间(0,)m上有且只有一个零点，所以ππ22π4m<+≤，得3π7π88m<≤，所以m的取值范围是3π7π(,]88.方法2:令π2π,4xkk+=∈Z，得1ππ,28xkk=-∈Z.所以()fx的所有零点为1ππ,28kk-∈Z，即π3π7π,,,,888-因为()fx在区间(0,)m上有且只有一个零点，所以该零点为3π8,m的取值范围是3π7π(,]88（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）在四棱柱1111ABCDABCD-中，取棱AD中点为O，因为11AAAD=，所以1AOAD⊥.又因为平面11AADD⊥平面ABCD，且平面11AADD平面ABCDAD=，所以1AO⊥平面ABCD.所以1AOAB⊥.因为底面ABCD是正方形，所以ABAD⊥，因为1ADAOO=，所以AB⊥平面1AAD.所以AB⊥1AD，即1ADAB⊥.（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Oxyz-，设1OA长度为a，因为正方形ABCD的边长2AD=，则(0,0,0)O，(0,1,0)A-，(2,1,0)B-，(0,1,0)D，1(0,0,)Aa，1(2,2,)Ca.所以(2,0,0)AB=，1(0,1,)ADa=-，11(2,2,0)AC=.设平面11ADC的法向量为(,,)nxyz=，则1110,220,nADyaznACxy⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1z=，则,yaxa==-，于是(,,1)naa=-.因为AB与平面11ADC，所以cos,2ABnABnABn⋅<>===⋅⨯所以a所以12AA===.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.（Ⅱ）X的取值范围是{0，1，2，3}，303411=055125PXC⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）=12134112=155125PXC⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）=21234148=255125PXC⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）=30334164=355125PXC⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）=所以随机变量X的分布列为：所以随机变量X的数学期望11248641201231251251251255EX=⨯+⨯+⨯+⨯=（）.（Ⅲ）这种说法不正确.1例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为00.001510.111660.346760.486910.056⨯+⨯+⨯+⨯+⨯00.001660.346760.486910.056510.056510.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯00.001660.346760.486710.112510.055<⨯+⨯+⨯+⨯+⨯760.001760.346760.486760.112760.05576<⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以这种说法不正确.法2.例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为00.001510.111660.346760.486910.056⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0510.12660.35760.50910.0672.6876<+⨯+⨯+⨯+⨯=<.所以这种说法不正确.（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为2()(1)exfxaxx=-+，所以()01f=，()()21exfxxaxa'=+-，所以()00f'=，所以切线为：1y=.（Ⅱ）()()21exfxxaxa'=+-.（1）当0a=时，()exfxx'=-，令()0fx'=，得0x=，()fx与()fx'的情况如下：此时，()fx在0x=处取得极大值，符合题意；（2）当0a>时，令()0fx'=，得0x=，或12xa=-.①当102a<<时,120a->,()fx与()fx'的情况如下：此时，()fx在0x=处取得极大值，符合题意；②当12a=时，120a-=，()0fx'≥，()fx单调递增，无极大值，不符合题意；③当12a>时,120a-<,()fx与()fx'的情况如下：此时，()fx在0x=处取得极小值，不符合题意；（3）当0a<时，120a-<.()fx与()fx'的情况如下：此时，()fx在0x=处取得极大值，符合题意.综上，1,2a⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭.（Ⅲ）10,4⎛⎤⎥⎝⎦.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由11:(2)2lyx=-可知(0,1),(2,0),AB-椭圆方程22:14xCy+=,所以，离心率e.（Ⅱ）方法一：由2244ykxmxy=+⎧⎨+=⎩，得222(41)8440kxkmxm+++-=，由2222644(41)(44)0kmkm∆=-+->，得2241km+>.设1122(,),(,),PxyQxy6则2121222844,4141kmmxxxxkk-+=-=++，由题意得111111(,1),(,2)2DxxExxy---，因为,,BEQ三点共线，且直线BQ斜率存在，所以BQBEkk=，即21121222yxyxx--=--，所以122110(2)(2)(2)xyxxy=-----12211(2)()(2)(2)xkxmxxkxm=-+-----1212(21)(22)()(44)kxxmkxxm=-++-+-+222448(21)(22)()(44)4141mkmkmkmkk-=-++---+++化简得，2(41)2(21)0mkmkk++++=.所以(2)(2+1)=0mkmk++.又因为2(2,0)Bl∉，所以20,2+1=0mkmk+≠+,所以2l恒过定点(2,1)-.方法二：下面证明2l恒过定点(2,1)G-.设1122(,),(,),PxyQxy则111111(,1),(,2)2DxxExxy---,所以1111111221222BPBEyxyxkkxxx---+=+==---,设直线:(2)BPynx=-，代入2244xy+=,得：2222(41)161640nxnxn+-+-=,因为2222164822,4141PPnnxxnn--==++，7所以24(2)41PPnynxn-=-=+,所以2222411(21)418224241PPGPnynnknxn-++--+===---+，用1n-代替n，得22[2(1)1](21)44QGnnk-----==.所以PGQGkk=，所以,,PQG三点共线,所以2l恒过定点(2,1)G-.（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为nan=，所以111kkaka+=+=+．所以{}na是1P数列．（Ⅱ）因为{}na是2P数列，所以112tssttt⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩．，，解得01st⎧⎨⎩==-．，（Ⅲ）①先证明2121kkaa+=+(12k=⋅⋅⋅，，)．则2122221222112kkkkkkaaaaaa++++⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩．，，所以2121kkaa+=+(12k=⋅⋅⋅，，)．②再证明6616263kkkkaaaa+++，，，(12k=⋅⋅⋅，，)是公差为1的等差数列．设6kab=，611kab+=+，62kac+=，631kac+=+，则213cbcb⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩．，所以2cb=+．所以6616263k