量子力学第七章

第六章

自旋与全同粒子

1前言

尽管单粒子体系的薛定谔方程取得了很大的成功。但是该理论有很大的局限性。首先，绝大部分微观粒子都存在自旋，而前面讨论的问题都未涉及到粒子的自旋特征。另外，实际粒子体系一般多为多粒子体系，所以研究多粒子体系的问题更有实际意义。6.1电子自旋(Electronspin)施特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach）实验基本思想是通过讨论基态氢原子在非均匀磁场中运动情况，得知电子具有自旋的信息2

通电线圈只有在非均匀磁场中才可能受外力作用否则只能受外力矩作用，外力矩只能使它转动而不产生平动，具有自旋的氢原子也是如此

基态氢原子，总电量为0，轨道角动量也为0，即核外电子无轨道磁矩，表面上其运动应该不受磁场的影响，实际情况是氢原子在磁场中轨迹分裂成两条，这说明氢原子有自旋磁矩。3即自旋磁矩平行或反平行于外加磁场由此，氢原子运动情况与磁场和电子自旋磁矩的夹角有关，由于只有两个轨迹，所以电子的自旋磁矩只有两个方向，计算表明乌仑贝克.哥德斯米脱假设（1）每个电子具有自旋角动量，它在空间任意方向的取值只能有两个4（SI）

（CGS）在任意方面上的投影（SI）

（CGS）

（2）每个电子具有自旋磁矩

,它与自旋角动量的关系是（——玻尔磁子）

5自旋回转磁比率（磁矩与角动量的比值）：（SI）（CGS）

轨道磁矩与轨道角动量的关系：（SI）（CGS）

自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的两倍

（SI）（CGS）6§6.2电子的自旋算符和自旋函数1自旋算符

为了描述电子的自旋角动量的特性，需要引入一个厄米算符来表征电子的自旋角动量注意：自旋角动量是电子内部的一种固有特性，它是由电子的自身结构决定的，在经典理论中没有对应量，它不能表示为空间坐标和动量的函数。但是

作为自旋角动量，它与轨道角动量应该具有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关系7自旋角动量平方算符

与各分量间的对易关系为8

由于在空间任意方向上的投影只有两个取值，所以、、的本征值是

的本征值都是

即的本征值

将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般表示式:1.自旋算符的本征值它们相当于一个数值算符

93泡利算符s为自旋量子数为“磁”量子数为了讨论问题方便，引入泡利算符10对易关系泡利算符的平方算符11的本征值本征值的本征值都是

12Prove反对易关系Prove134．自旋算符的矩阵表示

描述电子自旋角动量状态，类似于一般角动量的描述方法，通常选作为力学量完全集，即以它们的共同本征态描述体系的状态，称为表象，通常也简称表象，该本征态只有两个，两个态相应于S2的取值总为3/4ħ2，而Sz取+1/2ħ或者-1/2ħ，在该表象中，自旋算符矩阵应该是两行两列矩阵，波函数为两分量的列矩阵：很显然14相应于Sz取的本征态可表示为相应于Sz取的本征态可表示为两个本征矢15该两个函数满足正交归一化条件16故有

（a,d必为实数）由

设的矩阵形式为现在来求的矩阵形式17则

而

再由得到18取

19泡利矩阵自旋算符矩阵Sz表象中本征函数设本征函数为则其本征方程为20相应的久期方程为由此可以解得相应于其本征方程为21化简后有即由此的本征函数为或者归一化后为其物理意义：表示在Sx取的本征态中，Sz取22的概率各占1/2类似地的本征方程为归一化后的本征函数同理的本征值也为相应的本征函数分别为及23思考题在Sz本征值为的本征态中测量Sx，测量结果及相应的概率为多少？24上一节内容复习1、自旋角动量算符及对易关系

本征值均为25本征值均为本征值为及与电子的具体自旋状态无关，所以，它们相当于是一个数量算符2、泡利算符26对易关系反对易关系27相应算符的本征值的本征值都是

本征值均为1本征值均为3及均为数量算符3．自旋算符及本征态的矩阵表示在表象，即以本征矢为基矢量的表象中所有自旋波函数均为两行一列矩阵，而算符则为两行两列矩阵28常用算符的矩阵形式29常用算符的本征函数算符本征函数算符本征函数算符本征函数304.考虑自旋的电子波函数的几率密度。表示t时刻，在处找到自旋的电子的几率密度

表示t时刻，在处找到自旋的电子表示t时刻粒子在x，y，z处的电子出现的几率密度31电子的概率表示在全空间找到自旋为其中电子的概率表示在全空间找到自旋为表示电子在全空间出现总概率为0在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，与不同。当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时，与相同，这时总波函数为32对于任意一个力学量算符，在考虑自旋的情况下都是一个两行两列矩阵335.考虑自旋的电子波函数

电子既然有自旋，其波函数应包含电子自旋的信息，电子自旋通常用来表示，所以波函数表示为写成矩阵形式，为二行一列矩阵34物理意义：的几率密度。的几率密度

表示t时刻，在处找到自旋的电子表示t时刻粒子在x，y，z处的电子出现的几率密度表示t时刻，在处找到自旋的电子35粒子在全空间的归一化条件其中表示在全空间找到自旋为电子的概率表示在全空间找到自旋为电子的概率在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过中的和是的不同函数来体现。

当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时，和对空间位置的依赖关系是一样时，这时，总的波函数可以分解为空间波函数和自旋波函数的乘积36因为此时空间波函数不受自旋方向的影响，所以轨道波函数为设电子的自旋波函数为则总波函数可表示为37考虑电子自旋情况下，体系力学量的平均值对于任意一个力学量算符，在考虑自旋的情况下都是一个两行两列矩阵所以，总的平均值为

由此对自旋求平均：

该式仅是对x，y，z点与电子自旋有关的力学量的平均

38§6.3简单塞曼效应考虑氢原子和类氢原子在均匀磁场中的情况，这时电子除了具有原来的动能和势能外，因为具有自旋和轨道磁矩，所以还具有附加的磁场能，另外电子和自旋之间还具有相互作用能。假设外磁场很强，以至于自旋和轨道的相互作用能远小于它们在外磁场中的能量，这时可忽略相互作用能。在有强磁场的情况下的附加磁场能量39取的方向为轴方向，则定态Schrödinger方程由于不考虑自旋与轨道相互作用，所以该方程的本征函数为：

或者40把以上两式代入以上本征方程，可得当外磁场不存在时，方程的解为对于氢原子，其能级只与n有关，即对L与m简并，而对于碱金属由于内层电子对原子核的库仑场的屏蔽，其能级不仅与n有关，也与L有关，仅对m简并41在有外磁场作用情况下，因为所以仍然为新的方程的能量本征函数，把代入两个方程可得到由此，加入磁场后，原先对m的简并也消除了下图是加磁场时的2p到1s能级跃迁4243在外场中由能级跃迁到的谱线频率为由m的选择定则可知

在外磁场中分裂成三条谱线，这种现象称为简单塞曼效应。,44上一节内容复习类氢原子在强外磁场作用下，自旋和轨道的相互作用能远小于它们在外磁场中的能量，这时可忽略相互作用能。定态薛定谔方程：类氢原子的简单塞曼效应其中该方程的两个本征函数45或者相应的两个轨道波函数方程为该两个方程的解相应的能量本征值为46即在磁场作用下，体系能级对m的简并消除体系的谱线分裂为3条这种现象称为简单塞曼效应47§6.4两个角动量的耦合

经典力学中，若一个物体同时具有两个不同来源的角动量，则其总角动量可以表示为的矢量和，根据算符假设，量子力学中总角动量也应表示为算符的形式，且根据经典力学量之间的关系与相应算符之间关系的对应性，表示总角动量的算符应定义为两个分角动量算符的矢量和，即

可以证明该角动量与前面介绍的角动量具有相同的对易关系或48另外但是以下根据的本征值，求角动量的本征值先介绍两套表象1、非耦合表象

前面已介绍过，描述体系状态需要一组相互对易的49力学量组成力学量完全集，很显然对于两个角动量体系，可以选构成力学量完全集，其共同本征函数系用由此由于两套角动量相互独立，所以50以这一组本征函数系为基矢所构成的表象称为非耦合表象，在该表象中均为对角阵2、耦合表象由于也相互对易，所以也可以选以上的四个力学量构成描述两个角动量体系的力学量完全集，它们的共同本征函数在该态中51复习两个角动量合成两个角动量合成的总角动量在量子力学中同样是用算符表示其对易关系它与一般角动量具有相同的性质，所以的本征值为的本征值为52几个重要的对易关系式两种表象描述两个角动量耦合时通常选作为力学量完全集，它们共同的本征函数系用表示，以这一套本征函数系作为基矢量的表象称为非耦合表象53也可以选作为力学量完全集，它们的共同本征函数系用表示，以该本征函数系为基矢的表象称为耦合表象543、已知两个角动量量子数，求总角动量量子数这种情况下，耦合表象的波函数可表示为

把它按非耦合表象的本征函数系进行展开，由于在该态中，确定，非耦合表象中展开式中只能包含确定的态以这组函数系为基矢的表象称为耦合表象

描述两个角动量体系可以用耦合表象也可以用非耦合表象，要看研究问题的方便而定。例如，讨论自旋-轨道相互作用时通常用耦合表象比较方便可能值分角动量量子数确定总角动量量子数的可能值由其中j，m待定55否则在该态中测量就有除由于所以而的可能值可根据求出。展开式可表示为克来布希-高登系数由此对于确定的m，以外的其它值56由于构成该本征矢的基矢量共有个，因此，独立的个数也应该为

个，它们相应于取不同的可能值，的最大值为令的最小值为对应于每一个可能

，可有种可能的取值，由此可算出总态数为可以求出57所以有由于j只能取正整数或0，所以58

由此，在两个分角动量量子数一定的情况下，总角动量量子数可能值为到间的所有正整数值和之间的关系可用一三角形来表示例：设电子的轨道角动量量子数，和轨道总角动量的可能值及相应简并度求电子的自旋59§6.6全同粒子的特征固有性质相同的粒子称为全同粒子

例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子等

固有性质指的是：质量、电荷、自旋、宇称等……1.全同粒子2．不可区分性

经典力学中，两个性质相同的物体运动时，仍然可以区分，因各自有确定轨道。60例如：在电子双缝衍射实验中，考察两个电子，无法判别哪个电子通过哪条缝，也无法判别屏上观察到的电子，通过哪条缝来的，也无法判别哪个是第一个电子，哪个是第二个电子……微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确定轨道，在位置重迭处就不能区分是哪个粒子。3．全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等）不会引起系统状态的改变。全同性原理是量子力学中的基本原理之一，也称基本假设之一。614．全同粒子体系波函数的对称性质设体系由N个全同粒子组成以表示第i个粒子的坐标和自旋表示第i个粒子在外场中的能量表示第i个粒子和第i个粒子的相互作用能则体系的哈米顿算符：则两粒子互换，哈米顿算符不变62此时薛定谔方程可表示为：交换与63

这表示如果是方程的解，则也是方程的解。

根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它们间只可能相差一常数因子，以表示.即有

再交换与64

描述全同粒子系统状态的波函数只能是交换对称或者反对称的。当时

即波函数为交换反对称函数当时

即波函数为交换对称函数655．波函数的对称性质不随时间而变化

设时刻波函数对称：它满足薛定格方程：

由于

对称,也对称在时刻，波函数为它是两个对称函数之和，故也是对称的。同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的。666、费米子和玻色子费米子：自旋为奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为，它们均为费米子。

玻色子：自旋为的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、光子的自旋分别为O或，它们均为玻色子。

玻色子服从玻色—爱因斯坦统计，其波函数是对称的。费米子系统服从费米—狄拉克统计，其波函数是反对称的。

结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。67§6.7全同粒子体系的波函数，泡利原理一、两粒子体系在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符

以和表示的第i个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：体系的哈米顿算符的本征值方程为： 68本征波函数

（6.7-1）

本征能量

若两粒子交换，则（6.7-2）

能量值仍为是简并的，这种简并称为交换简并。

如果两粒子处于同一状态，

则（6.7-1）和（6.7-2）给出同一个对称波函数

如果两粒子处于不同状态，

则（6.7-1）和（6.7-2）式的函数既不对称，也不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求。69

这表明（6.7-1）和（6.7-2）两式所表示的函数，只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数。

但由（6.7-1）和（6.7-2）两式的和、差可以构成对称函数和反对称函数。玻色系统：

费米系统：

则以上两式既是原方程的解，又满足交换对称或反对称的条件，因此可以作为两个无相互作用的全同粒子体系的波函数。

70泡利原理

对玻色子系统，波函数取形式，当两个玻色子处于同一个状态时，这时，故几率密度，所以允许。

对于费米系统，波函数取形式，当两费米子处于同一个状态时，故使几率密度，所以不允许。泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处于同一个状态。正是这个原理，使核和原子等的结构有序。71以上是两个粒子无相互作用是的波函数，若两个粒子之间存在相互作用时，本征方程为

由于交换简并在这种情况下依然成立，所以波函数仍可以表示为：72二、N粒子体系将两粒子体系推广到N粒子体系单粒子的本征值方程：体系的薛定格方程：本征函数

（6.7-4）（6.7-3）本征能量73三、费米子体系波函数

可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的积。因此，解多粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程。下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式。

由N个费米子组成的体系的本征函数是反对称的，依照（6.7-3）式称为斯莱特行列式

注意：每一行所以粒子态相同74

是归一化的，是的归一化因子。将斯莱特行列式展开，共有项如（6.7-3）式的形式，因而,是体系薛定格方程的本征函数解。

交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交换，这就使行列式改变符号。所以是反对称的。

如果N个粒子中，有两个处于同一个状态，则斯莱特行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使，几率。要使，不能有两粒子处在同一单粒子态。这也就是泡利的不相容原理。75例

一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态、、，求系统波函数。Solve76四、玻色子体系的波函数

N个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的。它也由（6.7-3）式进行构成。所不同的是单粒子态中，能容纳的玻色子数不受限制，