福建省泉州市永春一中高三5月质检数学试卷（文科）

第11页2023年福建省泉州市永春一中高三5月质检数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求，每题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．〔5分〕〔2023•大兴区一模〕复数〔1+i〕2的值是〔〕A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用完全平方公式把要求的式子展开，再利用虚数单位i的幂运算性质求得结果．解答：解：复数〔1+i〕2=12+i2+2i=2i，应选C．点评：此题主要考查完全平方公式，虚数单位i的幂运算性质，属于根底题．2．〔5分〕〔2023•西城区一模〕全集U={x∈Z||x|＜5}，集合A={﹣2，1，3，4}，B={0，2，4}，那么A∩∁UB=〔〕A．{﹣2，1，4}B．{﹣2，1，3}C．{0，2}D．{﹣2，1，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据题意，由全集与集合B，可得∁UB，由集合A，结合交集的意义，可得答案．解答：解：根据题意，全集U={x∈Z||x|＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={0，2，4}，那么∁UB={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，3}，A={﹣2，1，3，4}，那么A∩〔∁UB〕={﹣2，1，3}；应选B．点评：此题考查交、并、补集的混合运算，关键要理解它们的意义．属于根底题．3．〔5分〕〔2023•延庆县一模〕命题“∀x∈R，ex＞x〞的否认是〔〕A．∃x0∈R，ex＜xB．∀x∈R，ex＜xC．∀x∈R，ex≤xD．∃x0∈R，ex≤x考点：命题的否认．专题：计算题．分析：全称命题的否认是特称命题，全称量词“∀〞改为存在量词“∃〞，并同时把“ex＞x〞否认．解答：解：∵全称命题的否认是特称命题，∴命题“∀x∈R，ex＞x〞的否认是∃x0∈R，ex≤x．应选D．点评：此题主要考查了命题的否认，属于根底题之列．4．〔5分〕〔2023•郑州一模〕执行如下图的程序框图，假设输入x═2，那么输出y的值为〔〕A．5B．9C．14D．41考点：程序框图．专题：图表型．分析：框图首先输入x的值为2，然后执行一次运算y=3x﹣1，判断|x﹣y|与9的大小，不大于9，执行用y替换x，再执行y=3x﹣1，大于9时跳出循环，输出y的值．解答：解：输入的x的值为2，执行y=3×2﹣1=5；判断|2﹣5|=3＞9不成立，执行x=5，y=3×5﹣1=14；判断|5﹣14|=9＞9不成立，执行x=14，y=3×14﹣1=41；判断|14﹣41|=27＞9成立，跳出循环，输出y的值为41，算法结束．应选D．点评：此题考查了程序框图，是直到型结构，直到型结构是先执行一次运算，然后进行判断，不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，算法结束，是根底题．5．〔5分〕设平面向量=〔﹣2，6〕，，假设∥，那么﹣2=〔〕A．〔4，24〕B．〔﹣8，24〕C．〔﹣8，12〕D．〔4，﹣12〕考点：平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量共线的坐标表示求出y，然后直接由向量的数乘及减法运算求﹣2．解答：解：由=〔﹣2，6〕，，且∥，所以﹣2y﹣18=0，即y=﹣9．所以．那么﹣2=〔﹣2，6〕﹣2〔3，﹣9〕=〔﹣8，24〕．应选B．点评：此题考查了平面向量共线的坐标表示，假设=〔a1，a2〕，=〔b1，b2〕，那么⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是根底题．6．〔5分〕高三〔1〕班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，6号32号45号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的编号是〔〕A．3B．12C．16D．19考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原那么，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大成等差数列，因此，另一学生编号为6+45﹣32=19．应选D．点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原那么是等距，抓住这一原那么构造等差数列，是我们常用的方法．7．〔5分〕〔2023•揭阳一模〕以下函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是〔〕A．f〔x〕=ex﹣1B．f〔x〕=x+x﹣1C．f〔x〕=x﹣x﹣1D．f〔x〕=﹣|sinx|考点：函数奇偶性的判断；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的奇偶性，再判断函数的零点情况，从而得出结论．解答：解：由于函数f〔x〕=ex﹣1，f〔﹣x〕=e﹣x+1≠﹣f〔x〕，故函数不是奇函数，故排除A．由于函数f〔x〕=x+x﹣1满足f〔﹣x〕=﹣x+〔﹣x〕﹣1﹣〔x﹣x﹣1〕=﹣f〔x〕，是奇函数，但方程f〔x〕=0无解，故不存在零点，故排除B．由于函数f〔x〕=x﹣x﹣1是满足f〔﹣x〕=﹣x﹣〔﹣x〕﹣1=﹣〔x﹣〕=﹣f〔x〕，是奇函数，且由f〔x〕=0解得x=1，故存在零点x=1，故C满足条件．由于函数f〔x〕=﹣|sinx|，满足f〔﹣x〕=﹣|sin〔﹣x〕|=﹣|sinx|=f〔x〕，是偶函数，不是奇函数，故排除D，应选C．点评：此题主要考查函数零点的定义和判断，函数的奇偶性的判断，属于中档题．8．〔5分〕要得到函数y=sinx的图象，只需将函数的图象〔〕A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数y=sinx为y=cos〔x﹣〕，然后利用左加右减的原那么，确定平移的单位与方向，得到选项．解答：解：函数y=sinx化为y=cos〔x﹣〕，要得到此函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，得到=cos〔x﹣〕=sinx．应选C．点评：此题考查三角函数的图象的变换，诱导公式的应用，考查计算能力．9．〔5分〕〔2023•海口二模〕A={〔x，y〕丨﹣1≤x≤1，0≤y≤2}，B{〔x，y〕丨≤y}．假设在区域A中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B中的概率为〔〕A．1﹣B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先求出区域A的面积，然后利用定积分求区域B的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可．解答：解：集合M={〔x，y〕|﹣1≤x≤1，0≤y≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B={〔x，y〕丨≤y}表示的区域为图中阴影局部，其面积为4﹣12×π．∴向区域A内随机抛掷一粒豆子，那么豆子落在区域B内的概率为=1﹣．应选A．点评：此题主要考查了几何概型的概率，以及利用定积分求区域面积，属于中档题．10．〔5分〕设双曲线=1〔a＞0〕的渐近线方程为3x±4y=0，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线=1〔a＞0〕的渐近线方程为3x±4y=0，确定双曲线方程，求出几何量，利用离心率公式，即可得到结论．解答：解：∵双曲线=1〔a＞0〕的渐近线方程为3x±4y=0，∴∴a=4∴∴双曲线的离心率e=应选B．点评：此题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于根底题．11．〔5分〕〔2023•延庆县一模〕一四面体的三视图如下图，那么该四面体四个面中最大的面积是〔〕A．2B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：探究型．分析：根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可．解答：解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BD1C1．在等边三角形BD1C1中，所以面积应选D．点评：此题主要考查三视图的识别和判断，将几何体放入正方体中去研究，是解决此题的关键．12．〔5分〕〔2023•广州一模〕设函数f〔x〕的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使〔C为常数〕成立，那么称函数f〔x〕在D上的均值为C，给出以下四个函数①y=x3；③y=lnx；④y=2sinx+1，那么满足在其定义域上均值为1的函数的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义．分析：根据在其定义域上均值为1的函数的定义，逐一对四个函数列出方程，解出y关于x的表达式，其中①③④在其定义域内有解，②在其定义域内无解，从而得出正确答案．解答：解：①对于函数y=x3，定义域为R，设x∈R，由，得y3=2﹣x3，所以∈R，所以函数y=x3是定义域上均值为1的函数；②对于，定义域为R，设x∈R，由，得，当x=﹣2时，，不存在实数y的值，使，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；③对于函数y=lnx，定义域是〔0，+∞〕，设x∈〔0，+∞〕，由，得lny=2﹣lnx，那么y=e2﹣lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由，得siny=﹣sinx，因为﹣sinx∈[﹣1，1]，所以存在实数y，使得siny=﹣sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．应选C．点评：此题着重考查了函数的值域，属于根底题．熟练掌握各根本初等函数的定义域和值域是解决此题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，请把答案填在答题卡的横线上．13．〔4分〕〔2023•丰台区一模〕变量x，y满足约束条件，那么z=2x+y的最大值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影局部，由得A〔1，0〕目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A〔1，0〕时，z最大=2×1+0=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于根底题．14．〔4分〕〔2023•延庆县一模〕，，向量与的夹角为60°，那么=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得利用两个向量的数量积的定义求得、、的值，再求得的值，即可得到的值解答：解：∵，，向量与的夹角为60°，∴=1，=4，=1×2×cos60°=1，．∴=++2=1+4+2=7，∴=，故答案为．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．15．〔4分〕〔2023•揭阳一模〕某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．假设每批生产x件，那么平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品40件．考点：根本不等式．专题：应用题．分析：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，那么y=，整理后利用根本不等式可求最小值及相应的x解答：解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，那么，当且仅当，即x=40时“=〞成立，故每批应生产产品40件故答案为：40点评：此题主要考查了根本不等式在求解实际问题中的最值中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题16．〔4分〕下面的数组均由三个数组成，它们是：〔1，2，3〕、〔2，4，6〕、〔3，8，11〕、〔4，16，20〕、〔5，32，37〕、…、〔an，bn，cn〕，假设数列{cn}的前n项和为Mn，那么M10=2101．考点：数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：根据给出的数组归纳出cn=an+bn，再表示出M10=〔1+2+…+10〕+〔2+4+…+210〕，利用等差和等比数列的前n项和公式进行求解．解答：解：由题意得，cn=an+bn，∴M10=〔a1+a2+…+a10〕+〔b1+b2+…+b10〕=〔1+2+…+10〕+〔2+4+…+210〕=55+=2101，故答案为：2101．点评：此题考查了等差和等比数列的前n项和公式的应用，关键是利用归纳推理求出通项公式，考查了学生的观察能力．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．〔12分〕近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050〔Ⅰ〕用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？〔Ⅱ〕在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；〔Ⅲ〕为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：P〔K2≥k〕0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828〔参考公式，其中n=a+b+c+d〕考点：独立性检验的应用；分层抽样方法．专题：应用题．分析：〔I〕根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．〔II〕在上述抽取的6名学性中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的根本领件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．〔III〕根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比拟，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．解答：解：〔I〕在患心肺疾病的人群中抽6人，那么抽取比例为=，∴男性应该抽取20×=4人…．〔4分〕〔II〕在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，那么从6名学生任取2名的所有情况为：〔A，B〕、〔A，c〕、〔A，d〕、〔A，e〕、〔A，f〕、〔B，c〕、〔B，d〕、〔B，e〕、〔B，f〕、〔c，d〕、〔c，e〕、〔c，f〕、〔d，e〕、〔d，f〕、〔e，f〕共15种情况，其中恰有1名女生情况有：〔A，c〕、〔A，d〕、〔A，e〕、〔A，f〕、〔B，c〕、〔B，d〕、〔B，e〕、〔B，f〕，共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．〔8分〕〔III〕∵K2≈8.333，且P〔k2≥7.879〕=0.005=0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．〔12分〕点评：此题是一个统计综合题，包含独立性检验和概率，此题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度．18．〔12分〕〔2023•龙泉驿区模拟〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最小值和最小正周期；〔Ⅱ〕△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f〔C〕=0，假设向量与共线，求a，b的值．考点：正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕利用三角函数的恒等变换化简函数f〔x〕的解析式为sin〔2x﹣〕﹣1，由此求出最小值和周期．〔Ⅱ〕由f〔C〕=0可得sin〔2C﹣〕=1，再根据C的范围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．解答：解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕==﹣﹣1=sin〔2x﹣〕﹣1，∴f〔x〕的最小值为﹣2，最小正周期为π．…〔5分〕〔Ⅱ〕∵f〔C〕=sin〔2C﹣〕﹣1=0，即sin〔2C﹣〕=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．…〔7分〕∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得b=2a，①…〔9分〕∵c=3，由余弦定理得9=，②…〔11分〕解方程组①②，得a=b=2．…〔13分〕点评：此题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．19．〔12分〕〔2023•虹口区二模〕复数zn=an+bn•i，其中an∈R，bn∈R，n∈N*，i是虚数单位，且，z1=1+i．〔1〕求数列{an}，{bn}的通项公式；〔2〕求和：①z1+z2+…+zn；②a1b1+a2b2+…+anbn．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和；复数代数形式的乘除运算．专题：等差数列与等比数列．分析：〔1〕由zn=an+bn•i，取n=1后得到z1=a1+b1•i，结合条件求出a1，b1．再由，把zn=an+bn•i代入后由复数相等可得数列{an}，{bn}分别为等比数列和等差数列，那么数列{an}，{bn}的通项公式可求；〔2〕①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．解答：解：〔1〕∵z1=a1+b1•i=1+i，∴a1=1，b1=1．由，得an+1+bn+1•i=2〔an+bn•i〕+〔an﹣bn•i〕+2i=3an+〔bn+2〕•i，∴，∴数列{an}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{bn}是以1为首项公差为2的等差数列，∴，bn=2n﹣1；〔2〕由〔1〕知，bn=2n﹣1．①z1+z2+…+zn=〔a1+a2+…+an〕+〔b1+b2+…+bn〕•i=〔1+31+32+…+3n﹣1〕+〔1+3+5+••+2n﹣1〕•i=．②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，〔Ⅰ〕将〔Ⅰ〕式两边乘以3得，〔Ⅱ〕将〔Ⅰ〕减〔Ⅱ〕得．∴，所以．点评：此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了等差关系和等比关系确实定，考查了数列的和，由等差数列和等比数列的积构成的数列，求和的方法是错位相减法．是中档题．20．〔12分〕〔2023•大兴区一模〕如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1〔Ⅰ〕求证：直线A1D⊥B1C1〔Ⅱ〕判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：〔I〕利用直三棱柱的性质即可得出四边形BCC1B1是平行四边形，AA1⊥面ABC，∴BC∥B1C1，AA1〔II〕利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；解答：证明：〔Ⅰ〕在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∴AA1在等边△ABC中，D是BC中点，∴AD⊥BC∵在平面A1AD中，A1A∩AD=A，∴BC⊥面A1又∵A1D⊂面A1AD，∴A1D⊥BC在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1C∴A1D⊥B1C〔Ⅱ〕在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ACC1A在平行四边形ACC1A1中联结A1C，交于AC故O为A1C在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，∴DO∥A1因为DO⊂平面DAC1，A1B⊄平面DAC1，∴A1B∥面ADC1∴A1B与面ADC1平行．点评：熟练掌握直三棱柱的性质、等边三角形的性质、线面垂直的判定和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理是就如同的关键．21．〔12分〕椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2点A在椭圆C上，=0，，，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕线段OF2上是否存在点M〔m，0〕，使得假设存在，求出实数m的取值范围；假设不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：〔Ⅰ〕利用，可得∠AF1F2=90°．由，利用夹角公式可得cos∠F1AF2=．又=2，解得，．即可得到2a==4，c=1，即可得到b2=a2﹣c2，进而得到椭圆方程；〔II〕存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，N〔x0，y0〕，直线PQ的斜率为k〔k≠0〕，注意到F2〔1，0〕，那么直线PQ的方程为y=k〔x﹣1〕，与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量可得，因此PQ⊥MN，利用k•kMN=﹣1即可得到m与k的关系．解答：解：〔Ⅰ〕∵，∴∠AF1F2=90°．∵，∴cos∠F1AF2=．又=2，解得，．∴2a==4，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，即所求椭圆方程为．〔Ⅱ〕存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，N〔x0，y0〕，直线PQ的斜率为k〔k≠0〕，注意到F2〔1，0〕，那么直线PQ的方程为y=k〔x﹣1〕，由消去y得：〔4k2+3〕x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以，故，y0=k〔x0﹣1〕=．又点N在直线PQ上，所以N，由可得，∴PQ⊥MN，∴kMN=，整理得=，所以，在线段OF2上存在点M〔