定积分的几何应用(体积)教学内容

一、旋转体的体积二、平行截面面积(miànjī)为已知的立体的体积三、小结定积分(jīfēn)的几何应用---体积第一页，共26页。旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体(lìtǐ)．这直线叫做旋转轴．圆柱(yuánzhù)圆锥(yuánzhuī)圆台一、旋转体的体积第二页，共26页。xyo旋转体的体积(tǐjī)为第三页，共26页。解第四页，共26页。星形线是内摆线(bǎixiàn)的一种.点击(diǎnjī)图片任意处播放开始或暂停大圆(dàyuán)半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为内摆线)星形线t或第五页，共26页。第六页，共26页。例2.计算(jìsuàn)摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转(xuánzhuǎn)而成的立体体积.解:绕x轴旋转(xuánzhuǎn)而成的体积为利用对称性第七页，共26页。绕y轴旋转(xuánzhuǎn)而成的体积为注意(zhùyì)上下限!第八页，共26页。注:分部(fēnbù)积分(利用(lìyòng)“偶倍奇零”)第九页，共26页。利用(lìyòng)这个公式，可知上例中补充(bǔchōng)1.(※)——柱壳法如果旋转体是由连续(liánxù)曲线)(xfy=、直线ax=、bx=

及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为

第十页，共26页。偶函数奇函数注：第十一页，共26页。解(一)体积(tǐjī)元素为第十二页，共26页。（二）利用坐标(zuòbiāo)平移：（※）uv第十三页，共26页。补充(bǔchōng)2.(※)——柱壳法如果旋转体是由连续(liánxù)曲线)(xfy=、直线ax=、bx=

及x轴所围成的曲边梯形绕x=m(>b)旋转一周而成的立体(lìtǐ)，体积为

第十四页，共26页。二、平行(píngxíng)截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个(gègè)截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积第十五页，共26页。解:取坐标系如图底圆方程(fāngchéng)为截面(jiémiàn)面积立体(lìtǐ)体积第十六页，共26页。思考:可否选择(xuǎnzé)y作积分变量?此时截面(jiémiàn)面积函数是什么?如何(rúhé)用定积分表示体积?提示:第十七页，共26页。三、旋转体的侧面积(miànjī)(补充)设平面(píngmiàn)光滑曲线求积分(jīfēn)后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:第十八页，共26页。注：第十九页，共26页。侧面积(miànjī)元素若光滑曲线由参数(cānshù)方程给出,则它绕x轴旋转(xuánzhuǎn)一周所得旋转(xuánzhuǎn)体的注意:侧面积为的线性主部.不是薄片侧面积△S

第二十页，共26页。例5.计算(jìsuàn)圆x轴旋转一周所得(suǒdé)的球台的侧面积S.解:对曲线(qūxiàn)弧应用公式得当球台高h2R

时,得球的表面积公式第二十一页，共26页。旋转体的体积(tǐjī)平行(píngxíng)截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕垂直于坐标轴的直线(zhíxiàn)旋转一周旋转体的侧面积(补充)四、小结.第二十二页，共26页。解：交点(jiāodiǎn)立体(lìtǐ)体积思考(sīkǎo)与练习.第二十三页，共26页。2.

设在x≥0时为连续(liánxù)的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周(yīzhōu)所成旋转体体积,证明(zhèngmíng):证:利用柱壳法故第二十四页，共26页。3.设平面(píngmiàn)图形A由与所确定(quèdìng),求图形A绕直线x2旋转(xuánzhuǎn)一周所得旋转(xuánzhuǎn)体的体积.提示：选x为积分变量.由柱壳法旋转体的体积为若选y

为积分变量,则第二十五页，共26页。4.求曲线(qūxiàn)与x轴围成的封闭图形(túxín