广东省佛山市黄岐中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

广东省佛山市黄岐中学2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知n为方程f（x）=kx的解的个数，判断f（x）的单调性，作出y=f（x）与y=kx的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：设==…=k，则方程有n个根，即f（x）=kx有n个根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，2）上单调递减．当x＞2时，f′（x）=ex﹣2（﹣x2+8x﹣12）+ex﹣2（﹣2x+8）=ex﹣2（﹣x2+6x﹣4），设g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴当2时，g（x）＞0，当x＞3+时，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上单调递增，在（3+，+∞）上单调递减，作出f（x）与y=kx的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）=kx的交点个数可能为1，2，3，4，∵n≥2，故n的值为2，3，4．故选D．2.将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D图象按向量平移，相当于先向右平移个单位，然后在向上平移1个单位。图象向右平移个单位，得到，然后向上平移1个单位得到，选D.3.阅读右面的程序框图，则输出的（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略4.(理科)在实数集R中定义一种运算“﹡”，具有性质：①对任意;②对任意

;③对任意则函数的最小值是A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C5.对于任意给定的实数m，直线3x+y﹣m=0与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（） A． B． C． 3 D． 2参考答案：A6.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.

函数的零点所在的区间为(A)(0,1)

(B)(l,2)

(C)(2,3)

(D)(3,4)参考答案：B略8.在区间[－2,2]上任意取一个数x，使不等式成立的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由得，所以所求概率为，选D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

9.设集合,,则

(）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13=．参考答案：50考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵数列{}也为等差数列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案为：50．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题12.已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为_____．参考答案：【分析】讨论a的取值范围，分别求出两个函数的取值范围，结合函数的值域是R，建立不等式关系进行求解即可．【详解】当a≤0时，不满足条件．当a＞0时，若0＜x＜2，则f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1），当x≥2时，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞），要使函数的值域为R，则4a﹣3≤a+1，得a≤，即实数a的取值范围是（0，]，故答案为：（0，]【点睛】本题主要考查分段函数的应用，求出函数的各自的取值范围，结合函数的值域建立不等式关系是解决本题的关键．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者。13.已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________.参考答案：x-y+3=014.已知点的两侧，则下列说法正确的是

。（写出所有正确结论的序号）

①；

②若O为坐标原点，点为钝角；

③有最小值，无最大值；

④；

⑤存在正实数M，使恒成立。参考答案：④⑤15.任给实数定义

设函数，若是公比大于的等比数列，且，则[

参考答案：e16.不共线向量，满足，且，则与的夹角为．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵不共线向量，满足，且，则θ∈（0，π），∴（﹣2）=﹣2=﹣2||?||cosθ=﹣2cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=，故答案为：．17.已知函数（），若函数在区间上是单调减函数，则的最小值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．(Ⅰ)根据图中的数据信息，写出众数；(Ⅱ)小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)．①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件)的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数的数学期望．参考答案：(1)众数是频率分布直方图中频率最高的时间段的中点，所以

……2分(2)①设报纸送达时间为，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，………………4分

如图可知，

事件A对应的区域为图中阴影梯形AECD，所有基本事件对应区域为矩形ABCD，……………….......................5分

，………………..........................6分

所求事件A的概率为………………...................…8分

②服从二项分布......……………..…10分

故(天)….........................…12分19.（本小题满分14分）已知函数.（1）若曲线在处的切线为，求的值；（2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；（3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．参考答案：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，.

………3分（2）则在单调递减，且当时，即，当时，的图像始终在的图象的下方.

……………

7分（3）

由题，.∵，∴，∴，即，

………9分设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在上满足.下面证明之：，，为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，讨论他们的最值：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；………..11分同理：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；∴，

∴函数在内有零点，……………..13分又，函数在是增函数，∴函数在内有唯一零点，从而命题成立.

……14分20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1．（1）证明：不论m为何值时，直线l与圆C都相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B，点A关于轴x的对称点为A1，试探究直线A1B与x轴是否交于一个定点？请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1联立方程组，利用判别式进行判断即可．（2）直线l与圆C相交于A，B，设出A，B坐标，利用韦达定理建立关系，求解直线A1B方程，令y=0求解x的值s是一个定值即可．【解答】证明：（1）由题意，圆C：x2+y2=4和动直线l：x=my+1联立方程组，消去x，可得：（m2+1）y2+2my﹣3=0，由判别式△=4m2+12（m2+1）=16m2+12＞0∴不论m为何值时，直线l与圆C都相交；解：（2）直线l与圆C相交于A，B，设A坐标为（x1，y1），B坐标为（x2，y2），点A关于轴x的对称点为A1，∴A′的坐标为（x1，﹣y1）直线A1B方程为：y+y2=（x﹣x2）由（1）可得：（m2+1）y2+2my﹣3=0，那么：，同理，消去y，可得：（m2+1）x2﹣2x+1﹣4m2=0那么：，，令直线A1B方程：y+y2=（x﹣x2）中的y=0，解得：x=是一个定值常数．故得直线A1B与x轴交于一个定点为（，0）．21.在中，内角所对的边长分别为，，，.求sinC和b的值.参考答案：解：