广东省梅州市佘东中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省梅州市佘东中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,则集合CuA等于（A）

（B）

(C)

(D)参考答案：答案：C解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，选C2.已知集合，，则A∪B=（

）A．[－2,+∞) B．[－2,3] C．(－1,+∞) D．(－∞,－2]∪(－1,3]参考答案：A∵A={x|x≥﹣2}，；∴A∪B=[﹣2，+∞）．故选：A．

3.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，则A∩B为(

) A．? B．{1} C．{2} D．{1，2}参考答案：C考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先将B化简，再求A∩B．解答： 解：B={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={2，﹣1}∵A={1，2，3}，∴A∩B={2}故选C点评：本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交、并、补集的混合运算，属于基础题．4.函数的图象大致是参考答案：C函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下做出函数的图象，由图象可知函数只有一个零点0，所以选C.5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D6.的展开式中的系数为（）A．－80 B．－40 C．40 D．80参考答案：C由二项式定理可得，原式展开中含的项为，则的系数为40，故选C.

7.函数y=lg（x﹣1）的定义域为(

)A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或或x＞1}参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，则函数的定义域为{x|x＞1}，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．8.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意,可得,,结合是等边三角形可选出答案.【详解】由题意,,又因为是边长为的等边三角形，所以,即选项A错误;,则不垂直,故选项B,C都错误;,即,故选项D正确.故选:D.【点睛】本题考查了平面向量的数量积公式的运用,考查了向量垂直的性质,考查了平面向量在平面几何中的应用,属于基础题.9.要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：C10.执行如图的程序框图，则输出的值是(

)A．－2

B．0

C．

2

D.－2或0参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为则与的交点个数为

；参考答案：2略12.已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|－1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若，则实数m的取值范围是______________.参考答案：由题意，，

∵集合，

①②m时，成立；

③综上所述，故答案为．

13.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数

.参考答案：略14.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为

▲

．参考答案：415.若lga＋lgb＝0(a≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－bx的图象关于________对称．参考答案：原点由lga＋lgb＝0?ab＝1?b＝，所以g(x)＝－a－x，故f(x)与g(x)关于原点对称．16.已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：m＜﹣1【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．17.在△ABC中，分别为角A，B，C的对边，若垂直且，当△ABC面积为时，则b等于（

）A．

B．4

C．

D．2参考答案：D三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C:的长轴长为，离心率．Ⅰ）求椭圆C的标准方程；Ⅱ）若过点B（2，0）的直线（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E，F（E在B，F之间），且OBE与OBF的面积之比为，求直线的方程．参考答案：解：（I）椭圆C的方程为，由已知得

19.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）若，求函数的极小值；（Ⅱ）试问：对某个实数，方程在上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）定义域为，由已知得，

………2分则当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，

故函数的极小值为．

……………5分（Ⅱ）假设方程在上存在三个不相等的实根，设，由于在上图象连续不断，则有两个不同的零点．

………8分即有两个不同的解，设，则，设，则，故在上单调递增，则当时，即，

…………………11分又，则故在上是增函数，则至多只有一个解，故不存在．

………13分20.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.参考答案：当时，函数的定义域为，且得

…………………1分函数在区间上是减函数，在区间上是增函数函数有极小值是，无极大值.…2分得，…………3分当时，有，函数在定义域内单调递减；

………………4分当时，在区间，上，单调递减；在区间上，单调递增；

………5分当时，在区间上，单调递减；在区间上，单调递增；

………6分由知当时，在区间上单调递减，所以

……………8分问题等价于：对任意，恒有成立，即，因为，所以，因为，所以只需

…………………10分从而故的取值范围是 …………12分21.（本小题满分12分）已知数列中，，其前项和满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;(Ⅱ)若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值.参考答案：（Ⅰ）由题意知,即

检验知n=1,2时，结论也成立，故an=2n+1．(Ⅱ)由

法一:当时，；当时，；当时，

故时，达最大值，.

（法二：可利用等差数列的求和公式求解）22.已知函数f（x）=ex﹣e﹣x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈（0，1）时，不等式ex﹣e﹣x＞k（x+）恒成立，求实数k的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）f（0）=0，f′（x）=ex+e﹣x．f′（0）=2．利用点斜式即可得出切线方程．（II）令g（x）=ex﹣e﹣x﹣k（x+），g（0）=0．g′（x）=ex+e﹣x﹣k（1+）．x∈（0，1），①k≤0时，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈（0，1）上单调递增，g（x）＞g（0）恒成立．②当k＞0时，g″（x）=ex﹣e﹣x﹣kx=h（x）．g″（0）=0．h′（x）=ex+e﹣x﹣k，h′（0）=2﹣k．（i）当0＜k≤2时，h′（x）＞h′（0）=2﹣k≥0．函数g″（x）在x∈（0，1）上单调递增，可得g″（x）＞0．进而达到函数g（x）在x∈（0，1）上单调递增，满足条件．（ii）e+e﹣1≥k＞2时，h′（0）=2﹣k＜0，h′（1）=e+e﹣1﹣k＞0，可得函数h′（x）存在零点x0∈（0，1），h′（x0）=﹣k=0．利用导数研究其单调性可得：函数g（x）在在（0，x0）上单调递减，因此g（x）＜g（0），不符合题意，舍去．（iii）k＞e+e﹣1，h′（1）=e+e﹣1﹣k＜0，函数g″（x）在x∈（0，1）上单调递增，g″（x）＜0．可得函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，g（x）＜g（0）=0恒成立．舍去．【解答】解：（I）f（0）=0，f′（x）=ex+e﹣x．∴f′（0）=2．∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），可得2x﹣y=0．（II）令g（x）=ex﹣e﹣x﹣k（x+），g（0）=0．g′（x）=ex+e﹣x﹣k（1+）．∵x∈（0，1），∴①k≤0时，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈（0，1）上单调递增，g（x）＞g（0）恒成立．②当k＞0时，g″（x）=ex﹣e﹣x﹣kx=h（x）．g″（0）=0．h′（x）=ex+e﹣x﹣k，h′（0）=2﹣k．（i）当0＜k≤2时，h′（x）＞h′（0）=2﹣k≥0．函数g″（x）在x∈（0，1）上单调递增，∴g″（x）＞0．可得g′（x）在x∈（0，1）上单调递增，可得：g′（x）＞g′（0）=2﹣k≥0，函数g（x）在x∈（0，1）上单调递增，g（x）＞g（0）恒成立．（ii）e+e﹣1≥k＞2时，h′（0）=2﹣k＜0，h′（1）=e+e﹣1﹣k＞0，∴函数h′（x）存在零点x0∈（0，1），h′（x0）=﹣k=0．函数h（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，1）上单调递增．h（0）=g″（0）=0．h（x）min=