广东省梅州市河口中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省梅州市河口中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义运算，则函数的图像是参考答案：D2.函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，则函数的单调增区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.幂函数y=xa（α是常数）的图象（）A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（1，1）C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，﹣1）参考答案：B【考点】幂函数的图象．【分析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．故选B．【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．4.执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为(

)

参考答案：C5.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法正确的是A． B．C．D．参考答案：D6.某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A7.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．则棱锥S—ABC的体积为

(

) A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知两个单位向量满足，则的夹角为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由已知模求出，再利用向量夹角公式计算。【详解】∵是单位向量，∴，，，∴。故选：A。【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦，而求向量的数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即。9.函数的单调增区间为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D10.已知，则的值

A．随的增大而减小

B．有时随的增大而增大，有时随的增大而减小C．随的增大而增大

D．是一个与无关的常数

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线和曲线围成的图形面积是

．参考答案：略12.在ABC中，，，若（O是ABC的外心），则的值为

参考答案：13.若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为

.参考答案：14.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）参考答案：这组数据为_________不妨设得：①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意②只能取；得：这组数据为15.已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为．参考答案：3+2【考点】基本不等式．【分析】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，可得b=＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3≥2+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．故答案为：3+2．16.数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b9且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是

▲

．（请填写所有正确选项的序号）①；②；③；④．参考答案：①③略17.已知函数（为自然对数的底数）的图像与直线的交点为，函数的图像与直线的交点为，恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值，则实数的值是

。参考答案：知识点：导数的应用B122解析：由已知得M(0，2a),N(a,0),因为，则g(x)在x=a处的切线斜率为，若恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值，则,解得a=2.【思路点拨】本题若恰好是点到函数图像上任意一点的线段长的最小值，则MN与函数g(x)在N处的切线垂直，即可解答.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB?PC=PA?AC（Ⅱ）求AD?AE的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB?PC=PA?AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD?AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB?PC=PA?AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB?PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．19.设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.参考答案：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.20.（本小题满分14分）已知函数. （1）若，求的单调区间及的最小值； （2）若，求的单调区间； （3）若，求的最小正整数值.参考答案：（1）当时，，，在上递增，当时，，，在上递减，

（4分）（2）①若，当时，，则在区间,上递增，当时，，，则在区间上递减

（6分）②若，当时，则：时，，时，，所以在上递增，在上递减;当时,则在上递减，而在处连续，所以在上递增，在上递减

（8分）综上：当时，增区间，减区间．当时，增区间，减区间（12分）（3）由（1）可知，当时，有，即

所以

（13分）要使， 只需，所以的最小正整数值为1

（14分）21.已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B．当?=λ，且≤λ≤，求△AOB面积S的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由点P（﹣1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为，求出a，b，即可求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由圆O与直线l相切，知=1，联立直线与椭圆，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k2＞0，由此能推导出△AOB的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点P（﹣1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为，∴，=，∴a=，b=1，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴=1，即m2=k2+1，联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1?x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，?=x1x2+y1y2==λ，∵≤λ≤，∴≤≤，∴≤k2≤1，S=S△ABO=?=，设u=k4+k2，则，S=，u∈[，2]，∵S关于u在[，2]单调递增，S（）=，S（2）=，∴≤S≤．22.（本小题满分13分）设数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，

求数列的前n项和.参考答案：【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．D5

【答案解析】（1）（2）解析：（1）由题设知，

……………1分得），………………2分两式相减得：，

即，

………………4分又得，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴.

…………6分（2）由（1）知，因为，所以所以

…………