2004秋-概率论与数理统计含答案

考试课 卷A《概率论与数理统计考试题》 班 学记号：~服从；:=记为；iid独立同分布 df分布函数 𝒓𝒗随量 B(n,p)二项分布；P(λ)Poisson分布 Ge(p)几何分布Ex(λ)指数分布；U(a,b)均匀分布；N(μ,σ2)I(A)=1A对某射手打靶考核，有两次命中6环以下（不含6环）时，立即淘汰出局。如果此射手每次命中6环及其以上的概率是0.8则他在第四次射击后即被淘汰的概率 X=1（如果Ai发生） i

（反之 则 。又一定有A1A2与A3独立 一定有XX

X独立 A~

1p,q,r0,pqr1 p某箱装有100件产品其中一二和三等品分别为8010和10件现在随机抽取一件，令XiI(抽出i等品)，i=1,2,3，则P(X1X20)= X1和X2的相关系数则对X期望估计时，(𝑋1+𝑋)/2比𝑋更有效（ 利用切贝雪夫定理，(𝑋1+𝑋)/2以概率收敛于0，因此是一致估计 X1X2Xn是下列总体𝑋~𝐸𝑥(𝜆)的大小为n则P(X1X2) 而n足够大时样本均值X的近似分 设总体𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎2)，总体𝑌~𝑁(𝜇2,𝜎2)，且两个总体独立。从总体X和Y分别抽取容量是n1和n1的简单随机样本分别算得样本方差为S2和S2D(S2S2) 二(10分)nr+br1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第二个袋子再随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。Xk=

,k（反之试求Xk的分布 (2)设r=b，求X1和X2的相关系数三(10分)设(X,Y)pdf为f(xy2exI(0yx四(10分)用两个独立的同类设备分别组成串联、并联及备用（即当一个接通的设备不能工作时系统立即自动接通另外一个备用设备）系统。如此类设备的为Ex(λ),λ>0，试求三个系统在时刻t(>0)前失效的概率和三个系统的平均失效时间. 如果λ=5，2为第2此 Nt:=s,t0t,E(Nt|Ns=k)0stX1X2Xn是来自总体X的简单随机样本^当α=1,β未知时，求βM (2)当β=2，α未知时，求α̂L七(12分)为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。试验中，设采用原来催化剂和新催化剂的各进行了n1=n2=8次试验，而得到得率的平均值分别为𝑥1=91.73和1212附 z0 z0ααtαFα(n,Fα(n,Fα(n, (05.01) ϔ(36ߚ)฿ぎϢ߸ℷ䇃1.ᇍᶤᇘ᠟ᠧ䵊…㹿 䆒 1,3∖䱣 4.ᶤㆅ 1, 䆒ᘏԧXѠ䰊ⶽᄬ᠟, 6.䆒X1, ,Xn 1/2,N(1/,1/(n 7䆒ᘏԧ…߭D(S S2 2(n1n22)4 (n11)(n2Ѡ(10ߚ)䆒᠟nϾ㹟ᄤ1)ᴀc=1ⱘPolya

1Xk

k1,b/(rb)r/(r2)EXk2=1,㗠r=bEXk=0,k=1,2,…,n. ⬅Ь⊩ P(X P( 1, P( 1,

1)r

r11 2rcov(X1,X2)E(X1X2)P(X1X21)P(X1X 1.2rcov(X1,X2)cov(X1,X21EX1

2rϝ(ߚ)䆒(X,Y)ⱘpdf㾷1Yⱘ䖍㓬ᆚᑺЎfY( f(x, eyI(yᇍ ᠟ eydye ҢtP(Yt e(t s| P(Y e fX

f(x,

x2ex 2xe x0 xfX x2xexdx20ಯ(12ߚ)⫼ϸϾ⣀ゟⱘৠ㉏䆒㾷䆄ϸ䆒᠟ᇓੑߚ᠟ЎX᠟ ㋏㒳ᇓੑЎІ㘨U=min{X,Y}.FU(t)=1[1Fx(t)]2=1 t>0U~Ex(2),EU=1/(2ᑊ㘨U=max{X,Y}.FU(t)=[Fx(t)]2=(1exp{ t>0݀fU(u)=2exp{u}[1exp{ u>0EU=Emax{X, uf 2u

u[1

u

᠟⫼UX+Y.⬅-ߚᏗখ᭄᠟ᗻⶹU~(2,)0FU(t)0

tU(udu,

ЁfU(u)=2uexp{ u>0 EU=EX+EY=2/Ѩ(10ߚ)䆒᠟(s,t]↉ݙ᠟ᶤϾ㔥キ䆓䯂㾷(1). (2,),⬅Poisson⌕ᗻ䋼,ৃݭ2=X1+

ЁX, iid,~Ex( E2=EX1+EX2=᠟⫼ߛ䋱䲾᠟ϡㄝᓣ,P(|22 )P(|2E2|1)1DD DX 2/г䅵ㅫᑊ߽⫼E2=2/,E

t20

2

2t3etdt(3/

6/D22/ P(|22|)1220.92᠔∖ὖ⥛ⱘϟ䰤ЎE(Nt| k E(Ns Ns| k Ns| k) E(Nt Ns) ݀10ߚ)rvXⱘ㾷ᔧ Xⱘpdf f

I(xx⬅Ѣ xf x 1X

㾷 =X X

X ᇍѢᘏԧX x1,x2 2nL()f(xi;x

x3I ,i1,2,,i 1 xi i1,2,,n 䍞᠟,L()䍞 ᠟㗠 minx1,x2,,xnԄ䅵䞣 minX1,X2,,Xnϗ(12㾷(1)

221S2~F1S 11,n2S2㒳䅵䞣ᢦ㒱 0,F1/2(n11,n2 (F/2(n21,n11),s s22ᶹ F0.025(7,7)

3.822F1/2(n11,n21)1/F0.025(7,7)1/4.992 㒳䅵 22