高中数学人教B版第一章立体几何初步 14

第8课时1.1.6棱柱、棱锥、课时目标1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图．2．掌握棱柱、棱锥、棱台、球的表面积的计算公式，并能运用这些公式解决有关几何体的表面积和侧面积问题．识记强化1．设直棱柱高为h，底面多边形周长为c，则直棱柱侧面积公式为S直棱柱侧＝ch，即直棱柱侧面积等于它的底面周长和高的乘积．2．若正棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积公式为S正棱锥侧＝eq\f(1,2)nah′＝eq\f(1,2)ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．3．若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，其侧面积公式分别为S圆柱侧＝2πRh，S圆锥侧＝πRl，S圆台侧＝π(R＋r)l.4．球的表面积公式为S球＝4πR2，即球面面积等于它的大圆面积的四倍．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π答案：C解析：设正方体的棱长为a，则a3＝8，即a＝2.故该正方体的内切球的半径r＝1，所以该正方体的内切球的表面积S＝4πr2＝4π.2．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是()\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．16答案：C解析：每个面的面积为eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴该正三棱锥的表面积为4eq\r(3).3．若一个底面是正三角形的直三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于()\r(3)B．2C．2eq\r(3)D．6答案：D解析：该几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，则侧面积S侧＝3×(2×1)＝6.4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80答案：C解析：由三视图，可知该几何体是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，该直四棱柱的表面积S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).5．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()\f(3,16)\f(9,16)\f(3,8)\f(9,32)答案：A解析：如图所示，设球半径为R，由题意知OO′＝eq\f(R,2)，OF＝R，∴r＝eq\f(\r(3),2)R.S截面＝πr2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＝eq\f(3,4)πR2，S球＝4πR2.∴eq\f(S截面,S球)＝eq\f(\f(3,4)πR2,4πR2)＝eq\f(3,16).6．圆柱的底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πSB．2πSC．πS\f(2\r(3),3)πS答案：A解析：设底面半径为r，故S＝πr2.由侧面展开图为正方形，则高h＝2πr，则圆柱的侧面积为2πrh＝4π(πr2)＝4πS，故选A.二、填空题(每个5分，共15分)7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在其上钻一个圆柱形的孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________．答案：3解析：设圆柱形孔的底面半径为r，母线长为l，由题意，知圆柱形孔的侧面积等于圆柱形孔的上底面与下底面的面积之和，即2πr×l＝2πr2，所以l＝r，分析可知r＝3.8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．答案：(2＋eq\r(2))a2解析：依题意知，在该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面四边形ABCD是边长为a的正方形，因此有PD⊥CD，PB⊥BC，PB＝PD＝eq\r(2)a，所以该四棱锥的表面积等于a2＋2×eq\f(1,2)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×a＝(2＋eq\r(2))a2.9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，AC＝12，BC＝5，若一个球和它的各个面都相切，则该三棱锥的表面积为________答案：180解析：∵AC＝12，BC＝5，BC⊥AC，∴AB＝13.设棱柱的内切球的半径为r，则Rt△ABC的内切圆为球的大圆，∴r＝eq\f(5＋12－13,2)＝2.∴棱柱的高为2r＝4.∴棱柱的表面积S＝2×eq\f(1,2)×5×12＋(5＋12＋13)×4＝180.三、解答题10．(12分)已知正三棱锥S－ABC的底面是边长为eq\f(15,2)的正三角形，侧棱与高的夹角为60°，求该正三棱锥的侧面积及表面积．解：设O为正三角形ABC的中心，连接SO，AO，则△AOS为直角三角形．∵AB＝eq\f(15,2)，∴AO＝eq\f(2,3)×eq\f(15,2)sin60°＝eq\f(5\r(3),2).∵侧棱与高的夹角为60°，∴SA＝eq\f(AO,sin60°)＝5.过点S作SE⊥AB，垂足为点E，则△SEA为直角三角形，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(15,4)，SE＝eq\r(SA2－AE2)＝eq\f(5\r(7),4)，∴S侧＝eq\f(1,2)×eq\f(15,2)×eq\f(5\r(7),4)×3＝eq\f(225\r(7),16)，∴S表＝S侧＋S底＝eq\f(225\r(7),16)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))2×sin60°＝eq\f(225,16)(eq\r(3)＋eq\r(7))．11．(13分)如图，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面的中心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值．解：设圆锥底面的半径为r，则母线长为2r，高为eq\r(3)r，∴圆柱的底面半径为r，高为eq\r(3)r，∴eq\f(S圆柱侧,S圆锥侧)＝eq\f(2πr·\r(3)r,πr·2r)＝eq\r(3)，即圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为eq\r(3).能力提升12．(5分)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．答案：12π解析：此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3，底面圆的直径为2，所以S表＝4π＋π＋π＋2π×3＝12π.13．(15分)圆锥的底面半径为5，高为12，当它的内接圆柱的底面半径r为何值时，圆柱的表面积达到最大值？解：如图，取圆锥的一个轴截面，其中O′D＝r，O′O＝h，由△VO′D∽△VOB得VO′V