利用导数求参数的取值范围复习课程

第4讲利用导数(dǎoshù)求参数的取值范围第一页，共31页。高考(ɡāokǎo)定位由含参函数的单调性、极值、最值求参数的取值范围是近几年高考(ɡāokǎo)命题的重点，试题难度较大．第二页，共31页。第三页，共31页。答案(dáàn)C第四页，共31页。2．(2014·新课标全国(quánɡuó)卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是 ()． A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)第五页，共31页。答案(dáàn)B第六页，共31页。第七页，共31页。答案(dáàn)C第八页，共31页。[考点整合]1．函数(hánshù)单调性的应用 (1)若可导函数(hánshù)f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立； (2)若可导函数(hánshù)f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立； (3)可导函数(hánshù)f(x)在区间(a，b)上为增函数(hánshù)是f′(x)＞0的必要不充分条件．第九页，共31页。2．分离参数法 当参数的系数符号确定时，可以先考虑(kǎolǜ)分离参数，进而求另一边函数的最值，有a＞f(x)恒成立，即a＞f(x)max，或有a＜f(x)恒成立，即a＜f(x)min.第十页，共31页。热点一已知函数的单调(dāndiào)性求参数的取值范围【例1】(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)． (1)若a＝1，求函数f(x)的单调(dāndiào)区间； (2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．第十一页，共31页。第十二页，共31页。规律方法(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减(dìjiǎn))区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．第十三页，共31页。第十四页，共31页。第十五页，共31页。第十六页，共31页。热点二与函数极值、最值有关的求参数范围(fànwéi)问题[微题型1]与极值点个数有关的求参数的取值范围(fànwéi)【例2－1】(2014·温州适应性测试改编)已知函数f(x)＝ax2－ex，a∈R. (1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围(fànwéi)．第十七页，共31页。解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－ex，则f′(x)＝2x－ex.设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex.当x＝ln2时，g′(x)＝0，当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)＞0；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＜0，f′(x)max＝g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2＜0，故f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在R上单调(dāndiào)递减．第十八页，共31页。第十九页，共31页。第二十页，共31页。第二十一页，共31页。探究提高本题关键是把极值(jízhí)点看做是函数的导函数对应方程的根；在求范围时通常的做法就是构造相应函数，再由导数讨论单调性与极值(jízhí)求解．第二十二页，共31页。第二十三页，共31页。第二十四页，共31页。(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6，F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3.依题意(tíyì)知：当x∈[－1,1]时，φ(x)min≥F(x)max.∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，易知F′(x)在[－1,1]上单调递减，∴F′(x)min＝F′(1)＝3－e＞0，∴F(x)在[－1,1]上单调递增，∴F(x)max＝F(1)＝0.第二十五页，共31页。规律方法有关两个函数在各自指定的范围内的不等式的恒成立问题(wèntí)(这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的)，就应该通过最值进行定位，对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于f(x)min≥g(x)max，列出参数所满足的条件，便可求出参数的取值范围．第二十六页，共31页。【训练2】(2014·洛阳模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋b在x＝2处的切线方程(fāngchéng)为y＝9x－14. (1)求a，b的值及f(x)的单调区间； (2)令g(x)＝－x2＋2x＋m，若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x2)．求实数m的取值范围．第二十七页，共31页。第二十八页，共31页。(2)由(1)知f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增(dìzēng)，∵f(0)＝2＜f(2)＝4，∴f(x)max＝4.又g(x)＝－x2＋2x＋m在区间[0,2]上，g(x)max＝g(1)＝m＋1，由已知对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x)2，则有f(x)max＜g(x)max.则4＜m＋1，∴m＞3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).第二十九页，共31页。含参数(cānshù)的不等式恒成立、存在性问题(1)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)min；(2)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，都有f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)max；(3)∃x1∈[a，b]，∃x2∈