一轮复习北师大版离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件

§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布[最新考纲]

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1，2，…r).(1)均值EX＝____________________，EX刻画的是____________________．(2)方差DX＝

为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的

．a1p1＋a2p2＋…＋xrprX取值的“中心位置”E(X－EX)2平均偏离程度2．二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝___，DX＝__________．3．正态分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为_______的正态分布．(2)正态分布密度函数的性质①函数图像关于

对称；②

决定图像的“胖”“瘦”；③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝

；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝

；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝______．npnp(1－p)μ和σ2直线x＝μσ(σ>0)的大小68.3%95.4%99.7%【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(

)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(

)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(

)(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(

)(5)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(

)【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

(4)√

(5)×1．(教材改编)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为(

)A．0.4

B．0.6C．0.7D．0.9ξ78910Px0.10.3y【答案】

A【答案】

C【答案】

A4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．【解析】

E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.【答案】

0.7题型一离散型随机变量的均值、方差【例1】(2015·山东)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.【思维点拨】(1)根据“三位递增数”的定义一一列举．(2)先找出随机变量X的所有可能取值，并求出相应的概率，再根据数学期望公式求解．【解析】

(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.【思维升华】

对于均值、方差的计算要尽可能的运用其性质，从而运算简便．运算性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与均值．记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0+A1B0+A0B1+A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)【思维升华】

求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．跟踪训练2(2016·山东济宁模拟)某商场一号电梯从1层出发后可以在2，3，4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2，3，4层下电梯是等可能的．(1)求这4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的概率；(2)用X表示这4位乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．题型三正态分布的应用【例3】

在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．【思维点拨】

本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70，90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80，90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．【思维升华】

解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.跟踪训练3

在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100，100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80，120]内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．【解析】

(1)由ξ～N(100，100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544，即考试成绩位于区间(80，120]内的概率为0.9544.【答题模板】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．【温馨提醒】(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．►方法与技巧1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．(2)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．(3)如果所