第二章轴向拉伸和轴向压缩

第

2

章

轴向拉伸和轴向压缩◆

概述◆

轴力及轴力图◆拉压杆件横截面上的正应力◆

应力集中的概念◆拉压杆件的变形◆

拉伸和压缩时材料的力学性质◆拉压杆件的强度计算◆拉压超静定问题§2-1概述外力（的合力）沿杆轴线作用

——

外力特点

杆的主要变形是纵向伸长或缩短，同时杆的横向尺寸缩小或增大。

——

变形特点拉杆压杆FFFFFF拉（压）杆横截面上的内力——

轴力轴力的正负号规定：以拉为正，以压为负。mmFN

＝

F一、轴力的计算§2-2轴力及轴力图mmFFN二、轴力图以平行杆轴线的坐标轴为横坐标轴，其上各点表示横截面的位置；

正的轴力画在横坐标的上方，负的画在下方。

以垂直杆轴线的纵坐标表示横截面上轴力的大小，画出的图线即为轴力图。例1：作杆的轴力图。P11

例2-2FN12m2m2mABCD3

kN1

kN2

kN/m解：①分段求轴力113

kNA223

kN2

kN/mABFN233x1

kNDFN3内力按正的假设＋－FN（kN）最大轴力│FN│max＝3kN，发生在

AB段。2m2m2mABCD3

kN1

kN2

kN/m31②画轴力图FN1＝3kN2m2m2mABCD3

kN1

kN2

kN/m112233FN2＝3－2

x(kN)FN3＝3－2·2

＝－1kNx拉（压）杆件某一截面上的轴力，等于该截面一侧杆件上所有轴向外力的代数和。轴向外力离开该截面取正，

指向该截面取负。计算规则例2：画轴力图。ABCD解：四个控制截面，分三段。60

kN40

kN20

kN33＋－FN（kN）最大轴力│FN│max＝40kN，发生在

AB、CD

两段。1122404020拉压杆上集中力作用处，左、右截面上的轴力值有突变，突变值就等于该集中力的大小。重要结论拉压杆横截面上的应力？正应力σ分布规律？杆的变形规律？实验几何方面物理方面静力学方面§2-3拉伸和压缩杆件横截面上的正应力1．几何方面等截面直杆施加力之前，在杆的中部表面上画：

纵线（∥杆轴线）、横线（⊥杆轴线）施加力之后，杆有变形，观察：纵线仍为直线，且∥杆轴线横线仍为直线，且⊥杆轴线但都产生了平移FF材料的连续性作

假

设变形前为平面的横截面，变形后仍为平面。平面假设将杆看成由无数多条纵线（纤维）组成实

验观

察FF杆表面上各纤维均产生相同的变形平面假设推

断杆内部纤维变形相同各纤维线应变

e

相同各纤维原长相同e＝C（常量）2．物理方面在弹性变形范围内，变形与力成正比。各纤维线应变相同s＝C1（常量）横截面上各点的正应力相同横截面上的正应力均匀分布sF3．静力学方面横截面上的正应力合成的结果是内力——轴力sFsFN＝A拉压杆横截面上正应力计算公式几点说明：②

正应力的正负号与轴力的正负号一致；s

＞0

，拉应力，s

＜0，压应力。sFN＝A①

正应力公式适用于横截面为任意形状的等截面拉压杆（变形为弹性变形）；③

正应力公式是根据“正应力在杆横截面上各点处处相等”导出的；④

对于变截面杆，正应力公式可作为近似计算公式。圣维南原理圣维南原理：力作用于杆端方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1～2个杆的横向尺寸。返

回h/4hh/2FFbh112233F33F11s

＝F/bh0.198s2.575sF22s

＝F/bh0.668s1.387ss

＝F/bh0.973s1.027sr

Adxgq＝xO例：等截面直杆长为

l，横截面面积为

A，材料密度(即单位体积质量)为r，求自重引起的最大应力。P18

例2-7

第一问lqxFN(x)

＝－q

xs

(x)

FN

(x)＝A＝－r

g

x＝－r

g

A

x│smax│＝

r

g

ldx＝r

g

A/dx应力非均匀分布§2-4应力集中的概念FF1122F11smaxF22ssmax

显著超过s0＝F/A0应力仍均匀分布由于截面急剧变化所引起的应力局部增大的现象应力集中A0：净截面面积当材料处于弹性范围时，最大局部应力smax应力集中因数a

＝

smax

/s0解析理论（弹性力学）实验数值方法（有限元法、边界元法等）可由确定。小孔、小槽：应力集中的影响不大，可不考虑。用净面积计算s

——

材料力学方法大孔、大槽：应力集中的影响大，必须考虑。——

弹性力学……等方法>1一、轴向变形§2-5拉伸和压缩杆件的变形FFalD

l

＝

l

－

l′l′aa′a′在弹性变形范围内，D

l

与F

、l

成正比，与A成反比。轴向伸长D

l＝FN

lEA比例常数

E虎克定律FN

＝

F①

E

——

材料拉伸（或压缩时）的弹性模量，

②

EA

——杆件的抗拉（压）刚度，表示杆件抵抗变形的能力，表示材料抵抗变形的能力，是材料常数。是杆件常数。③

变形公式的适用范围：在长为

l

的一段杆内，FN、E、A均为常量，且材料在线弹性范围内。或s

＝

E

esEe＝FNlEA△l＝④

虎克定律的另一种形式链接返回E、A为常量，求杆件的总变形。ABCF1F2F3l1l2（a）（b）ABFlqxdx取微段内力变化是个微量微段变形杆件变形作业：2－1(b、d)、3(b)轴力图的特征：某段上：

无荷载作用，轴力为常量。

有集中力作用，集中力作用处，轴力有突变，突变值就等于该集中力的大小。有均布荷载作用，轴力线性变化。总结拉压杆件横截面上的正应力sFN＝A横截面上的正应力均匀分布回顾sF拉压杆件轴向变形FNlEA△l＝二、横向变形D

a＝

a

－

a′在弹性变形范围内：横向缩短：横向应变：e

＝′D

aa＜

0＜

0e

＝－n

e′n

＝e′e或ll′FFaaa′a′n

——

泊松比，表示材料抵抗横向变形的能力，也是材料常数。弹性模量E、泊松比n

都是材料常数，数值通常由实验测得。P17表2-1正

泊松比负

泊松比例：等截面直杆长为

l，横截面面积为A，材料密度(即单位体积质量)为r、拉压弹性模量为E，求自重引起的杆轴向总变形。P18例2-7

第二问xOlqxFN(x)＋dFN(x)q＝r

gAdxFN(x)dx微段的变形：

例：图示三角架中，杆1、2均为钢杆，弹性模量E＝2×105

MPa，横截面面积A1＝100mm2，A2＝400mm2，杆长l1＝1m。设F＝40kN，求节点A的位移。1245°BCFAP19例2-81245°BCFAFAFN1FN2①求内力②求变形拉力压力伸长缩短F1245°BCA③求位移A1A2A'AA1＝Dl1AA2＝Dl245°AA1A2A''A345°A4Dh＝AA1＝Dl1Dv＝AA3＝AA4＋A4A3材料的力学性质：材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性。常温、静荷载材料低碳钢塑性材料脆性材料试

验铸铁§2-6拉伸和压缩时材料的力学性质标准试件拉伸试件——圆截面试件、矩形截面试件AB：工作段l：标距压缩试件——短试件（短圆柱体或长方体）l＝（1～3）d1．低碳钢的拉伸实验一、拉伸时材料的力学性质F

—

Dl曲线拉伸图应力—应变曲线s

—

e

图AB拉伸应力应变曲线⑴低碳钢ⅠⅡⅢⅣ①弹性阶段e弹性极限p比例极限拉伸曲线的四个阶段E＝s

／e②屈服阶段s屈服极限拉伸曲线的四个阶段屈服流动滑移线③强化阶段b强度极限拉伸曲线的四个阶段强化④破坏阶段颈缩现象拉伸曲线的四个阶段延伸率⑵材料的塑性指标d

=——

×100％l

1

－

llψ

=———

×100％A

－

A

1A截面收缩率δ≥5％

塑性材料δ＜5％

脆性材料⑶冷作硬化现象卸载后再加载时，材料的比例极限提高了，且不再有屈服现象；拉断后的塑性变形减少了。2．其它塑性材料拉伸时的力学性质

Q235钢有屈服阶段，其它材料无明显的屈服阶段。条件屈服极限：

塑性应变等于0.2％时的应力值。0.2对于没有明显屈服阶段的塑性材料3．铸铁的拉伸实验①应力应变曲线上没有明显的直线段；②变形很小，拉断后的塑性变形只有0.5％～0.6％；③没有屈服阶段和颈缩现象。塑性材料：su

＝sS

脆性材料：su

＝sb强度指标（失效应力、极限应力）脆性材料塑性材料⒈

低碳钢的压缩试验二、压缩时材料的力学性质⒉铸铁的压缩试验⒊混凝土的压缩试验不加润滑剂加润滑剂软化提高了sb降低了sb不加润滑剂作业：2－4(a)、10、14⒋木材的压缩试验顺纹压缩横纹压缩各向异性材料P27表2-2而脆性材料的抗压能力远大于抗拉能力。三、塑性材料与脆性材料的比较①塑性材料的抗拉强度比脆性材料的抗拉强度高；塑性材料——受拉杆件，脆性材料——受压杆件②塑性材料能产生较大的塑性变形，而脆性材料的变形较小。塑性材料抵抗冲击的能力较好承受动荷载的构件——塑性材料塑性材料的抗拉和抗压能力相同，③当构件中存在应力集中时，塑性材料对应力集中的敏感性较小，而脆性材料对应力集中的敏感性较大。

注意：材料的塑性或脆性与工作温度、变形速度、受力状态等因素有关。塑性材料塑性材料一、复合材料§2-7几种新材料的力学性质简介由两种或多种不同性质的材料用物理或化学方法制成的具有新性能的材料。复合材料具有极明显的各向异性。在平行于纤维的方向“增强”效应明显，而在垂直于纤维的方向则不显著。单层玻璃钢(纤维按同一方向排列时)沿纤维方向拉伸时的应力－应变曲线复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的弹性模量有关，而且与这两种材料的体积比有关。复合材料沿纤维方向的弹性模量可由并联模型得到：单层玻璃钢E＝Ef

Vf＋Em

(1－Vf)基体材料的弹性模量纤维材料的弹性模量纤维材料的体积与总体积之比二、粘弹性材料粘弹性：应力－应变关系与时间有关的性质聚合物在荷载作用下，将产生明显的粘弹性变形，是一种介于弹性和粘性之间的变形行为。若s

＝e

f(t)，则材料为线性粘弹性；若s

≠

e

f(t)，则材料为非线性粘弹性。粘弹性材料：

s

＝

f(e

，t)高分子材料(聚合物)是一种新兴的工程材料当应力保持不变时，应变随时间的增加而增加，这种现象称为蠕变。当应变保持不变时，应力将随时间的增加而减少，这种现象称为松弛。一般线弹性材料：在较高温度下也会出现蠕变和松弛；粘弹性材料：在一般环境温度下便会产生蠕变和松弛，粘弹性材料且应力－应变－时间关系还与温度有关。蠕变松弛一、容许应力和安全因数§2-8拉压杆件的强度计算塑性材料su

＝sS

→→

屈服或出现显著塑性变形脆性材料su

＝sb

→→

断裂极限应力su材料发生破坏FNAs

＝工作应力＜

su杆件安全①作用在构件上的外力常常估计不准确；②构件的外形与所受的外力往往比较复杂，进行分析时常常要采用一些简化，使得计算所得的应力(工作应力)通常都带有一定程度的近似性；③实际材料的组成与品质等难免存在差异，不能保证构件所用的材料与标准试件具有完全相同的力学性质；④其它因素，如杆件的尺寸制造不准确，加工过程中杆件受到损伤，杆件长期使用受到磨损或材料受到腐蚀等等。为了确保安全，构件应具有适当的强度储备。容许应力sun[s

]＝n

—安全因数，由多种因素决定。对静荷载问题：塑性材料：n

=

1.5～2.0脆性材料：n

=

2.0～2.5P31表2-3二、强度条件和强度计算拉压杆的强度条件①校核强度②设计截面（选择截面尺寸）③求容许荷载（确定承载能力）FNAs

max

＝

()

max≤

[s

]等截面杆：FNmaxAs

max

＝≤

[s

]

例1：空心圆截面杆外径

D＝20

mm，内径

d＝15mm，承受轴向荷载

F＝20

kN

作用，材料的屈服应力sS

＝235MPa，安全因数

n

S＝1.5，试校核杆的强度。FFsmax

＝145.5MPa[s

]

＝156.7MPasmax

＜[s

]杆强度条件满足！例2：气动夹具如图所示。已知气缸内径D＝140mm，缸内气压

p＝0.6MPa，活塞杆的[s

]=80MPa。试设计活塞杆的直径。工件DdpFFd

≥0.01213m取d

＝12mm例3：图示结构由两根杆组成。杆AC的截面面积为

450

mm2，杆BC的截面面积为

250

mm2。设两杆材料相同，容许拉应力均为[s

]=100MPa，求容许荷载[F

]。

P33例2-11FNACFNBC[F

]

＝48.36kN

思考题

：两端固定的等截面杆受力F作用，已知

l1、l2，求杆端约束力。FDBCl1l2一、超静定问题及其解法静定问题的特点：①未知力——全部由平衡方程求出；A12aaF②变形——自由发生。AaaFF1F2§2-9拉压超静定问题超静定问题的特点：①

未知力——不能全部由平衡方程求出；②

变形——受到限制，要满足协调条件。FA123aaAaaFF1F2F3找补充方程

？按变形协调条件找！FA123aaD

l1＝

D

l3cosa

变形协调条件补充方程＝F3

l3E3

A3F1

l1E1

A1cosaD

l

3内力与刚度比值有关

——

超静定问题的一个重要特征补充方程①

满足变形协调条件；②

与未知力联系起来。D

l

2D

l

1计算对称FA123aaD

l

3D

l

2D

l

1AaaFF1F2F3返回对称作业：2－18、19

例：图示结构中，杆1、2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BD为刚体，荷载F=50kN，容许拉应力[st]=160MPa，容许压应力[sC]=120MPa，试确定各杆的横截面面积。O1245°BCDHFlllBCDFllF1F2FByFBx0.5

D

l

2

cos45o＝D

l

1F2

=

4

F1O1245°BCDHFlllD1D

l

2C2D

l

1C20.5

D

l

2D

l

1C1C选

A

＝3.83×10-4m2C1二、装配应力杆件在加工制造时，有时尺寸会产生误差。对于静定结构，在装配时不会在杆内引起应力，但超静定结构在装配后，却会由于这种误差而在杆中产生应力，因为它是加载以前产生的，所以也称为初应力或预应力。这种应力称为装配应力，例：杆系结构由三根杆组成，3杆在制造时，其长度比设计长度