第二章地图的数学基础2

§3.2地图投影的基本概念一、问题的提出：

地图的数学基础

是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的数学基础。包括：经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。两个矛盾：

球面与平面之间的矛盾大与小的矛盾

将椭球面上的客观世界表现在有限的平面上,首先要实现由球面到平面的转换.如何转换?沿经线直接展开?沿纬线直接展开?沿经线直接展开?沿经线直接展开?

可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决球面与平面之间的矛盾——

将地球椭球面上的点转换成平面上的点。大与小的矛盾——地图投影比例尺二、投影方式：1.平行投影2.透视投影3.广义投影三、地图投影实质：

建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表示）之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：

四、地图比例尺解决大与小的矛盾.1.地图比例尺的含义当制图区域比较小、景物缩小的比率也比较小时：图上长度与相应地面之间的长度比例。当制图区域相当大、景物缩小的比率也相当大时：对地球半径缩小的比率，为主比例尺。在地图上体现为个别的点或线。因此，用图者不可随意量算。图上也不可绘制直线比例尺。2.地图比例尺的表示（1）数字式比例尺：写成比的形式。

1：10000，1/10000（2）文字式比例尺：“一万分之一”，“图上1厘米等于实地1公里”（3）图解比例尺：直线比例尺斜分比例尺复式比例尺直线比例尺：以直线线段形式标明图上线段长度对所对应的地面距离。斜分比例尺：微分比例尺。根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。复式比例尺：投影比例尺，小比例尺地图上使用。根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。通常是对每一条纬线单独设计一个直线比例尺，再组合起来。（4）特殊比例尺变比例尺：将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的比例表示。无级别比例尺：因数字制图而出现。可以把存贮数据精度和内容详细程度都比较高的地图数据库，称为无级别比例尺地图数据库。成都理工大学测量工程系四.地图投影变形1.投影变形的概念

比较地图上和地球仪上的经纬线网特征

地球仪上的经纬网特征： 长度：经线，纬线、同一纬线上相同经差的纬线长度，同一经线上相同纬差的经线长度 面积：同一纬度带，相同经差构成的球面梯形、不同纬度带，相同经差构成的球面梯形 角度：经纬线的夹角成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系可以发现，变形表现在长度、面积和角度三个方面。成都理工大学测量工程系

1.长度比和长度变形：

长度比是投影面上一微小线段ds’和球面上相应微小线段ds之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。描述投影变形的相关概念成都理工大学测量工程系2.面积比和面积变形

面积比：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。P

表示面积比Vp

表示面积变形

成都理工大学测量工程系 角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A

′点的坐标为(x

′

、y

′)，则最大角度变形可用极值长度比a,b表示实用上常以下公式求得：长度变形是各种变形的基础！成都理工大学测量工程系标准点、标准线和等变形线标准点：指地图投影面上没有任何变形的点。即投影面与地球椭球体面相切的点，离标准点越远，变形越大标准线：指地图投影面上没有任何变形的线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线（标准经线或标准纬线），离标准线越远，变形越大。等变形线：指投影面上变形值相等的各点的连线。不同等变形线形状的投影适合不同形状的制图区域，这是选择地图投影要考虑的因素之一。成都理工大学测量工程系地球仪上的微分圆投影到平面上，投影后大多变为椭圆（极个别为圆），即变形椭圆。X’Y’M’χ’y’XYMχyα2.变形椭圆成都理工大学测量工程系用变形椭圆表示投影变形：rr’<rr’>rbaab=r2a>r,b=ra≠r;b≠ra，b表示椭圆的长半轴与短半轴成都理工大学测量工程系五.投影分类－－按投影的变形性质分类可分为等角投影、等积投影和任意投影。任意投影：长度、角度、面积三种变形同时存在。等距投影:a=1或b=1等积投影:P=a.b=1等角投影：ω=0a=br＝1成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系地图投影分类——按投影方式分类（1）几何投影:将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。成都理工大学测量工程系

方位投影:

以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影，横轴投影，斜轴投影:正轴方位投影，投影面与地轴相垂直；横轴方位投影，投影面与地轴相平行；斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。

圆柱投影:

以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

正轴：圆柱轴与地轴重合；横轴：圆柱轴与地轴垂直；斜轴：圆柱轴与地轴斜交；

圆锥投影:

以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

正轴：圆锥轴与地轴重合；横轴：圆锥轴与地轴垂直；斜轴：圆锥轴与地轴斜交；

正轴投影的经纬线形状

a.正轴方位：经线为放射状直线，纬线为同心圆；

b.正轴圆柱：经纬线均为一组平行且间隔相等的直线，纬线与经线垂直；

c.正轴圆锥：经线为放射状直线束，纬线为同心圆。

正轴投影的变形特点

（1）方位投影变形特点：①等变形线与纬圈一致；②在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大；③在割方位投影中，在所割小圆上，角度变形与“切”的情况一样，其他变形（长度变形与面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。

（2）圆柱投影变形特点：①变形随纬度变化，与经差无关；②在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道向两侧随纬度的增加而增大；③在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，变形自标准纬线向内和向外增大。

适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。

（3）圆锥投影变形特点:①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同的；②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n。=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬线向内、向外增大，在之间n<1,在之外n>1.

适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影成都理工大学测量工程系（2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。 伪方位（圆柱、圆锥）投影是在方位（圆柱、圆锥）投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系2.经纬线形状纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，经线夹角等于相应的经差。等角：纬线间距自投影中心向外逐渐增大。等积：纬线间距自投影中心向外逐渐减小。等距：纬线间距自投影中心向外保持不变。六.常用地图投影正轴切方位投影1.投影条件投影面为平面，切于极点成都理工大学测量工程系3.变形分布规律：投影中心无变形，等变形线为以投影中心（极点）为圆心的同心圆。等角：没有角度变形，但面积变形较大，离投影中心越远，面积、长度变形增大。等积：没有面积变形，但角度变形较大，离投影中心越远，角度、长度变形增大。等距：角度、面积变形都不太大，离开中心愈远面积、长度、角度、面积变形增大。4.应用编绘两极地区国际1：100万地形图。方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。成都理工大学测量工程系横轴方位投影1．投影条件投影面为平面，切点在赤道上。2．经纬线形状通过投影中心的中央经线和赤道投影后为直线，其他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。等角、等积和等距中央经线上的纬线间距特征同正轴方位投影3.变形分布规律投影中心无变形，等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。等角、等距和等积的变形特征同正轴方位投影。4．应用常用于制作赤道附近地区和东西半球图。成都理工大学测量工程系斜轴方位投影1．投影条件投影面为平面，切点位于两极和赤道间的任一点上。2．经纬线形状中央经线投影为直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影为曲线，纬线为同焦点的椭圆弧。中央经线上的纬线间距特征同正轴方位投影。3.变形分布规律投影中心无变形，等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。等角、等距和等积的变形特征同正轴方位投影。4．应用主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大区域地图。成都理工大学测量工程系方位投影变形性质的图形判别及应用①判别时先看构成形式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。②然后根据中央经线上经纬线间隔的变化，判别变形性质。

成都理工大学测量工程系

圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距圆锥投影三种，

正轴割圆锥投影成都理工大学测量工程系1．投影条件投影面为圆锥面，圆锥与球体相割。2．经纬线形状纬线呈同心圆弧，经线为交于圆心的直线束，为同心圆弧的半径，经线间的夹角与经差呈正比。3.变形分布规律两条割线投影后没有变形，两条标准纬线向外为正变形，向里为负变形，凡是距标准纬线越远，变形绝对值越大。距离相等的地方，变形数量相等，因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。

等角、等积、等距的纬线间距特征同方位投影4.应用：中纬地区东西略长，南北稍宽地区的地图成都理工大学测量工程系百万分一地形图投影－等角正割圆锥投影新编国际百万分一地图采用双标准纬线等角正割圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。中国《1∶100万地形图编绘规范》规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4°分带长度变形最大值:±0.03%面积变形最大值:±0.06%成都理工大学测量工程系正轴圆柱投影特点：经纬线是互相垂直的直线，经纬线方向是主方向。切圆柱投影，赤道是一条没有变形