第二章电磁场的基本方程

第二章电磁场基本方程

Electromagneticfieldequations§2.0

电磁场的源§2.1

静态电磁场的基本定律和基本场矢量

§2.2

法拉弟电磁感应定律和全电流定律

§2.3

麦克斯韦方程组

§2.4

电磁场的边界条件§2.5

唯一性定理

本章要求正确理解产生电磁场的源，并掌握其表示方法

正确理解并熟练掌握电磁场各物理量的定义及其物理意义掌握恒定电场、磁场的基本方程与边界条件，熟悉恒定电场、磁场的基本性质，熟练运用高斯定理、安培环路定律求解具有一定对称性分布的电场、磁场麦克斯韦方程是描述宏观电磁现象的普遍规律，是求解电磁场与波问题的基本方程，必须牢固掌握其积分和微分形式，深刻理解其物理意义边界条件是不同媒质分界面上的场方程，也是麦氏方程在边界面上的表现形式，在求解电磁边值问题中起定解作用，必须正确理解和使用一、电荷与电荷密度Chargeandchargedensity1、体电荷密度体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。体电荷密度的定义：在电荷空间V内，任取体积元，其中电荷量为§2.0电磁场的源量Sourceof

Electromagneticfield

电荷和电流是产生电磁场的源2、面电荷密度面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。体电荷密度的定义：在面电荷上，任取面积元，其中电荷量为3、线电荷密度线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。线电荷密度的定义：在线电荷上，任取线元，其中电荷量为4、点电荷点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度I描述。电流强度I的定义：设在时间内通过某曲面S的电量为，则定义通过曲面S的电流为：电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量。恒定电流：电流大小恒定不变。即：二、电流与电流密度Electroniccurrent(density)

引入电流密度矢量描述空间电流分布状态。1、体电流密度VolumeElectroniccurrentdensity

体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流体电流密度定义：设正电荷沿方向流动，则在垂直方向上取一面元，若在时间内穿过面元的电荷量为，则：为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度。2)2、面电流密度SurfaceElectroniccurrentdensity当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。面电流密度定义：电流在曲面S上流动，在垂直于电流方向取一线元，若通过线元的电流为，则定义2）若表面上电荷密度为，且电荷沿某方向以速度运动，则可推得此时面电流密度为：注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。3）穿过任意曲线的电流：证明1）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）讨论：3、线电流与电流元电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电流元：长度为无限小的线电流元。§2.1静态电场的基本定律基本场矢量：电场强度E电通量密度（电位移矢量）D磁通量密度(磁感应强度)B磁场强度H基本定律：库仑定律高斯定理毕奥-萨伐定律安培环路定律静电场：由静止电荷产生。即：恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。静态电磁场：不随时间发生变化静电场、恒定电场、恒定磁场图2-1两点电荷间的作用力

库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。一、库仑定律Coulomb’sLaw2.1.1库仑定律和电场强度

Coulomb’sLawandElectronicFieldIndensity式中,K是比例常数,r是两点电荷间的距离,是从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号,该力是斥力,异号时为吸力。在国际单位制中,库仑定律表达为式中,q1和q2的单位是库仑(C),r的单位是米(m),ε0是真空的介电常数:说明：2、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。1、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。3、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的矢量叠加4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必须进行矢量积分5)由库仑定律知,在离点电荷q距离为r处的电场强度为二、电场强度单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强度，以E表示。式中q

为试验电荷的电量，F为电荷q受到的作用力。说明：1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场；2）电场强度的方向与电场力的方向一致；3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。4)电场的单位：牛顿/库仑(N/C)定义：1.介质分子的电偶极矩(Electricdipolemoment):介质中的分子一般有两种类型，一种分子的正负电荷中心重合，没有电偶极矩，称为无极分子；另一种分子的正负电荷中心不重合，有电偶极矩，称为有极分子。在热平衡的情况下，分子无规则运动，其取向各方向均等，宏观上不显出电偶极矩和电特性

无极分子有极分子§2.1.2介质极化

DielectricPolarization

一、极化与极化强度矢量Polarizationintensity2.介质的极化在电场作用下，无极分子正负电荷的中心相对位移，变为有极分子。有极分子的取向将沿电场方向呈现一定的规则性，宏观上出现电偶极矩，这就是介质的极化。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。有极分子无极分子Ea式中e

称为极化率，它是一个正实数。

3.极化强度矢量大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度

与介质中的合成电场强度成正比，即极化强度矢量描述了介质极化的程度，它等于单位体积内的电偶极矩，即其中为小体积ΔV中的第i个分子的电偶极矩，对ΔV中的所有分子进行求和。V应理解为物理无限小的体积媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。介质中的极化电荷不能离开分子移动，所以又称为束缚电荷。极化电荷的分布用极化电荷体密度P或极化电荷面密度SP来表示。

1、体极化电荷Volume

polarizationcharge介质被极化后，每个分子可以看作是一个电偶极子，其电偶极矩为在介质体内取闭合面S，在闭合面S所围体积内取小体积元穿出dS面的电荷量为：二、极化电荷（束缚电荷）Polarizationcharge穿出整个S面的电荷量为：由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为说明：若媒质均匀极化（与空间位置无关），则介质无体极化电荷。均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。它反映了空间任意点极化强度与极化电荷分布之间的关系，通常可用来求解介质内部的极化电荷分布。2、面极化电荷surface

polarizationcharge

穿出面元dS

的电荷量为：式中：为媒质极化强度为媒质表面外法向单位矢量这就是极化强度与表面极化电荷密度的关系，它通常被用来求解介质受到极化时而产生的表面极化电荷分布。polarizationintensity3、两种介质分界面上的极化电荷

说明：1)极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷2)由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；3)极化媒质分界面上一般存在极化电荷；4)若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电荷处一般存在极化电荷。此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常数与时间无关。各向异性介质中微分形式矢量(ε0E+P)的散度仅与自由电荷有关,称该矢量为电通密度(或称电位移矢量),其单位为C/m2(库/米2),用D表示,三、电介质中的方程高斯定理介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。用此式求解介质中静电场分布时不需要再考虑极化电荷，此时极化电荷的作用已经包含在等式左边的D之中电位移矢量D在空间形成一个有源场，自由电荷是其散度源。某点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度说明：将上式两边在任一体积V内积分,并应用散度定理积分形式由于极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响，因此在介质中静电场的旋度不变，仍有介质中的环路定理旋度方程式中：为真空中的介电常数为媒质的极化强度为外加电场强度(Electricfieldintensity)讨论：1）式中：称为电介质的介电常数。称为电介质相对介电常数。电介质的本构关系四、电位移矢量

(ElectricDisplacement,ElectricFluxDensity)2）真空中的本构关系为：3）真空中点电荷产生的电位移矢量为：4）真空中静电场的基本方程：实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以r

表示，其定义为可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。几种介质的相对介电常数的近似值。介质介质空气1.0石英3.3油2.3云母6.0纸1.3~4.0陶瓷5.3~6.5有机玻璃2.6~3.5纯水81石腊2.1树脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr2相对介电常数驻极体：外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。解：在驻极体内：驻极体在表面上：求半径为a，永久极化强度为的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：例题一解：由定义，知：在线性均匀媒质中，已知电位移矢量的z分量为，极化强度求：介质中的电场强度和电位移矢量。例题二是媒质的介电常数,在真空中ε=ε0。这样,对真空中的点电荷q,除电场强度E外,描述电场的另一个基本量是电通量密度D,又称为电位移矢量。在简单媒质中,电通量密度由下式定义:

一、电通量密度：Electronicflux电通量:电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量二、高斯定理2.1.3高斯定理,电通量密度

Gauss’sLaw,ElectronicfluxGauss’sLaw

此通量仅取决于点电荷量q,

而与所取球面的半径无关。如果在封闭面内的电荷不止一个,则利用叠加原理知,穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量即穿过任一封闭面的电通量,等于此面所包围的自由电荷总电量取积分曲面为半径为r的球面，电通量为：高斯定理：说明：若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的,则所包围的总电量为上式对不同的V都应成立,因此两边被积函数必定相等,于是有高斯定理的微分形式三、利用高斯定理求解静电场关键：高斯面的选择。高斯面的选择原则：用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或为恒定值。求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。分析：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：式中：例题一说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效。已知真空中电荷分布函数为：式中r为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。解：由高斯定理r>a例2.2.1毕奥-萨伐定律,磁通量密度TheBiot-SavartLaw,Magneticfluxdensity

运动电荷在磁场中受到的作用力的特点：与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。受力为零的方向为零线方向如果最大作用力为Fm

，则实验发现沿偏离零线方向

角度运动时，受力为Fmsin磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。磁感应强度矢量

:描述空间磁场分布。一、磁感应强度Magneticfluxdensity

§2.2静态磁场的基本定律在磁场空间中，以速度运动的电荷q0所受的作用力为说明：

称为磁感应强度或磁通密度，单位为T（特斯拉）。其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。两个载流回路间的作用力

真空中，两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2，则：

r是电流元I´dl′至Idl的距离,是由dl′指向dl的单位矢量,μ0是真空的磁导率:二、毕奥-萨伐定律TheBiot-SavartLaw两个电流回路之间的作用力为：安培力定律:Ampere’sforcelaw电流元在磁场中受到的磁场力为：若由电流元产生，则由安培力定律可知，电流元产生的磁感应强度为：毕奥－萨伐尔定律说明：、、三者满足右手螺旋关系。二、电流元产生的磁场的磁场强度1、体电流三、体电流与面电流产生的磁感应强度2、面电流3、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场例题一求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。分析：在轴线上，磁场方向沿z向。电流分布呈轴对称。解：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元，令其坐标位置矢量为。易知：例2.1参看图2-3,长2l的直导线上流过电流I。求真空中P点的磁通量密度。图2-3载流直导线

解

采用柱坐标,电流Idz′到P点的距离矢量是解

采用柱坐标,电流Idz′到P点的距离矢量是对无限长直导线,l→∞,有在磁场作用下，磁介质将产生磁化现象。一、磁化与磁化强度矢量1、分子电流模型电子绕核运动，形成分子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流的磁特性可用分子极矩表示。2.2.2

物质的磁化现象电子运动形成的微观电流分子电流所围面元2、介质的磁化现象磁化前，分子极矩取向杂乱无章，磁介质宏观上无任何磁特性。磁介质内存在外加磁场时：大量分子的分子极矩取向与外加磁场趋于一致，宏观上表现出磁特性。这一过程即称为磁化。3、磁化强度矢量磁化强度矢量描述磁介质被磁化的程度。物理意义：单位体积内分子磁矩的矢量和。MagnetizationVector磁介质被磁化后，内部和表面可能会出现附加电流，称这种电流为磁化电流（束缚电流）。内部和表面的电流分别称为体磁化电流和面磁化电流。若媒质的磁化强度为，则：二、磁化电流磁化电流体磁化电流密度面磁化电流密度媒质表面外法向方向1、若媒质被均匀磁化，无体磁化电流；磁化电流只会出现在介质表面上

2、磁化介质表面一般存在磁化电流；3、磁化电流仍然遵循电流守恒关系；4、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流处存在磁化线电流。说明：当磁介质中存在磁场时：磁介质中的磁通量为：磁场强度矢量，定义三、磁场强度矢量

Magneticfieldintensity一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：式中：为磁介质的磁化率（磁化系数）磁媒质本构关系式中：称为媒质相对磁导率称为媒质磁导率((Relative)permeability)

(Relative)Permittivity已知半径为a，长度为l的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径

P点处由磁化电流产生的磁感应强度。xyzlP(0,0,z)0a解取圆柱坐标系，令z

轴与圆柱轴线一致，如图示。又表面磁化电流密度式中en

为表面的外法线方向上单位矢。因，所以表面磁化电流密度仅存在于圆柱侧壁，上下端面的磁化电流密度为零。因此例由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，因此，，即体分布的磁化电流密度为零。0=Ñ=¢MJxyzlP(0,0,z)zdz'0a显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电流。位于z处宽度为dz

的环形电流为(

dz)，那么该环形电流在轴线上z

处(z>>a)产生的磁感应强度dB

为那么侧壁上全部磁化电流在轴线上z

处产生的合成磁感应强度为计算电流环产生的BxyzlP(0,0,z)zdz'0az-z´>>a若媒质2为空气，媒质1为铁磁媒质。即：物理意义：磁场由铁磁体物体穿出进入一个非磁性物质的区域时，磁场几乎垂直于铁磁体物质的表面。在铁磁媒质表面，磁场方向与表面垂直。若媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质物理意义：磁场由非磁性物质穿出进入一个铁磁体物体的区域时，对任意一个不接近零的角度1，在磁体媒质中的磁场几乎与分界面平行。无限长线电流位于z轴，介质分界面为水平面，求空间的分布和磁化电流分布。分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律求解。磁场方向沿方向。解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，在分界面两边，连续而不连续。由安培环路定律：例题4求磁化电流：介质磁化强度为：体磁化电流为：面磁化电流为：在介质内r=0位置，还存在磁化线电流Im。由安培环路定律，有：分析:可由电流守恒的关系求如图，铁心磁环尺寸和横截面如图，已知铁心磁导率，磁环上绕有N匝线圈，通有电流I。求:(1)磁环中的，。(2)若在铁心上开一小切口，计算磁环中的，。解：(1)由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得例题5(2)开切口后，在切口位置为边界问题。在切口处，磁场垂直于边界面，由边界条件知在分界面上连续，大小为B,不连续。设环内外的H分别为H1、H2由安培环路定律，在磁环内取闭合积分回路，则可得由于铁心很细，可近似认为磁力线均匀分布在截面上。在简单媒质中,磁场强度H由下式定义:

在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：称为媒质磁导率。为真空中的磁场强度Magneticfieldintensity安培环路定律Ampere’scircuitallaw安培环路定律(积分形式)2.2.3安培环路定律、磁场强度对无限长直导线因为S面是任意取的,所以必有由斯托克斯定理，J为电流密度，是一个矢量，电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。安培环路定律(微分形式)在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:利用斯托克斯定理得由于电场强度的旋度为0，可引入电位函数φ，使物理意义：静态电场是无旋场即保守场在静态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零——静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）一、电场强度的旋度2.2.4两个补充的基本方程二、磁场强度的散度：在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为0，即：散度定理磁通连续性定律（积分形式）孤立磁荷不存在磁力线在空间任意位置是连续的。孤立磁荷不存在

(A)≡0，故B可用一矢量函数的旋度来表示。

结论：2.3.1法拉第电磁感应定律

(Faraday’sLawofInduction)

静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场)

时变场:场的大小随时间发生改变。特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。一、电磁感应现象与楞次定律电磁感应现象——实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。

楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。§2.3

Time-varyingElectromagneticFields法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。二、法拉第电磁感应定律当回路以速度v运动时，斯托克斯定理法拉第电磁感应定律微分形式说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势;第二部分是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势当回路静止时，变化的电场能产生磁场物理意义：1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。2、感应电场是有旋场，其旋涡源为，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。

电流连续性方程时间内，V内流出S的电荷量为电荷守恒定律：时间内，V内电荷改变量为由电流强度定义：电流连续性方程的微分形式电流连续性方程积分形式2.3.2位移电流和全电流定律在时变情况下另一方面，由得到了两个相互矛盾的结果。位移电流在的右端加一修正项则是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度

:全电流定律由积分形式：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。

推广的安培环路定理全电流定律全电流变化的电场能产生磁场对任意封闭面S有

2.3.3全电流连续性原理

物理意义：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中,得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号,流入取负号)。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,德)电流定律:ΣI=0。

例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为求：(1)该时变场相伴的磁场强度；例题解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式设平板电容器两端加有时变电压U,试推导通过电容器的电流I与U的关系。

图2-4平板电容器例2.2解：

设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀,即E=U/d,从而得式中C=εA/d为平板电容器的电容。

§2.4麦克斯韦方程组Maxwell’sEquations

（推广的安培环路定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性定律）（高斯定律）一、麦克斯韦方程组的微分形式时变电磁场的源：

1、真实源（变化的电流和电荷）；

2、变化的电场和变化的磁场。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。物理意义：时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。二、麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式本构关系将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程组限定形式Constitutiveequations四、广义的麦克斯韦方程组引进磁流密度Jm和磁荷密度m后，麦氏方程变为

若媒质参数与位置无关,称为均匀(homogeneous)媒质;;若媒质参数与场强大小无关,称为线性(linear)媒质;;若媒质参数与场强方向无关,称为各向同性(isotropic)媒质;;若媒质参数与场强频率无关,称为非色散媒质;反之称为色散(dispersive)媒质。四、媒质的分类2.4证明导电媒质内部ρv=0。;［解］利用电流连续性方程(2-31),并考虑到J=σE,有

其解为

例导体内的电荷极快地衰减,使得其中的ρv可看作零。

铜σ=5.8×107S/mε=ε0

τ=1.5×10-19sρv随时间按指数减小驰豫时间:衰减至ρv0的1/e即36.8%的时间,τ=ε/σ(s)一、一般媒质分界面上的边界条件()§2.5

电磁场的边界条件在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、、发生突变，因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。

1、的边界条件Theboundaryconditionsfortime-varyingfields为表面传导电流密度。式中：为由媒质2－>1的法向。特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则结论：当分界面上存在传导面电流时，切向不连续，其不连续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时，切向连续。JsJv只有在理想导体表面才存在Js

2、的边界条件结论：只要磁感应强度的时间变化率是有限的，切向连续。3、的边界条件结论：在边界面上，法向连续。4、的边界条件为分界面上自由电荷面密度。特殊地：若媒质为理想介质，则,此时有当分界面上存在自由电荷时，切向不连续，其不连续量等于分界面上面电荷密度。当且仅当分界面上不存在自由电荷时，切向连续。5、J的边界条件在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。二、理想介质分界面上的边界条件在理想介质分界面上，矢量切向连续在理想介质分界面上，矢量法向连续BoundaryconditionsBetweentwoPerfectdielectrics在理想导体内部，在导体分界面上，一般存在自由电荷和传导电流。式中：为导体外法向。三、理想导体分界面上的边界条件

对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。BoundaryconditionsBetweenPerfectconductorsandperfectdielectric时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分