初中数学冀教版八年级上册第十七章特殊三角形1反证法

全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用．等腰三角形是轴对称图形，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．勾股定理1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(第1题)(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．三个性质eq\a\vs4\al(性质1)等腰三角形的性质(第2题)2.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()A．100°B．80°C．70°D．50°eq\a\vs4\al(性质2)等边三角形的性质3．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：BD＋CD＝AD.(第3题)eq\a\vs4\al(性质3)含30°角的直角三角形的性质4．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.求：(1)∠CBD的度数；(2)线段AB的长．(第4题)三个判定eq\a\vs4\al(判定1)直角三角形的判定5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22＋132＋142＋152＋1…(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n为整数且n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积．(第6题)eq\a\vs4\al(判定2)等腰三角形的判定7．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE，MN，MD与NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．(第7题)eq\a\vs4\al(判定3)等边三角形的判定8．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，R点离地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，为什么？(第8题)勾股数9．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数(x，y，z)叫做勾股数，如，(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数；(________，________，________)，(________，________，________)；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．四种方法eq\a\vs4\al(方法1)化曲(折)为直法10．如图所示，长方体的底面相邻两边的长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度是多少(用含n的式子表示)？【导学号：42282081】(第10题)eq\a\vs4\al(方法2)对称找点法11．如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸(直线l)的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，已知CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短总路程是多少？(第11题)eq\a\vs4\al(方法3)旋转法12．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．【导学号：42282082】(第12题)eq\a\vs4\al(方法4)化斜为直法13．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：(1)AC的长度；(2)△ABC的面积．(第13题)两个应用eq\a\vs4\al(应用1)勾股定理的应用14．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完全展开时的尺寸如图②所示．单位：cm)(第14题)eq\a\vs4\al(应用2)勾股定理的逆定理的应用15．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军的甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5nmile的A，B两个基地前去拦截(甲巡逻艇从A基地出发，乙巡逻艇从B基地出发)，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40nmile，乙巡逻艇每小时航行30nmile，航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．(第15题)16．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30m/min，第二组的步行速度为40m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1500m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角．(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？三种思想eq\a\vs4\al(思想1)方程思想17．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P.(1)若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；(2)若AP＝8，BP＝16，求AC的长；(3)若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M.你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．【导学号：42282083】(第17题)18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．(第18题)eq\a\vs4\al(思想2)转化思想19．求下列图形中阴影部分的面积．(1)如图①，AB＝8，AC＝6.(2)如图②，AB＝13，AD＝14，CD＝2.(第19题)eq\a\vs4\al(思想3)分类讨论思想20．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B.21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发时间为ts.(1)出发2s后，求△ABP的面积．(2)当t为何值时，BP平分∠ABC.(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【导学号：42282084】(第21题)答案1．解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625.∴AB＝25.(2)S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×20×15＝150.(3)∵CD是边AB上的高，∴eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD.∴CD＝12.2．A点拨：方法一：因为DA＝DB，所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.方法二：在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC＝360°－140°－120°＝100°.故选A.3．解：因为△ABC，△BDE均为等边三角形，所以BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°.所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC.所以∠ABE＝∠DBC.在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))所以△ABE≌△CBD(SAS)．所以AE＝CD.又因为AD＝AE＋ED，ED＝BD，所以BD＋CD＝AD.4．解：(1)在Rt△ADB中，∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝30°.∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°.又∵∠DBC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠CDB＝30°.(第4题)(2)如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE，易得DE＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝30°.∵∠CDM＝30°，∠CMD＝90°，∴CM＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×4＝2.又∵∠EBM＝∠CBM＝30°，∠EMB＝∠CMB＝90°，BM＝BM，∴△EBM≌△CBM，∴EM＝CM＝2.∴DE＝2EM＝4.∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°，∴∠DEA＝∠A，∴AD＝DE＝4.又∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8.点拨：含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．5．解：(1)n2－1；2n；n2＋1(2)是直角三角形．证明：因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2.所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．6．解：在Rt△ACD中，S△ACD＝eq\f(1,2)AC·CD＝30cm2，∵DC＝12cm，∴AC＝5cm.∵AB2＋BC2＝25，AC2＝52＝25，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×3×4＝6(cm2)．7．证明：在△ABC中，因为AB＝AC，且AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，所以AD＝eq\f(1,4)AC，AE＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,4)AC，所以AE＝AD.同理AM＝AN.在△ADM与△AEN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AE，,∠MAD＝∠NAE，,AM＝AN，))所以△ADM≌△AEN，所以∠AMD＝∠ANE.又因为AM＝AN，所以∠AMN＝∠ANM，所以∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，所以OM＝ON，所以△OMN是等腰三角形．8．解：连接RQ，RB，设BR与PQ交于点M.∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°，∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.又∵PR＝PQ，∴△PRQ为等边三角形．∴RP＝RQ.在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝45°，∴∠BQP＝90°－45°＝45°，∴∠BPQ＝∠BQP，∴BP＝BQ.∴点R，B在PQ的垂直平分线上，∴BM⊥PQ.在Rt△BMP中，∵∠BPQ＝45°，∴∠RBA＝45°.在Rt△RAB中，∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，∴∠ARB＝∠RBA，∴AR＝AB，即d＝a.点拨：若两个点到线段两端点的距离分别相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．9．(1)解：6；8；10；9；12；15(答案不唯一)(2)证明：x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，即x，y，z为勾股数．10．分析：要求所用细线最短，需将长方体的侧面展开，根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体的侧面展开，连接AB′，如图所示．因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6cm，所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.所以AB′＝10cm.所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(8n)2＋62＝64n2＋36.所以其长度为2eq\r(16n2＋9)(cm)．(第10题)11．分析：作点A关于河岸的对称点A′，连接A′B交CD于点M，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知在点M处饮水所走的总路程最短，最短总路程为A′B的长．解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，连接AM，则在点M处饮水所走的总路程最短，最短总路程为A′B的长．过点A′作A′H⊥BD交其延长线于点H，在Rt△A′HB中，A′H＝CD＝800米，BH＝BD＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(米)，由勾股定理得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002＝1000000，故A′B＝1000米，所以最短总路程是1000米．(第11题)点拨：本题考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，解题的关键是明确当点B，M，A′在一条直线上时，A′B的长是最短总路程．12．解：如图，连接EE′.由题意可知△ABE≌△CBE′，所以CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2.∠ABE＝∠CBE′.又因为∠ABE＋∠EBC＝90°，所以∠CBE′＋∠EBC＝90°.即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′2＝8.在△EE′C中，CE′2＋EE′2＝1＋8＝9＝CE2.由勾股定理的逆定理，可知∠EE′C＝90°.又因为BE＝BE′，∠EBE′＝90°，所以∠BE′E＝eq\f(180°－90°,2)＝45°，所以∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.(第12题)13．解：(1)∵AD是BC边上的中线，BC＝10，∴BD＝CD＝5.∵52＋122＝132，∴BD2＋AD2＝AB2.∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2＋CD2＝169.∴AC＝13.(2)S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×10×12＝60.14．解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，∵1202＋902＝22500，∴彩旗的对角线长为150cm.所以h＝320－150＝170(cm)．彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170cm.15．解：6分钟＝小时，AC＝40×＝4(nmile)，BC＝30×＝3(nmile)．因为AB＝5nmile，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB＝90°.又由已知条件得∠CBA＝90°－37°＝53°.所以∠CAB＝37°.所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.16．解：(1)因为半小时后，第一组行走的路程为30×30＝900(m)，第二组行走的路程为40×30＝1200(m)，9002＋12023＝15002，而此时两组同学相距1500m，所以两组同学行走的方向成直角．(2)设xmin后两组同学相遇．根据题意，得30x＋40x＝1500.解这个方程，得x＝eq\f(150,7).即这两组同学若以原来的速度相向而行，eq\f(150,7)min后能相遇．17．(1)证明：∵AC⊥AP，∴∠CAP＝90°，∵∠APC＝30°，∴∠ACP＝60°，∵∠ACP＝2∠BAC，∴∠BAC＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠ABP＝∠APC，∴AB＝AP.(2)解：由(1)知∠BAC＝∠ABP，∴AC＝BC，设AC＝x，在Rt△ACP中，由勾股定理建立方程得x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6.所以AC＝6.(3)解：∠AMP的大小不发生变化，∠AMP＝∠B＋eq\f(1,2)∠APC＝eq\f(1,2)∠ACP＋eq\f(1,2)∠APC＝eq\f(1,2)(∠ACP＋∠APC)＝eq\f(1,2)×90°＝45°.18．解：因为△ADB和△ACE都是等边三角形，所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.又因为∠DAE＝∠DBC，所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.又因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，则x＋2(x＋60)＝180，解得x＝20.所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.所以△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.19．解：(1)∵AB＝8，AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝100，BC＝10.∴BO＝5.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB×AC＝eq\f(1,2)×8×6＝24，S半圆＝eq\f(1,2)π×52＝eq\f(25,2)π，∴S阴影＝eq\f(25,2)π－24.(2)∵AD＝14，CD＝2，∴AC＝12.∵AB＝13，∴CB2＝AB2－AC2＝25，CB＝5.∴S阴影＝2×5＝10.20．解：设∠B为x°.因为∠A比∠B的2倍少50°，所以∠A为2x°－50°.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.当AB＝AC时(如图①)，此时有∠B＝∠C，则x＝230－3x.解得x＝°.当AB＝BC时(如图②)，此时有∠A＝∠C，则2x－50＝230－3x.解得x＝56°.当AC＝BC时(如图③)，此时有∠A＝∠B，则2x－50＝x.解得x