微积分第一章函数

§1.1集合集合的概念集合的表示法全集与空集子集集合的运算集合的运算律集合的笛卡尔乘积第一页，共二十六页，2022年，8月28日§1.2实数集区间与邻域(1)实数与数轴.(2)区间有:开区间、闭区间和半开半闭区间.第二页，共二十六页，2022年，8月28日区间也可以按其长度分为:有限区间和无限区间.邻域的概念

定义1.1设为一实数,为一正实数,即则称集合为点的邻域.若和均为有限的常数,则区间均为有限区间无限区间有第三页，共二十六页，2022年，8月28日点的邻域,在几何上表示的是以为圆心,以为半径的开区间其区间长度为见下图所示

注意:一般邻域内的点是指在点附近的点,故应将理解为比较小的正数.1.3.函数的定义第四页，共二十六页，2022年，8月28日

定义1.2:设和分别为两个实数集合,为一对应关系,如果对于中的每一个元素按照对应关系在集合中均有唯一的一个实数与之对应,即则称变量为变量的函数,记作其中称为因变量,称为自变量,称为对应法则,称为该函数的定义域.

关于该定义应注意当函数的定义域和对应法则确定了以后,该函数便被唯一的确定了,因此称函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素.第五页，共二十六页，2022年，8月28日

例1判断下列各组函数是否相同

解(1)

不同.因为的定义域是而的定义域为.显然它们的定义域不同.

(2)

相同.因为它们的定义域均为全体实数相同,且对应法则也相同第六页，共二十六页，2022年，8月28日

3.函数的定义域函数的定义域,是使函数有意义的自变量的取值的范围.求函数的定义域时应注意:

(1)考虑自变量与因变量有无实际意义;

(2)如果一个函数是若干项的代数和,则分别求出每一项的取值范围后,取其交集即可得定义域;

(3)对于分段函数来说,其定义域就是各区间的并集合.第七页，共二十六页，2022年，8月28日

解(1)要使该函数有意义,须有解之得故该函数的定义域为.故该函数的定义域为.

例2求下列函数的定义域(2)要使该函数有意义,须有解之得第八页，共二十六页，2022年，8月28日例3.确定函数的的定义域.第九页，共二十六页，2022年，8月28日(2)图象法(图形法).如函数

的图象为:

(3)列表法(表格法).

1.4.函数的表示法(1)解析法(公式法).如函数注意:有些函数是多个(两个或两个以上)解析式表示一个函数,数学上称这种函数为分段函数.第十页，共二十六页，2022年，8月28日1.5.建立函数关系的例题解决应用问题,首先要建立数学模型,也就是建立函数关系.在建立过程中,要确定自变量和因变量,还要考虑函数的定义域.例子:某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分批生产,每批生产准备费为b元.该产品均匀投入市场,且上一批用完后即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.为了选择最优库存,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.第十一页，共二十六页，2022年，8月28日解:设批量为x,库存费与生产准备费的和为P(x).那么我们有:函数自变量x的定义域为(0,a],并且x是正整数.1.6.函数的几种特性第十二页，共二十六页，2022年，8月28日1奇偶性:设函数在区间上有定义,如果对于任意,都有,则称该函数为奇函数;若对于任意,都有则称该函数为偶函数.例1判断下列函数的奇偶性解(1)因为第十三页，共二十六页，2022年，8月28日所以函数是奇函数.

(3)因为的定义域为所以函数无奇偶性,是非奇非偶函数.虽然所以是偶函数.(2)因为第十四页，共二十六页，2022年，8月28日注:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.

(4)因为所以函数是偶函数.

2.单调性

设函数在上有定义,对任意如果,则必有,则称函数在上单调递增;如果,则必有,则称函数在上单调递减.注:单调递增的函数其图象从左到右是上升的,第十五页，共二十六页，2022年，8月28日而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图yyxxoo

例如函数在区间上单调递增,在区间上单调递减;而函数在定义域上均单调递增.其图象如下:

单调递增单调递减yxoyxo单调性递增开始演示!演示单调性递减开始演示第十六页，共二十六页，2022年，8月28日

3.周期性

注意:(1)说函数递增还是递减时,应明确指出在哪一个区间上.因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同.如函数(2)当一个函数在其定义域上均单调递增(或递减)时,才称该函数为单调函数.如是单调函数.设函数在上有定义,如果存在正常数使得对于中的任意,都有则称该函数为周期函数,且称最小的为该函数的周期.如函数也是周期函数,其周是周期函数,其周期为而期为第十七页，共二十六页，2022年，8月28日

4.有界性

设函数在上有定义,如果存在正数,使得对于任意,都有恒成立.则称该函数在区间上有界.否则,称该函数在区间上无界.如函数在区间上有界,因在该区间上恒有成立;在区间上无界.而函数在其定义域R有界.因为总有第十八页，共二十六页，2022年，8月28日注意:(1)说一个函数是否有界,一般要指出区间.因同一个函数,在某区间上可能有界,而在另一个区间上可能会无界.(2)若一个函数在其定义域上有界时,可以不说区间,这时称函数是有界函数.

反函数1.反函数的定义B

定义1.3

设函数的定义域为集合A,其值域为B,如果对于B中的每一个元素,在集合A中都有唯一确定的与之对应,则说在集合B上定义了一个函数,称该函数为的反函数,记作,第十九页，共二十六页，2022年，8月28日

注1:易见反函数的定义域B即是原来函数的值域,而其值域即是原来函数的定义域.

注2:为了合呼我们的习惯,常把中的换为,把换为,从而的得.由于并不改变其定义域和对应法则,所以它们是相同的函数.

注3:函数与互为反函数

2.反函数的性质第二十页，共二十六页，2022年，8月28日

(1)单调函数必有反函数,且其反函数的单调性与原来函数的单调性一致.(2)函数与其反函数的图象关于直线对称.3.反函数的求法例4求的反函数

反函数的求法分三步:

①从中解出;②判断中的与是否一一对应;③若一个对应唯一一个,则将其换为,换为,即得函数的反函数.第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日

解从中解出,得显然,每一个均对应唯一的一个,所以交换变量得其反函数为基本初等函数

1.常量函数2.幂函数

3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日1.常函数yxoxoy3.指数函数4.对数函数oyxoyx

基本初等函数图象如下2.幂函数第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日5.三角函数x

yyx第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日6.反三角函数因为在其定义域内不单调,因此在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数,我们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下三个条件:①在所定义的区间上必须单调;②所定义的区间应尽可能的大一些;③所定义的区间要包含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点).于是,选择区间最合适y因为上式不太合呼大家的习惯,所以常做变量的更换,得由反函数的图象对称性可做出其图象为:第二十五页，共二十六页，2022年，8月28日初等函数

注1:条件非常重要,只