初中数学北师大版九年级上册第一章　特殊平行四边形 全市一等奖

矩形的性质与判定第1课时矩形的性质课后作业:方案（A）一、教材题目：P13—P14，T1-T41．一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长．2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．(第3题)数学理解4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．如图，不含阴影部分的矩形的个数是()（第3题）A．15B．16C．17D．4．(2023·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是()（第4题）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变7．(2023·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．9．(2023·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD(第9题)答案教材1．解：如图，由题可知∠BAC＝45°，AC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BCA＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝2AB2.∴AB＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(2),2)×6＝3eq\r(2).∴AB＝BC＝CD＝AD＝3eq\r(2).即这个矩形的各边长均为3eq\r(2).点拨：根据题意可判定△ABC为等腰直角三角形，从而求出AB的长，根据矩形的性质及AB＝BC可得矩形ABCD的各边长都相等．(第2题)2．解：如图，∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(15,2).又∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形．∴AB＝BO＝eq\f(15,2)，即这个矩形较短边的长为eq\f(15,2).点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分可知BO＝AO＝eq\f(1,2)AC.又已知∠AOB＝60°，从而可得△ABO是等边三角形，进而得到这个矩形较短边的长．3．解：四边形ADCE是菱形．证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．∴AE＝CD，CE＝AD.又∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝eq\f(1,2)AB.∴AE＝CD＝CE＝AD.∴四边形ADCE是菱形．点拨：判定四边形是菱形时，应根据条件选择合适的判定方法．如本题可得到边的关系，应根据四边相等的四边形是菱形进行判定．(第4题)4．解：已知，如图，CD是△ABC的中线，且CD＝eq\f(1,2)AB.求证：△ABC是直角三角形．证明：∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD＝eq\f(1,2)AB.又∵CD＝eq\f(1,2)AB，∴CD＝AD＝BD.∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.∴∠ACD＋∠BCD＝∠A＋∠B，即∠ACB＝∠A＋∠B.∴∠ACB＝180°－∠ACB.∴∠ACB＝90°.∴△ABC是直角三角形．点拨：要证明一个三角形是直角三角形，一般证明它的一个内角等于90°.典中点3．C7．或点拨：分两种情况：①如图①，由矩形的性质得出CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADC＝∠CDF＝90°，由菱形的性质