浅谈非线性回归模型的线性化

浅谈非线性回归模型的线性化广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部卢瑞勤(516213)回归分析在各个领域中都有十分重要的作用，比如：在财务中可以用回归分析进行财务预测；在医疗检验中可以用回归分析进行病理预报等等。高中新课标教材就在《必修3》和《选修2-3》中分别增加了《线性回归》和《回归分析》的内容，介绍了求线性回归方程的方法。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，本文结合本人的教学实践，对教材中的这两部分内容进行适当延伸，谈谈对一些可线性化的非线性回归模型的线性化问题，供各位同行在教学时参考。一、 什么是可线性化的非线性回归模型线性回归模型的基本特征是预报变量可以表示成解释变量和一个系数相乘的和，即预报变量y可以表示成解释变量工(i=1，2,3,……)的如下形式：y=a+ax+ax+ax+…，其中变量xi 0 11 22 33 i是以其原型(而不是以xn或其它)的形式出现，变量y是各变量xi的线性函数。而有些回归模型不具备这个特点，但是可以通过适当的代数变换转化成这种形式，我们称这类回归模型为可线性化的回归模型。在本文中，我们只讨论只有一个解释变量可线性化的非线性回归模型的线性化。二、 非线性回归模型的线性化的基本思路非线性回归模线性化的基本思路是：由已知数据，确定解释变量和预报变量，作出散点图，根据经验，确定回归曲线的类型，然后作适当的代数变换，若变换后散点图体现较好的线性关系，即可将其化成线性形式求解，最后还原到原来的回归曲线。如果回归曲线可用多种形式表示，可以各自将其线性化后求解，再用相关系数R2进行拟合效果分析，R2越大，拟合效果越好，所求的回归方程也就越精确。三、 非线性回归模型的线性化的常用方法可线性化的非线性回归模型有以下几种常见类型：双曲线型，其形式为-=b+＜，其变换为y'=1，x'=上，变换后的形式为y'=b+ax1yx yx幕函数型，其形式为y=axb，可以变形为lny=Ina+bInx，作变换y'=lny，x'=lnx，变换后的形式为y'=a+bxf指数函数型，其形式为y=aebx，以变形为lny=lna+bx，作变换y'=lny，a=Ina，变换后的形式为y'=a+bx对数函数型，其形式为y=a+blnx，作变换x'=lnx，变换后的形式为y=a+bx'下面以高中新课标数学教材《选修2-3》一道习题为例加以说明【例】在某地区的一段时间内观察到的不小于某震级x的地震个数y数据如下表，试建立回归方程表述二者之间的关系。

x33.23.43.63.844.24.44.64.8y28381203801479510695764155023842269819191356x5.25.45.65.866.26.46.66.87y746604435274206148985741255973解：作出散点图，如图1,可以看出回归类型是指数型或对数型。若采用指数型回归曲线，可设回归曲线为y=aebx，变形为lny=lna+bx，作变换y'=lny，a=lna，算出lny的值如下表:x33.23.43.63.844.24.44.64.85lny10.25359.92239.60209.27758.94138.61298.25377.90037.55967.21236.8804x5.25.45.65.866.26.46.66.87lny6.61476.40366.07535.61315.32794.99724.58504.04313.71363.2189此时，以（x，lny）为点作散点图，如图2,可以看出x和lny（即y'）有较强的线性关系。2500020000x28y1500010000500000463000012.000010.00008.00004.00002.00000.00006.0000x0246812.000010.00008.00004.00002.00006.00000.00000.00000.50001.00001.50002.00002.5000lnx（图1）（2500020000x28y1500010000500000463000012.000010.00008.00004.00002.00000.00006.0000x0246812.000010.00008.00004.00002.00006.00000.00000.00000.50001.00001.50002.00002.5000lnx（图1）（图2）（图3）以x为解释变量，以lny为预报变量，用最小二乘法求得回归直线方程为y=10.6563-0.341x，a'=10.6563，从而a=e10.6563=42459.2此时所求的归回曲线方程为：宁⑴=42459.2e-0-341x，其相关系数R2=0.9973若采用幂函数型回归曲线，则可设回归曲线方程为y=axb，即lny=lna+blnx，令y'=lny，a'=lna，算出lnx和lny的值如下表lnx1.09861.16321.22381.28091.33501.38631.43511.48161.52611.56861.6094lny10.25359.92239.60209.27758.94138.61298.25377.90037.55967.21236.8804lnx1.64871.68641.72281.75791.79181.82451.85631.88711.91691.9459lny6.61476.40366.07535.61315.32794.99724.58504.04313.71363.2189以（lnx，lny）为点作散点图，如图3所示。再以lnx为解析变量，以lny为预报变量用最小二乘法求得回归直线方程为y=-8.0828x+19.663，因为a'=lna=19.663，所以a=3.4636x108此时所求的回归曲线方程为：y（2）=3.4636x108x-8.0828，其相关系数R2=0.97852因为R2>R2，所以采用指数型回归类型曲线的拟合效果较好，其回归曲线方程为1 2y=42459.2e-0.341x以上只是