一篇平面光波在平界面层状介质薄膜中的反射与透射

本章采用鲁阿德递推方法将导出描述光波在单层薄膜中反射和透射的特征矩阵，以及单层薄膜反射率计算的公式，然后讨论光波在多层薄膜中反射率和透射率的计算。最后也将讨论非均匀介质薄膜及层状各向异性介质薄膜的反射和透射计算问题。3.1法向阻抗和光学有效导纳的概念为了引入光学有效导纳的概念，首先定义法向阻抗（也有作者称之为切向阻抗）。法向阻抗定义为平面电磁波在分界平面上电场切向分量与磁场切向分量之比，即第1页/共70页第一页，共71页。(3-1)注意此处的下标t指切向分量，而不是透射分量。显然，法向阻抗与本征阻抗

具有相同的量纲。那么，在斜入射S-波偏振的情况下，对入射波，由图2-1可知式中

为入射角，则法向阻抗为对于反射波，有(3-2)(3-3)第2页/共70页第二页，共71页。(3-4)则法向阻抗为波在界面上垂直入射时，，法向阻抗的绝对值等于介质的本征阻抗。斜入射P-波偏振的情况下，对于入射波，由图2-2可知式中

为入射角。法向阻抗为(3-5)（3-6）（3-7）第3页/共70页第三页，共71页。对反射波，有如果不考虑场矢量的方向性（反射系数和透射系数已考虑场矢量的方向性），可定义S-波偏振界面上侧介质1中的法向阻抗为而P-波偏振界面上侧介质1中的法向阻抗为（3-8）（3-9）（3-10）（3-11）第4页/共70页第四页，共71页。对于光学介质来说，近似有

。根据式（1-39），法向阻抗又可以表达为

S-波：P-波：有了法向阻抗的概念后，光学有效导纳定义为法向阻抗的倒数。但由于在式（2-14）和式（2-33）中分子、分母有公因子

，故可消去。因此，定义光学有效导纳为S-波：（3-12）（3-13）（3-14）第5页/共70页第五页，共71页。

P-波：引入光学有效导纳的概念后，S-波偏振和P-波偏振反射系数与垂直入射情况下的形式相同，这就是和节中引入有效导纳的原因。现把式（2-22）和式（2-39）重写如下：（3-15）（3-16）（3-17）第6页/共70页第六页，共71页。式中

S-波：

P-波：分别为S-波偏振和P-波偏振界面下侧介质2的光学有效导纳。根据电场切向分量和磁场切向分量连续的边界条件式（2-7），有（3-18）（3-19）(3-20)第7页/共70页第七页，共71页。式中

与

为界面下侧介质2中透射电场的切向分量和透射磁场的切向分量。这就是确定平面波反射系数的列昂托维奇近似边界条件，其意义在于它用介质1中平面电磁波的切向分量来表达介质2的光学有效导纳，给计算平面电磁波在平面分层介质中反射和透射问题提供了依据。为了下面讨论方便起见，把S-波偏振和P-波偏振的反射系数式（3-16）和式（3-17）写成通一形式为(3-21)第8页/共70页第八页，共71页。式中

表示界面上侧入射介质中的光学有效导纳，相对应地入射介质中的入射角为

，

表示界面下侧透射介质中的光学等效导纳或称组合导纳。(注意此处P-波相差一“-”号，但并不影响反射率和透射率的计算)3.2平面分界面单层均匀介质薄膜的反射与透射如图3-1（a）所示为一单层薄膜，入射介质的折射率为

，膜层的折射率为

，透射介质（也称基底）的折射率为

。入射波首先在界面1反射，透射波在膜层中两个界面间第9页/共70页第九页，共71页。相继反射和透射。引入光学有效导纳的概念后，不管是S-波偏振还是P-波偏振，电场矢量和磁场矢量都平行于界面，斜入射的问题转化为垂直入射的问题，见图3-1（b）。然后，应用平界面垂直入射的反射系数公式（3-21）就可得到斜入射时的反射系数公式。第10页/共70页第十页，共71页。现应用电场和磁场切向分量在界面两侧连续的边界条件选取界面的单位法向矢量沿+Z方向，并利用式（3-20），可写出在此需要说明，在式（3-23）第二式中光学有效导纳

前略去了因子

，该式仅是形式上相等。因为在得到的反射系数最后表达式中(3-22)(3-23)第11页/共70页第十一页，共71页。该因子被消去，与不计入该因子得到的公式相同。为了书写简单和推导方便起见，取该因子为1。后面用到的光学等效导纳

也是如此。对于界面2与界面1有相同X、Y坐标的点，由式（2-6）得知，波在两界面间传播，正Z向传播空间相位因子改变

，负Z向传播空间相位因子改变

，而（3-24）式中

为真空中的波长。那么，有第12页/共70页第十二页，共71页。（3-25）由此得到写成矩阵形式，有（3-26）（3-27）第13页/共70页第十三页，共71页。在介质2中仅有正Z向传播的波，界面2应用电场和磁场切向连续的边界条件，有解出

和

，有写成矩阵形式，有(3-28)(3-29)第14页/共70页第十四页，共71页。(3-30)此式代入（3-27）式，得到(3-31)第15页/共70页第十五页，共71页。根据式（3-20）知于是，有令(3-32)(3-33)(3-34)第16页/共70页第十六页，共71页。而矩阵称之为介质层或薄膜的特征矩阵，它包含了反映介质特性的全部物理参数，其中由此可将列向量

称之为透射介质（即基底）与膜层的组合特征向量。由于(3-35)(3-36)第17页/共70页第十七页，共71页。(3-37)由式（3-34）解出B和C，代入得到代入式（3-21），得到单层介质薄膜的反射系数为(3-38)第18页/共70页第十八页，共71页。根据式（2-218）和式（2-220），不管是S-波偏振还是P-波偏振，反射率具有相同形式而根据式（2-224）和式（2-225），将式（3-39）代入，得到S-波偏振和P-波偏振透射率具有的相同形式为

下面根据式（3-39）对单层薄膜的一些特(3-39)(3-40)第19页/共70页第十九页，共71页。点加以讨论。图3-2是计算实例，其中入射介质为空气，折射率

，基底介质为玻璃，折射率，薄膜介质折射率取值,

1.4,1.5,1.7,2.0。第20页/共70页第二十页，共71页。，

1.垂直入射（

，

）垂直入射情况下，有又由式（3-24），当或即薄膜的光学厚度

取四分之一波长的整数倍，此时(3-41)(3-42)(3-43)第21页/共70页第二十一页，共71页。因此，当

取奇数，式（3-34）化为得代入式（3-39），有(3-44)（3-45）（3-46）第22页/共70页第二十二页，共71页。而当

取偶数，式（3-34）化为得代入式（3-39），有（1）当m取奇数时，由式（3-42）可知，其最小光学厚度为

，称此膜层为

膜。(3-47)（3-48）（3-49）第23页/共70页第二十三页，共71页。从数学的角度讲，可以把Y看作是对应于某介质的光学有效导纳，而实际的单层薄膜由“虚拟”的数学单一界面代替。

（2）由式（3-46）可知，当薄膜折射率大于基底折射率时，即

，则

，由式（3-46）计算得到的反射率比未镀膜的反射率高，这种膜称为增反膜。当

取

的奇数倍时，反射率达到极大值（3-50）第24页/共70页第二十四页，共71页。显然，比值

越大，反射率越高。但是实际可供选择的材料的折射率是有限的，在可见光区，最大折射率

。如果取

，

，反射率

。在红外区域，最大折射率

，如果取

，

，反射率

，故在可见光波段，单层膜可达到的最大反射率不会超过50%。另外，单层膜的增反射区域带宽也很窄。

（3）当m取偶数时，由式（3-42）可知，其最小光学厚度为

，称此膜层为

膜。此膜系的反射率（3-49）式与膜层的折射率

第25页/共70页第二十五页，共71页。无关，而是

和

两介质单一界面的反射率，见图3-2，称此膜层为“无效层”。第26页/共70页第二十六页，共71页。但需要注意，条件式（3-42）除与光学厚度有关外，还与透射角

和波长

有关，即“无效层”是对一定的入射角和一定的波长无影响，当入射角或波长改变时，膜系的反射率（3-49）式就不再成立，而与膜层折射率

有关，对反射率产生影响。

（4）对于

膜层，由式（3-46），当满足条件时，反射率R为零。说明当入射介质的折射率和基底折射率给定之后，要得到零反射，可（3-51）第27页/共70页第二十七页，共71页。供选择的膜层折射率取二者乘积的方根值。比如入射介质为空气

，基底介质为玻璃

，那么这样低的折射率在现有光学材料中还没有，所以理论上可以得到零反射，而实际上无法实现。变通的办法是在玻璃基底上镀多层膜，可减小反射，增加透射。

（5)当膜层折射率小于基底折射率,即,无论膜层光学厚度取何值，由式（3-39）计算可知，镀膜后的反射率小于未镀膜时的反射第28页/共70页第二十八页，共71页。或不变，称此膜为增透膜（或减反膜、抗反膜）。当光学厚度取

的奇数倍时，反射率达到极小值当光学厚度取

的偶数倍时，反射率达到极大值，此极大值等于未镀膜时基底的反射率。镀膜材料的折射率

与

的差别越小，增透的效果就越好。计算实例见图3-2。

2.斜入射（

，

）（3-52）第29页/共70页第二十九页，共71页。图3-3是斜入射时单层薄膜的反射率随光学厚度变化的关系曲线，其中入射介质为空气，折射率

，基底介质为玻璃,折射率,薄膜介质折射率取值

和1.7，而入射角

。在斜入射的情况下，垂直入射讨论的定性结论仍然成立.但是当斜入射时，,满足极值点的条件不管是m取奇数值还是偶数值,光学厚度

都向增大的方向偏移，见图3-3。另外，斜入射时，光学有效导纳

、

和

的取值由式第30页/共70页第三十页，共71页。(3-53)第31页/共70页第三十一页，共71页。确定，S-波偏振反射率和P-波偏振反射率不再相同，相对强度发生了变化，这种变化称之为偏振分离。比如入射光为自然光，相对强度发生变化的结果是反射光和透射光变成了部分偏振光。3.3平面分界面多层均匀介质薄膜的反射与透射平面分界面多层均匀介质薄膜反射系数和透射系数计算的矩阵方法

单层介质薄膜反射和透射问题的计算归结为单一“界面”反射系数的求解，通过薄膜特征矩阵式（3-35）把单层介质薄膜等效为单一第32页/共70页第三十二页，共71页。“界面”，如图3-4所示。

与单层薄膜的等效相同，对于多层薄膜反射和透射问题的计算，可归结为如图3-5所示的等效过程，即用薄膜特征矩阵的的乘积把多层薄膜等效为单一“界面”。下面从数学第33页/共70页第三十三页，共71页。的角度给予讨论。

如图3-6所示为多层均匀介质薄膜参数模型，

、

分别为第i层膜的第34页/共70页第三十四页，共71页。折射率和薄膜厚度；为第i层界面i下侧透射和反射电场和磁场切向分量的总振幅，为第i层界面i+1上侧反射和透射电场和磁场切向分量的总振幅；为第i界面的透射角，图中标记。由描第35页/共70页第三十五页，共71页。述单层介质薄膜的矩阵方程（3-31），在界面1和界面2应用边界条件，可得同样，在界面2和界面3应用边界条件，得在界面K和K+1应用边界条件，得（3-54）（3-55）第36页/共70页第三十六页，共71页。（3-56）由于界面的切向分量连续，有利用边界条件连续的条件式（3-57），便可得到矩阵方程（3-57）（3-58）第37页/共70页第三十七页，共71页。根据式（3-20），有因而式（3-58）可改写为由此得到多层薄膜的组合特征向量为（3-59）（3-60）（3-61）第38页/共70页第三十八页，共71页。式中第i层的透射角由斯涅尔定律确定，即式（3-60）至式（3-64）构成光学薄膜反射和透射问题计算的基础。首先，求解矩阵方程（3-61）得到膜层组合特征向量，然后（3-62）（3-63）（3-64）第39页/共70页第三十九页，共71页。求光学等效导纳

，代入式（3-21），就可得到多层薄膜的反射系数为反射率和透射率为显然，多层薄膜与单层膜的反射系数、反射率和透射率表达式形式完全相同。（3-66）（3-65）（3-67）第40页/共70页第四十页，共71页。对于平面分层介质为吸收层或镶嵌有吸收层的情况，界面反射系数的计算仅需要将折射率

改为复折射率

，有效导纳

改为复有效导纳

，相应的公式如下：（3-68）（3-69）（3-70）第41页/共70页第四十一页，共71页。（3-71）（3-72）（3-73）（3-74）根据能量守恒，吸收介质的吸收率为（3-75）第42页/共70页第四十二页，共71页。多层增透膜和高反射膜的基本构成特点为了书写方便，首先介绍薄膜光学系统设计中通常采用的一些简洁符号表示。镀膜通常以

或

的整数倍表示膜层厚度，

膜层厚度用H、M或L表示，并赋予高、中、低折射率的含义。而

膜层厚度用2H、2M或2L表示，也可用HH、MM或LL表示。比如就表示在基底G上镀高、中、低折射率分别为

、

、

，光学厚度均为

的三层膜系，A表示入射介质，折射率记为

。第43页/共70页第四十三页，共71页。在任意膜厚的情况下，也可把介质折射率和膜层厚度写在一起用数字表示和数字字母混合表示，如在镀膜技术中，也有作者把光学厚度为

的整数倍膜层简称QWOT膜,光学厚度为

的整数倍膜层简称HWOT膜。

下面给出多层薄膜计算的一些实例,以说第44页/共70页第四十四页，共71页。明增透膜和高反射膜的基本构成特点。1.增透膜由3.2节的讨论可知，单层膜系当膜层厚度取

，满足零反射的条件是式（3-51）。另外，不管光学厚度取何值，只要膜层折射率小于基底介质的折射率，都可达到增透的效果。现考虑一单层膜系,在玻璃基底上()镀单层氟化镁（MgF2）(

)，入射介质为空气(

),膜层光学厚度为

。图3-7是垂直入射情况下反射率随波长的变化第45页/共70页第四十五页，共71页。曲线.显然,在

处有最小的反射率.在

处反射率不为零，因为选取的氟化镁介质的折射率不满足零反射的条件。另外，未镀膜时垂直入射的反射率为第46页/共70页第四十六页，共71页。说明镀膜起到了增透的效果。改善单层膜增透效果的一种途径是多层膜。为了满足零反射的条件，在基底上首先镀高折射率膜。在垂直入射的情况下，由式（3-61）可得两层膜的特征矩阵为(3-76)第47页/共70页第四十七页，共71页。得到光学等效导纳反射率为欲使

，必满足比如若基底为玻璃

，入射介质为空气

，低折射率膜层氟化镁

，零反(3-77)(3-78)(3-79)第48页/共70页第四十八页，共71页。射条件基底上镀高折射率膜层的折射率

为显然，

满足增透的要求。

图3-8是两层膜系

在垂直入射情况下的反射率曲线，

，

，

，

。与图3-7相比较，除

邻近波长外，两边其他地方波长对应的反射率增大了，换句话说，增透的带宽变窄了。这就表明在基底上镀

高折射率膜效果不佳。图3-7和图3-8中的反射率曲线中间低、两边高，有一个极第49页/共70页第四十九页，共71页。小值点，形状类似V，所以也称之为V-型膜。为了进一步改善增透效果，在基底上镀

高折射率的“无效层”，构成双层

膜系，折射率的取值相同。在垂直入射情况下，有第50页/共70页第五十页，共71页。其特征矩阵为光学等效导纳(3-80)(3-81)第51页/共70页第五十一页，共71页。图3-9为膜系

在垂直入射条件下的反射率曲线。由图可见，在波长

处，反射率未变，与单层膜的反射率相同。但是在整个可见光波段反射率比单层膜低，起到了展宽带宽的作用。这种膜系的曲线出现两个极小点，形状类似W，所以也称之为W-型膜。第52页/共70页第五十二页，共71页。对于斜入射，膜系

的S-波偏振和P-波偏振反射率随波长的变化曲线示于图3-10。由图可以看出，对于S-波偏振，随着入射角增加，反射率也递增，且反射率曲线向短波长方向偏移。P-波偏振随着入射角的增加，反射率递减，同样反射率曲线向短波长偏移。因此，根据式（3-42）可知，如果膜层光学厚度考虑入射角的因素或设计波长

，对于改善增透膜的透射率也是有效果的。

由以上讨论可知，在可见光波段，膜系

的增透效果并不理想，且不同波长对第53页/共70页第五十三页，共71页。应的透射率差别比较大，这样会造成入射光与透射光具有不同的视觉效果。要改善这种情况，显然仅靠改变“无效层”的折射率第54页/共70页第五十四页，共71页。作用有限。当两层膜系无法满足设计所要求的光谱特性时，改善的途径是增加膜层数，比如三层膜系或更多层的膜系。图3-11给出的是三层膜系和四层膜系反射率曲线，其膜层参数为三层膜系：四层膜系：第55页/共70页第五十五页，共71页。由图3-11可以看出，多层膜对于改善增透的效果很明显，但代价是镀膜层数增加，成本提高。第56页/共70页第五十六页，共71页。2.高反射膜高反射膜一般泛指反射率

的膜系，且具有比较宽的带宽。要达到这样高的反射率，单层膜是无法实现的，通常采用光学厚度均为

的高、低折射率交替排列构成的周期介质多层膜，理论上反射率可接近100%。如图3-12是四分之一波长高低折射率周期多层膜系

。根据式（3-62），在垂直入射情况下，有第57页/共70页第五十七页，共71页。代入式（3-61），有（3-82）由此得到膜系的组合特征向量为（3-83）第58页/共70页第五十八页，共71页。光学等效导纳为则有取

，

，当

时，

，最高（3-84）（3-85）第59页/共70页第五十九页，共71页。反射率为除此之外，还有高、低折射率介质膜层排列不同的膜系，它们分别为（3-86）（3-87）（3-88）（3-89）第60页/共70页第六十页，共71页。这四种类型的膜系称之为高反射膜系的基本型，应用十分广泛，比如分光镜、偏振分光镜、截止滤光片和带通滤光片等。如果具有相同层数，四种膜系的反射率也不同.比如，

，

，

，

，

，计算可得垂直入射情况下的光学等效导纳和反射率为

(1):(2):第61页/共70页第六十一页，共71页。(3)::由此可以看出，第二种膜系反射率最高，说明当膜系外层是高折射率膜层时具有最高的反射率。但随着膜层数的增加，四种基本膜系的最高反射率都趋于相同值

。图3-13是19层高反射膜系

的反射率曲线，其中

，

，

，

，

。由图可见，在

的范围内，反射率

。第62页/共70页第六十二页，共71页。第63页/共70页第六十三页，共71页。在薄膜光学中，对于给定的膜系计算反射率，大致可分为四个步骤：①计算膜层相位厚度,见式（3-62）;②计算特征向量

，见式（3-61）；③计算反射系数

，见式（3-65）；④计算反射率

，见式（3-66）。由式(3-62)可知，

的计算需要已知入射光波长

，膜层光学厚度

和透射角

。通常以入射光波长

作为计算变量，而膜层透射角计算根据斯涅尔定律（3-64）确定。