初中数学浙教版九年级上册第3章　圆的基本性质3．3　垂径定理“十市联赛”一等奖

垂径定理(2)(第1题)1.如图，在⊙O上，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是(D)A.AB⊥CDB.∠AOP＝2∠ACDC.eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))D.PO＝PD2．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点P，AB＝2eq\r(3)cm，PC＝1cm，则⊙O的半径为(A)A．2cm\r(3)cmC．2.5cmD．5cm,(第2题)),(第3题))3．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP.若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为(A)A．2eq\r(5)\r(5)C．2eq\r(13)\r(13)4.已知在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，AB被CD分成长度分别为5cm和13cm的两段，则圆心O到CD的距离为__4__cm.5.已知圆的两弦AB，CD的长是方程x2－42x＋432＝0的两根，且AB∥CD.若两弦之间的距离为3，则圆的半径是__15__．6．如图，AB，CD是⊙O的直径，D是eq\o(AE,\s\up8(︵))的中点，AE与CD交于点F.若OF＝3，则BE的长为__6__.,(第6题)),(第7题))7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧eq\o(CD,\s\up8(︵))，点O是eq\o(CD,\s\up8(︵))所在圆的圆心，E为eq\o(CD,\s\up8(︵))的中点，OE交CD于点F.已知CD＝600m，EF＝90m，求这段弯路所在圆的半径．【解】连结OC.∵OE平分eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴OE⊥CD，CF＝eq\f(1,2)CD＝300m.设弯路的半径为R(m)，则OF＝(R－90)m.在Rt△CFO中，OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545.∴这段弯路的半径为545m.(第8题)8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，弦DE⊥AB.求证：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).【解】过圆心O作OG⊥CD交⊙O于点G，交CD于点H.∵OG⊥CD，∴eq\o(CG,\s\up8(︵))＝eq\o(DG,\s\up8(︵)).又∵CD∥AB，∴OG⊥AB.∴eq\o(AG,\s\up8(︵))＝eq\o(BG,\s\up8(︵)).∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∵DE⊥AB，且AB是⊙O的直径，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).9．已知⊙O的半径OA＝1，弦AB，AC的长分别是eq\r(2)，eq\r(3)，则∠BAC的度数为75°或15°．【解】如解图①，∵AB＝eq\r(2)，OA＝1，∴OM＝eq\f(\r(2),2).,(第9题解))又∵AM＝eq\f(\r(2),2)，∴AM＝MO，∴∠BAO＝45°.同理，∠CAO＝30°.∴∠BAC＝15°.如解图②.同理，可知∠BAC＝75°.10．如图，直线AD交⊙O于点B，D，⊙O的半径为10cm，OA＝16cm，∠A＝30°，OC⊥AD于点C，求BC，AB，AD(第10题)【解】∵∠A＝30°，OC⊥AD，∴OC＝eq\f(1,2)OA＝8cm，BC＝CD.∴AC＝eq\r(OA2－OC2)＝8eq\r(3)cm.∵OB＝10cm，∴BC＝eq\r(OB2－OC2)＝6cm，∴AB＝AC－BC＝(8eq\r(3)－6)cm，AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝(8eq\r(3)＋6)cm.(第11题)11．如图，一拱形桥所在弧所对的圆心角为120°，半径为5m．一艘6m宽的船装载着一集装箱，已知箱顶宽3.2m，离水面AB高2m，【解】能，理由如下：设点O为圆心，点C为拱顶，点E，F在圆弧上，EF＝3.2m且EF∥AB，连结OC交AB于点D，交EF于点G，连结OA，OB，OF，则OC⊥AB，OC⊥EF，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，∴DO＝eq\f(1,2)BO＝2.5m，BD＝eq\f(5,2)eq\r(