回归分析的基本思想及其初步应用一

2023/2/8郑廷状制作3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学选修2-32023/2/8郑廷状制作数学３——统计内容画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程

y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题2023/2/8郑廷状制作问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455复习变量之间的两种关系2023/2/8郑廷状制作1020304050500450400350300·······施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455xy施化肥量水稻产量2023/2/8郑廷状制作

自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：2023/2/8郑廷状制作

现实生活中存在着大量的相关关系。

如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？2023/2/8郑廷状制作1020304050500450400350300·······发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455xy散点图施化肥量水稻产量2023/2/8郑廷状制作探究对于一组具有线性相关关系的数据我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：称为样本点的中心。你能推导出这个公式吗？2023/2/8郑廷状制作1020304050500450400350300·······xy施化肥量水稻产量2023/2/8郑廷状制作假设我们已经得到两个具有相关关系的变量的一组数据且回归方程是：y=bx+a,^其中，a,b是待定参数。当变量x取时它与实际收集到的之间的偏差是oxy2023/2/8郑廷状制作易知，截距a和斜率分别是使取最小值时的值。由于2023/2/8郑廷状制作这正是我们所要推导的公式。在上式中，后两项和无关，而前两项为非负数，因此要使Q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有2023/2/8郑廷状制作1、所求直线方程叫做回归直线方程；相应的直线叫做回归直线。2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。1、回归直线方程2023/2/8郑廷状制作最小二乘法：称为样本点的中心。2023/2/8郑廷状制作2、求回归直线方程的步骤：（3）代入公式（4）写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。^2023/2/8郑廷状制作某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.案例1：女大学生的身高与体重2023/2/8郑廷状制作样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似的刻画它们之间的关系.解：①选取身高为自变量x，体重为因变量y，②作散点图：2023/2/8郑廷状制作由得：故所求线性回归方程为：因此，对于身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以预报其体重为：是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位时，体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱？2023/2/8郑廷状制作相关系数

相关系数的性质:(1)|r|≤1．

(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？2023/2/8郑廷状制作相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加2023/2/8郑廷状制作某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.故所求回归方程为：r=0.798>0.75表明体重与身高有很强的线性相关性，从而说明我们建立的回归模型是有意义的.2023/2/8郑廷状制作(2007.广东17．本小题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：3*2.5+4*3+5*4+6*4.5=66.52023/2/8郑廷状制作练习：观察两相关量得如下数据:x-1-2-3-4-553421y-9