2018届数学二轮复习阶段提升突破练（五）解析几何文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE29学必求其心得，业必贵于专精阶段提升突破练(五)（解析几何）(60分钟100分）一、选择题(每小题5分，共40分）1。（2017·资阳二模)双曲线E:-=1(a>0，b>0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为a,则E的离心率是()A。 B. C.2 D.3【解题导引】由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线的距离为b=a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案。【解析】选C.根据题意，双曲线E：-=1的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0,设F（c，0)，F到渐近线ay—bx=0的距离d===b,又由双曲线E：-=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为a，则b=a,c==2a，故双曲线的离心率e==2.【加固训练】若双曲线x2—y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，则s-t的值等于（)A。2 B.2C.-2 D。—2【解析】选B.因为双曲线x2-y2=2右支上一点（s,t)到直线y=x的距离为2，所以d==2，所以|s—t｜=2。又P点在右支上，则有s〉t,所以s-t=2。2。（2017·昆明二模）已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，｜PF|=m|PQ|，当m最小时,点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A.3-2 B.2-C.- D.—1【解析】选D.由已知,F（0，1)，Q(0，-1),过点P作PM垂直于准线，则PM=PF。记∠PQM=α，则m===sinα,当α最小时，m有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P，设P,可得P（±2,1),所以｜PQ|=2,|PF｜=2，则｜PF｜+|PQ|=2a，所以a=+1,c=1，所以e==—1.3.已知直线l:kx+y—2=0(k∈R)是圆C：x2+y2—6x+2y+9=0的对称轴,过点A（0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（)A。2 B。2C.3 D.2【解题导引】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y—2=0经过圆C的圆心（3，-1)，求得k的值，可得点A的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得AB的长。【解析】选D.由圆C：x2+y2-6x+2y+9=0得,（x—3)2+(y+1）2=1，表示以C(3,—1）为圆心、半径等于1的圆。由题意可得,直线l：kx+y—2=0经过圆C的圆心(3,-1)，故有3k—1-2=0,得k=1，则点A(0,1）,即｜AC｜==.则线段｜AB｜===2。4。(2017·深圳二模）已知双曲线—=1(a>0，b>0）的左、右顶点分别为A1,A2，M是双曲线上异于A1,A2的任意一点,直线MA1和MA2分别与y轴交于P,Q两点,O为坐标原点,若｜OP｜，｜OM|,|OQ｜依次成等比数列,则双曲线的离心率的取值范围是（)A。（，+∞) B.［,+∞)C。（1，) D.（1,]【解析】选A。由题意得A1(-a，0)，A2（a，0),而M是双曲线上的点,令M（m,n），求得直线MA2：y=（x—a),MA1:y=(x+a），所以Q,P；而|OP|,｜OM｜,｜OQ|依次成等比数列,所以｜OP||OQ｜=|OM|2,即×=m2+n2①;而-=1②;联立解得a2=，c2=；所以离心率e====≥;经验证，n=0时，不满足题意，所以双曲线的离心率e>。即双曲线的离心率的取值范围是（,+∞）。5.(2017·长沙二模)与圆x2+(y-2)2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有(）A.6条 B.4条C.3条 D.2条【解题导引】可设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为0)的直线方程为x+y=a，与圆的方程x2+(y—2)2=4联立,利用Δ=0即可求得a的值，从而可求得直线方程；另外需要考虑坐标轴上截距都为0的情况.【解析】选C。设两坐标轴上截距相等(在坐标轴上截距不为0)的直线l的方程为x+y=a,则由题意得:消去y得:2x2+（4-2a）x+a2-4a+2=0,因为l与圆x2+（y-2)2=2相切,所以Δ=（4-2a)2—4×2（a2-4a+2)=0,解得a=0（舍去）或a=4，所以l的方程为x+y=4;当坐标轴上截距都为0时，由图可知y=x与y=-x与该圆相切。共有3条满足题意的直线.6.（2017·武汉一模)点M是抛物线x2=2py(p〉0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点，P在抛物线上，在△PFM中,sin∠PFM=λsin∠PMF，则λ的最大值为（)A. B.1C. D。【解题导引】由正弦定理求得|PM|=λ｜PF|，作PB垂直于准线于点B,根据抛物线的定义,则=，sinα=，则λ取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，Δ=0,求得k的值,即可求得λ的最大值.【解析】选C.过P作准线的垂线，垂足为B,则由抛物线的定义可得｜PF｜=|PB｜,由sin∠PFM=λsin∠PMF，则△PFM中由正弦定理可知：｜PM|=λ｜PF|，所以|PM｜=λ｜PB|,所以=,设PM的倾斜角为α,则sinα=,当λ取得最大值时,sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx-,则即x2-2pkx+p2=0，所以Δ=4p2k2—4p2=0，所以k=±1，即tanα=±1,则sinα=,λ的最大值为=。【加固训练】已知抛物线y2=4x,圆F：(x—1)2+y2=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示),则|AB|·｜CD|的值正确的是()A。等于1 B.最小值是1C.等于4 D.最大值是4【解析】选A。因为y2=4x，焦点F（1,0）,准线l0:x=-1.由定义得：|AF｜=xA+1，又因为｜AF｜=|AB｜+1，所以|AB|=xA,同理:|CD｜=xD，当l⊥x轴时，则xD=xA=1,所以|AB｜·｜CD｜=1，当l:y=k(x-1)时,代入抛物线方程,得:k2x2—（2k2+4)x+k2=0，所以xAxD=1，所以｜AB｜·|CD｜=1。综上所述,｜AB｜·｜CD｜=1.7。(2017·郴州二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y—1=0对称，则椭圆C的方程为（）A.+=1 B。+=1C。+=1 D.+=1【解题导引】由椭圆的离心率,求得b=c,则椭圆的标准方程转化成x2+2y2=2b2,求得右焦点关于直线x+y-1=0对称的点，代入椭圆方程,即可求得b和a的值，求得椭圆方程。【解析】选A.由椭圆的离心率e==,则a=c,由b2=a2-c2=c2，则b=c,则设椭圆方程为x2+2y2=2b2。设右焦点(b，0)关于l：y=—x+1的对称点设为(x′,y′）,则解得由点（1，1—b）在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=，a2=,所以椭圆的标准方程为+=1。8。过双曲线x2—=1的右支上一点P，分别向圆C1:（x+4)2+y2=4和圆C2:(x—4）2+y2=1作切线,切点分别为M,N，则|PM|2-｜PN|2的最小值为（）A。10 B。13 C.16 D。19【解析】选B。圆C1:（x+4）2+y2=4的圆心为（-4,0）,半径为r1=2；圆C2：（x-4）2+y2=1的圆心为（4,0)，半径为r2=1,设双曲线x2—=1的左、右焦点为F1(—4,0）,F2（4,0)，连接PF1，PF2,F1M，F2N,可得｜PM|2—|PN｜2=（｜PF1｜2—）—(｜PF2|2—)=(｜PF1｜2—4）—（｜PF2｜2-1)=|PF1｜2—|PF2｜2-3=（|PF1|—｜PF2｜）(｜PF1｜+｜PF2|）—3=2a(|PF1|+｜PF2｜)-3=2(|PF1|+|PF2|)-3≥2·2c—3=2×8-3=13.当且仅当P为右顶点时，取得等号,即最小值为13.二、填空题(每小题5分,共20分)9。（2017·保定一模）已知等边△ABC的两个顶点A(0,0）,B(4,0）,且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是________。【解析】如图所示:xC=2,yC=—2tan60°=—2，所以C(2,—2)。所以BC边所在的直线方程是y=(x—4），即y=(x-4）.答案:y=（x—4)10.抛物线x2=—10y的焦点在直线2mx+my+1=0上,则m=________。【解题导引】抛物线x2=-10y的焦点坐标为(0，—2。5）,代入直线2mx+my+1=0,可得结论.【解析】抛物线x2=-10y的焦点坐标为（0,—2.5）,代入直线2mx+my+1=0,可得—2。5m答案：0。411。(2017·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是________________.【解析】右准线方程为x=,渐近线为y=±x,不妨设P,Q,F1(-2,0),F2（2,0）,则S=4×=2.答案：212.(2017·昆明一模)抛物线x2=2py(p〉0）上一点A（,m)（m>1)到抛物线准线的距离为,点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点,△OAB的内切圆与OA切于点E,点F为内切圆上任意一点,则·的取值范围为________.【解题导引】利用点A（，m)在抛物线上,求出m，点A到准线的距离为+=，求出p,即可解出抛物线方程,设点F（cosθ,2+sinθ)(θ为参数），化简数量积,求解范围即可。【解析】因为点A(，m)在抛物线上，所以3=2pm,m=,点A到准线的距离为+=，解得p=或p=6。当p=6时，m=<1,故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，所以A(，3)，B(-，3),所以△OAB是正三角形,边长为2,其内切圆方程为x2+（y-2)2=1,如图,所以E。设点F(cosθ,2+sinθ）（θ为参数）,则·=cosθ+3+sinθ=3+sin,所以·∈［3-,3+].答案:[3-,3+］【加固训练】(2017·汉中二模）已知直线l:y=k（x—2)与抛物线C：y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点，若|AF|=3｜BF|，则直线l的倾斜角为________。【解析】如图,设A,B两点在抛物线准线上的射影分别为E,F′,过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中,∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为斜率k值,设|BF｜=n，因为|AF|=3|BF｜,所以|AF｜=3n，根据抛物线的定义得：｜AE｜=3n,｜BF′｜=n，所以|AC|=2n,在直角三角形ABC中，tan∠BAC==,所以kAB=kAF=.所以直线l的倾斜角为。根据对称性,直线l的倾斜角为时也满足题意。答案：或三、解答题（每小题10分,共40分）13。（2017·浙江高考）如图,已知抛物线x2=y.点A,B，抛物线上的点P(x,y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q。(1）求直线AP斜率的取值范围。(2）求·的最大值.【解析】（1）设直线AP的斜率为k,k==x—,因为—〈x〈,所以直线AP斜率的取值范围是(—1,1)。（2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=，因为｜PA|==(k+1）,｜PQ｜=（xQ—x）=-,所以|PA｜·|PQ|=-（k-1）(k+1)3,令f（k）=—（k—1)(k+1)3，因为f′(k)=—（4k—2)(k+1）2,所以f(k）在区间上单调递增,上单调递减，因此当k=时，|PA｜·|PQ｜取得最大值。14。（2017·天津高考)已知椭圆+=1（a〉b>0)的左焦点为F(-c，0)，右顶点为A,点E的坐标为（0，c),△EFA的面积为。（1）求椭圆的离心率.（2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c。①求直线FP的斜率；②求椭圆的方程.【解析】（1)设椭圆的离心率为e,由已知，可得(c+a）c=。又由b2=a2—c2，可得2c2+ac-a2=0，即2e2+e—1=0。又因为0〈e〈1,解得e=.所以，椭圆的离心率为.（2）①依题意,设直线FP的方程为x=my—c(m>0），则直线FP的斜率为。由（1）知a=2c,可得直线AE的方程为+=1，即x+2y—2c=0，与直线FP的方程联立，可解得x=,y=，即点Q的坐标为.由已知｜FQ|=，有+=,整理得3m2—4m=0，所以m=，即直线FP的斜率为。②由a=2c，可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0，解得x=-(舍去)，或x=c.因此可得点P，进而可得｜FP｜==，所以｜PQ｜=|FP|—|FQ｜=—=c。由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP。因为QN⊥FP，所以|QN|=｜FQ｜·tan∠QFN=×=，所以△FQN的面积为｜FQ||QN｜=，同理△FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c,得—=3c，整理得c2=2c,又由c〉0,得c=2。所以，椭圆的方程为+=1。15。(2017·泉州一模)圆F：(x—1）2—y2=1和抛物线y2=4x,过F的直线l与抛物线和圆依次交于A,B，C,D四点，（1）当｜BD｜+|AC｜=7时,求直线l的方程。(2）是否存在过点F的直线l,使得三角形OAB与三角形OCD的面积之比为4∶1，若存在，求出直线l的方程，否则说明理由。【解题导引】(1）先可以设直线AD的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程,利用根与系数的关系及抛物线的焦点弦公式，即可求得k的值,求得抛物线方程;也可以由|AD|=2p=5,求得直线AD的倾斜角,即可求得k的值，求得抛物线的方程；（2）由三角形的面积公式，求得|AB｜∶｜CD|=4∶1,根据抛物线的焦点弦公式,求得｜AB|·｜CD|=x1x2=1，即可求得x1及x2，代入即可求得k的值,求得直线AD的方程.【解析】(1）方法一:抛物线的焦点坐标为F(1,0）,由题意可知:直线AD的斜率显然存在,设直线AD的方程为y=k（x-1),A(x1，y1）,D(x2,y2），则整理得:k2x2-2（k2+2）x+k2=0,x1+x2=，x1x2=1,｜BD|+|AC|=｜AD｜+|BC｜=7，则｜AD|=5，由抛物线的焦点弦公式｜AD｜=x1+x2+p=x1+x2+2，即=3,解得:k=±2,直线l的方程为y—2x+2=0或y+2x-2=0。方法二：设直线AD的方程为y=k（x-1),直线AD的倾斜角为θ,A(x1，y1),D(x2，y2），则整理得:k2x2—2（k2+2）x+k2=0,x1+x2=，x1x2=1，｜BD|+｜AC｜=|AD｜+|BC｜=7,则|AD｜=5,由|AD｜=x1+x2+p=2p=5,解得:tanθ=±2，直线AD的斜率为k=±2，直线l的方程为y—2x+2=0或y+2x—2=0.（2）设O到直线AD的距离为d,由△OAB与△OCD的面积之比为4∶1，即S1∶S2=∶=4∶1，所以|AB|∶｜CD|=4∶1,设直线方程为y=k（x-1）,则整理得:k2x2—2（k2+2）x+k2=0,x1+x2=，x1x2=1，而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，则|BF|=｜CF｜=1，所以|AB｜=|AF|-|BF｜=x1，|CD｜=｜DF|-｜CF|=x2。所以|AB|·｜CD|=x1x2=1，解得：｜AB｜=x1=2，|CD|=x2=，则x1+x2==,解得：k=±2，所以直线l的方程为y+2x-2=0或y-2x+2=0.16。已知点P到圆(x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t>0，t≠1)。（1)求动点P的轨迹C的方程。(2）当t=时,将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2,求·的值。（3）设曲线C的两焦点为F1,F2,求t的取值范围,使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ（0<θ〈π).【解题导引】（1)设P（x，y）,则P到圆的切线长为,利用勾股定理列方程化简即可得出动点P的轨迹C的方程。（2）先求曲线G的方程,可得曲线G的渐近线方程,设Q(x0,y0）,P1(m，m），P2(n,—n),利用数量积运算性质即可得出。(3）对曲线C的类型进行讨论，得出∠F1QF2的最大值，利用三角恒等变换列不等式解出t的范围.【解析】(1）圆（x+2)2+y2=1的圆心为M（—2，0),半径r=1,设P(x,y），则P到圆的切线长为,所以=t｜x|，所以（x+2)2+y2-1=t2x2，整理得(1—t2）x2+y2+4x+3=0。则动点P的轨迹C的方程为(1—t2）x2+y2+4x+3=0.(2)当t=时，轨迹C的方程为—2x2+4x+3+y2=0,即—=1.所以曲线G的方程为—=1,所以曲线G的渐近线方程为y=x，y=—x.设Q（x0，y0），P1（m,m）,P2（n,—n)，所以=-，=.所以m=,n=,因为-=1，所以=2-5,所以·=(m-x0）（n—x0）+（m—y0）（-n-y0）=（m—x0)(n—x0）-(x0-m）·(x0-n)=(m-x0）（n-x0)，=··==。（3)曲线C的方程可化为(1—t2）+y2=-3，当0<t〈1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，椭圆的标准方程为+=1,所以当Q为短轴端点时，∠F1QF2取得最大值，设∠F1QF2的最大值为α