清华大学信号与系统第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析课件

第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析

本章要点Z变换的基本概念和基本性质利用Z变换解差分方程离散系统的系统函数离散系统的频率响应数字滤波器2/8/20231课件§8.1Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换有抽样信号单边拉氏变换2/8/20232课件令,其中z为一个复变量则广义上讲T=1单边Z变换2/8/20233课件例：2/8/20235课件几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列收敛域为除了0和的整个平面2/8/20236课件（1）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域2/8/20237课件（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列圆内收敛圆外收敛有环状收敛域没有收敛域2/8/20239课件例：右边序列2/8/202310课件例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点2/8/202311课件例：双边序列2/8/202313课件§8.3典型序列的Z变换单位样值序列单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦余弦序列2/8/202314课件2/8/202315课件余弦序列的Z变换:2/8/202317课件正弦序列的Z变换:2/8/202318课件例2/8/202319课件（1）留数法假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：2/8/202321课件由复变函数中的柯西定理只有右边的即一项，于是逆变换2/8/202322课件用留数求围线积分一阶极点：S阶极点：2/8/202323课件2/8/202325课件（2）部分分式法Am是在Pm处的留数只有一阶极点2/8/202326课件例双边序列简单的可用公式或查下册第75页的表8-2，8-3，8-4：左边序列右边序列2/8/202329课件§8.5Z变换的基本性质

（自学77-93页）线性和位移性序列线性加权（Z域微分）序列指数加权（Z域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦尔定理参见下册的P-93表8-52/8/202330课件作业8-1(5),8-4(4)8-7(2)(3)8-8(1)8-11(3)2/8/202331课件§8.6Z变换与拉氏变换的关系（一）从S平面到Z平面的映射（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换 的关系（三）连续信号的拉氏变换与Z变换的关 系2/8/202332课件（一）从S平面到Z平面的映射2/8/202333课件2/8/202334课件多圈2/8/202335课件2/8/202336课件（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系2/8/202337课件2/8/202338课件（三）连续信号的拉氏变换与其Z变换的关系抽样信号的拉氏变换与Z变换的关系连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系2/8/202339课件连续信号的拉氏变换与Z变换的关系若只含一阶极点则2/8/202340课件§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法2/8/202341课件（一）复习Z变换的位移特性若x(n)分别是双边序列、双边左序列、双边右边序列时，它们的双边和单边Z变换是不同的：（1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)2/8/202342课件（2）双边左移序列的单边Z变换2/8/202343课件（3）双边右移序列的单边Z变换因果序列是右移序列2/8/202344课件（4）对于因果序列x(n)2/8/202345课件（二）用单边Z变换解差分方程的步骤和思路x(n-r),y(n-k)均为右移序列两边取单边Z变换初始状态若因果信号此项为零2/8/202346课件例：完全解里面已含有初始条件2/8/202347课件例：完全解2/8/202348课件§8.8离散系统的系统函数一、定义：（1）系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比（2）系统单位样值响应h(n)的Z变换2/8/202349课件（1）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比

若x(n)是因果序列,则在系统零状态下：请注意这里与解差分有何不同？因果！零状态2/8/202350课件（2）定义二：系统单位样值响应h(n)的Z变换激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应由卷积定理2/8/202351课件二、对系统特性的影响由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统稳定性由零极点分布决定系统决定系统频率特性（§8.9)2/8/202352课件（1）由极点分布决定系统单位样值响应

一般为复数它在平面的分布位置决定了系统特性2/8/202353课件极点分布对h(n)的影响2/8/202354课件（2）由极点分布决定系统稳定性系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：因果稳定系统的充要条件为：h(n)是单边的而且是有界的。即： 因果 稳定非因果也可以稳定2/8/202355课件离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和2/8/202356课件对稳定的因果系统收敛域为：全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内。2/8/202357课件例：已知因果系统的系统函数如下：试说明该系统是否稳定？解：临界稳定2/8/202358课件例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：（1）（2）解：（1）因果系统，右边序列因果系统但极点在单位圆外不稳定发散2/8/202359课件（2）非因果系统，右序左序有界 所以，该非因果系统是稳定的2/8/202360课件作业8-12，8-21（4）8-228-23（3）8-24（1）（2）2/8/202361课件§8.8离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？ 定义一：单位样值响应的傅 立叶变换 定义二：离散系统在正弦序 列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定2/8/202362课件定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：由S_Z的映射来看，当，则，于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，则：序列的傅立叶正变换2/8/202363课件序列的傅立叶反变换序列的傅立叶逆变换2/8/202364课件连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较连续离散2/8/202365课件定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换当h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，是以h(n)为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。2/8/202366课件系统的激励是时，它的频谱覆盖了的范围于是系统的单位样值响应可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果反映了系统对整个频带的滤波作用2/8/202367课件定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比2/8/202368课件因为是周期的，所以也是周期的，其周期为重复频率。2/8/202369课件定义二的物理意义把看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是，且对信号有相移作用。2/8/202370课件2/8/202371课件二、系统的频率响应的几何确定2/8/202372课件系统的频率响应的几何确定法2/8/202373课件由几何法可以看出：（1）z=0处的零极点对幅频特性没有影响，只对相位有影响（2）当旋转某个极点附近时，例如在同一半径上时，较短，则在该点应当出现一个峰值，越短，附近越尖锐。若落在单位圆上，则，则处的峰值趋于无穷大。（3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反。2/8/202374课件低通高通2/8/202375课件带通带阻2/8/202376课件全通靠近单位圆周的极点附近有尖峰2/8/202377课件例：（8-34）解2/8/202378课件2/8/202379课件§8.10数字滤波器的基本原理和构成2/8/202380课件2/8/202381课件数字滤波器的构成一般差分方程系统函数2/8/202382课件(1)递归式数字滤波器(a)直接式2/8/202383课件（b）简化直接式2/8/202384课件简化直接式的证明：2/8/202385课件2/8/202386课件2/8/202