2023秋九年级数学上册难点探究专题相似与几何图形的综合问题（新版）华东师大版

2023秋九年级数学上册难点探究专题相似与几何图形的综合问题（新版）华东师大版难点探究专题：相似与几何图形的综合问题——突破相似与三角形、四边形等综合问题及含动点的解题思路eq\a\vs4\al(◆)类型一相似与三角形1．(娄底中考)一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，那么点B的坐标为．第1题图第2题图2．(无锡中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处．再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，那么线段B′F的长为〔〕A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al(◆)类型二相似与四边形3．★(黄石中考)现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图①所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易证BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2.(1)假设取四个直角三角形拼成如图②所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，那么BP∶PQ∶QR∶RS＝；(2)假设取五个直角三角形拼成如图③所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，那么BP∶PQ∶QR∶RS∶ST＝.4．★★(安徽中考)如图①，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC.(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图②，假设AD、BC所在直线互相垂直，求eq\f(AD,EF)的值．eq\a\vs4\al(◆)类型三运用相似解决几何图形中的动点问题5．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，CN＝eq\f(1,4)CD，假设AB＝1，设BM＝x，当x＝时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．6．★(钦州中考)如图，在平面直角坐标系中，以点B(0，8)为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点(点A与点B不重合)，在射线AG上取AD＝OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C，连接OC、CD，设点A的横坐标为t.(1)用含t的式子表示点E的坐标为；(2)当t为何值时，∠OCD＝180°？7．★如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，假设△CEF与△DEF相似，求AD的长度．

难点探究专题：相似与几何图形的综合问题1．(－3－eq\r(3)，3eq\r(3))解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴eq\f(EB,OC)＝eq\f(BC,CA)＝eq\f(EC,OA).∵点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(10).在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2eq\r(10)，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(30)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\r(3).∴BE＝3eq\r(3)，EC＝eq\r(3)，∴EO＝EC＋CO＝eq\r(3)＋3，∴点B的坐标为(－3－eq\r(3)，3eq\r(3))．2．B解析：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，∴AE＝DE，CE⊥AB.易得△AEC∽△ACB，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AE,AC)，∴AE＝eq\f(9,5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CE＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CE＝eq\f(12,5).∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，∴∠ECF＝45°，∴EF＝CE＝eq\f(12,5)，∴BF＝AB－AE－EF＝5－eq\f(9,5)－eq\f(12,5)＝eq\f(4,5).应选B.3．(1)4∶1∶3∶2(2)5∶1∶4∶2∶3解析：(1)由题意可知ABBC＝CE＝eq\f(1,2)BE.设CQ＝a.∵S是EF的中点，∴EF＝2ES.∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES，∴eq\f(CQ,ES)＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(1,2)，∴ES＝2CQ＝2a，∴AB＝CD＝EF＝2ES＝4a，QD＝3a.∵AB∥CD，∴△ABP∽△CQP，∴eq\f(BP,QP)＝eq\f(AB,CQ)＝eq\f(4,1).同理：eq\f(PQ,QR)＝eq\f(CQ,QD)＝eq\f(1,3)，eq\f(QR,RS)＝eq\f(QD,ES)＝eq\f(3,2).∴BP∶PQ∶QR∶RS＝4∶1∶3∶2.故答案为4∶1∶3∶2；(2)设CP＝b.由题意可知BC＝CE＝EG＝eq\f(1,3)BG.∵T是FG的中点，∴FG＝2TG.∵AC∥DE，∴△BCP∽△BER，∴eq\f(CP,ER)＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(1,2)，∴RE＝2CP＝2b.同理：△BCP∽△BGT，∴eq\f(CP,TG)＝eq\f(BC,BG)＝eq\f(1,3)，∴TG＝3CP＝3b，∴AC＝DE＝FG＝6b，∴AP＝5b，DR＝4b，FT＝3b.∵AB∥CD，∴△ABP∽△CQP，∴eq\f(BP,QP)＝eq\f(AP,CP)＝eq\f(5,1).同理：eq\f(PQ,QR)＝eq\f(CP,DR)＝eq\f(1,4)，eq\f(QR,RS)＝eq\f(DR,RE)＝eq\f(4,2)，eq\f(RS,ST)＝eq\f(RE,FT)＝eq\f(2,3).∴BP∶PQ∶QR∶RS∶ST＝5∶1∶4∶2∶3.故答案为5∶1∶4∶2∶3.方法点拨：根据条件，充分利用图形中平行的条件，连续用相似三角形的判定与性质，得出线段之间的比例关系，“遇平行，想相似；用相似，得比例〞是相似形的常用思路之一．4．(1)证明：∵点E是AB的中点，GE⊥AB，∴GE是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG.同理可得GD＝GC.在△AGD与△BGC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝BG，,∠AGD＝∠BGC，,GD＝GC，))∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC；(2)证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC.∵AG＝BG，DG＝CG，且E、F分别为AB、CD的中点，∴∠AGE＝eq\f(1,2)∠AGB，∠DGF＝eq\f(1,2)∠DGC，∴∠AGE＝∠DGF，∴∠AGE－∠DGE＝∠DGF－∠DGE，即∠AGD＝∠EGF.∵GE⊥AB，GF⊥CD，∴∠AEG＝∠DFG＝90°，∴△AGE∽△DGF，∴eq\f(AG,DG)＝eq\f(GE,GF)，∴eq\f(AG,GE)＝eq\f(DG,GF).又∵∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF；(3)解：如图，延长AD交BC的延长线于点M.∵AD、BC所在的直线互相垂直，∴∠DAB＋∠ABC＝90°，即∠DAB＋∠ABG＋∠GBC＝90°.由(1)可知△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC.∴∠DAB＋∠ABG＋∠GAD＝90°，即∠GAB＋∠GBA＝90°.由(1)可知AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∴∠GAB＝45°.又∵GE⊥AB，∴∠AEG＝90°，∴GA＝eq\r(AE2＋GE2)＝eq\r(2)GE，∴eq\f(GA,GE)＝eq\r(2).由(2)可知△AGD∽△EGF，∴eq\f(AD,EF)＝eq\f(GA,GE)＝eq\r(2).5.eq\f(1,2)或eq\f(4,5)6．解：(1)(t＋4，8)(2)∵EF是线段AD的垂直平分线，点C在射线EF上，AD＝BO＝8，∴AE＝DE＝eq\f(1,2)AD＝4，∠AEC＝90°，∴∠ECA＋∠EAC＝90°.又∵AO⊥CA，∴∠OAC＝90°，∴∠BAO＋∠EAC＝90°，∴∠ECA＝∠BAO.又∵BG∥x轴，∴BG⊥y轴，那么∠OBA＝90°，∴∠AEC＝∠OBA，∴△ABO∽△CEA，∴eq\f(BO,EA)＝eq\f(AB,CE)，即eq\f(8,4)＝eq\f(t,CE).∴CE＝eq\f(1,2)t.当∠OCD＝180°时，点C在线段OD上．∵EF⊥BG，BO⊥BG，∴CE∥BO，∴△CDE∽△ODB，∴eq\f(CE,OB)＝eq\f(DE,DB)，即eq\f(\f(1,2)t,8)＝eq\f(4,t＋8)，∴eq\f(1,2)t2＋4t－32＝0，解得t1＝4eq\r(5)－4，t2＝－4eq\r(5)－4(不合题意，舍去)．∴当t＝4eq\r(5)－4时，∠OCD＝180°.7．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D，∴∠FDB＝60°，∴△BDF是等边三角形．∵BC＝1，∴AB＝2.∵BD＝BF，∴2－AD＝1－CF，∴AD＝CF＋1.(Ⅰ)如图①，假设∠FED＝90°，那么∠FED＝∠ADE，∴EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝30°，∴CF＝eq\f(1,2)EF，∠CEF＝∠EDF.又∵∠C＝∠FED＝90°，∴△CEF∽△EDF，∴eq\f(CF,EF)＝eq\f(EF,DF)，即eq\f(CF,2CF)＝eq\f(2CF,1－CF)，解得CF＝eq\f(1,5)，∴AD＝eq\f(1,5)＋1＝eq\f(6,5)；(Ⅱ)如图②，假设∠EFD＝90°，