2023年MBA数学解析几何知识点与例题详解

解析几何考点：平面直角坐标系,直线方程与圆的方程,两点间距离公式与点到直线的距离公式知识点1.直线的方程1）倾斜角:范围≤<，。。,3）直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b不含y轴和平行于y轴的直线点斜式:不含y轴和平行于y轴的直线两点式:不含坐标轴，平行于坐标轴的直线截距式:不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式:Ax+Ｂｙ+C=0A、B不同时为0几种特殊位置的直线:①ｘ轴：ｙ＝０②y轴：x＝0③平行于x轴：y=b④平行于y轴：x=a原点:ｙ=kｘ或x=０4）直线系:(待定系数法的应用)(1)共点直线系方程:p0(x0,y0）为定值，k为参数ｙ-y０=k（x-x０）特别:y=ｋｘ+ｂ，表达过(0、ｂ）的直线系（不含ｙ轴)注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。（2)平行直线系：①y＝kx+ｂ，k为定值，b为参数。②Ａx+Ｂｙ+入=0表达与Ax+Ｂｙ＋C=0平行的直线系Bx-Ay＋入=0表达与Ａx+Bｙ+C垂直的直线系2.两直线的位置关系L１：y=k1x+ｂ1L2:y=k2x+b２L1：A1X+B１Y＋C1=0L2:A2Ｘ＋B２Ｙ+Ｃ2=0L1与L2组成的方程组平行ｋ1=k2且b1≠b2无解重合k1＝k2且ｂ1=b2有无数多解相交k1≠k２有唯一解垂直k1·ｋ2=－1Ａ1Ａ2＋B1B2=０有唯一解３.几个距离公式：1)点到直线距离:(已知点（ｐ0(x0，y0),L:Ax+Ｂｙ+C=0）注：若直线为,即２)点到直线的距离为（这是斜率法经常用到的）3)两行平线间距离:Ｌ１=Aｘ+By+C１＝0L2:Ax+By＋C2=0４)点间的距离公式4.圆１)圆的方程一般式:配方得:圆心为:（，)，半径为标准式：，圆心为(,),r为该圆半径。2）点与圆的位置关系点在圆内：点在圆上：点在圆外:3)直线与圆的位置关系设直线到圆心的距离为ｄ,圆的半径为ｒ,则：ｄ＞r——直线与圆相离d=r——直线与圆相切(有一个交点）ｄ<r——直线与圆相交（特指有两个交点)4)圆与圆的关系设两圆圆心的距离为d，两圆的半径分别为R和r，则：公切线d>Ｒ+r——两圆相离４d＝R＋r——两圆外切3R-ｒ<d＜R+ｒ——两圆相交2d＝R-r——两圆内切1d<Ｒ-r——两圆内含05.对称：1）点关于点对称:p(x1,ｙ1)关于M（x0,ｙ0)的对称2）点关于线L的对称:设p（ａ、b），线L是两点所成线段的垂直平分线。3)直线关于直线对称：找直线上两个点关于直线的对称点4）圆关于直线对称：只需要找出圆心关于直线的对称点即为对称后的圆的圆心,半径不变。二、经典例题1．★已知直线,若,且,则此直线通过的象限是：A第二,三,四象限B第一,三，四象限Ｃ第一,二,四象限D第一,二，三象限E以上结论均不对的答案：C。本题考察直线的特种。.因此可得．因此截距为正.可知直线过第一,二,四象限，选择C。2.★过点,垂直于直线的直线的方程是ＡBＣDE答案：Ａ。本题考察两直线垂直的性质。两直线垂直斜率互为负倒数，所以垂直于直线的直线的斜率为,因此直线方程为,选择A3.★直线与直线的交点位于第一象限,则的取值范围是:ＡＢＣDE以上结论均不对的答案:选D。本题考察直线与直线的位置关系。由题:,由此可得.第一象限说明:，故选择D4．★★圆上到直线的距离等于1的点的个数有（Ａ）１(B)2(Ｃ)3(D)4答案：选A。本题考察直线与圆的位置关系。依题意圆心到直线距离为２，圆的半径为2，则有１个点即切点满足条件，即选A★★方程｜x－1|＋|y－1｜=1所表达的图形是()（A）一个点;（Ｂ)四条直线；(Ｃ）长方形；（D）正方形(Ｅ)圆答案:选D。分类讨论去掉绝对值符号,可以发现是个认为中心的正方形，故选D６．★直线关于直线对称的直线方程是(Ａ)ﻩ(B）（C)(D)(E)以上结论均不对的答案:选Ｄ。本题考察了直线关于直线的对称方程问题。（法一：运用相关点法）设所求直线上任一点，则它关于对称点为在直线上,化简得（法二:排除法)根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线与直线交点为在所求直线上，故选Ｄ．7.★★已知定点A(0,2),点Ｂ在直线上运动,当线段AB最短时，点B的坐标是（A)(B）（C）(1,－１）(D)(－１，1）(E）以上都不对答案:选A。本题考察点根据垂直求交点。当AB与垂直时,AB最短,从而B为8.★已知两点，则线段的中垂线方程是ＡBＣDE答案：选C。本题考察中垂线问题。由已知:AB中点的坐标是，ＡＢ的斜率为,故中垂线的斜率是4,且过点,则可得中垂线方程，选C９.★两条直线与的位置关系是()A平行B相交Ｃ重合Ｄ位置关系和无关Ｅ以上结论均不对的答案：选A。本题考察直线与直线的位置关系。由直线方程可得到两直线的斜率相同，故平行。10．★直线和互相垂直，则(）ABCDE答案:选Ｄ。本题考察两直线垂直的性质。由题知:两直线互相垂直,故斜率的乘积为1，可得出a＝１１.★★已知直线与两坐标轴交点为,则以线段为直径的圆的方程是:ABCDE以上结论均不对的答案：选Ｂ。本题考察圆的方程。，因此两坐标轴交点分别为,可得直径长度为.圆心为．因此圆为选择B１2.★点关于直线的对称点是（Ａ）(Ｂ）（C)（Ｄ)(E)答案：C。本题考核对称问题。设对称点为则故选C13.★★圆和直线相交于两点。(1)(2）答案：D。本题考察直线与圆的位置关系。有两个交点，则圆心到直线的距离小于半径或直线上有一点在圆内。由于直线即过定点（2，1),而定点在圆内，所以无论为多少直线与圆永远相交。故选D。１４.★★设区域D为，在D内的最大值是(Ａ）4（Ｂ）（C)(D）6答案：选C。本题考察最值问题。当相切时达成最大。设直线方程为x＋y=k,根据相切性质，圆心到直线距离等于半径，，得或（舍）,选Ｃ1５.★★直线l:x+y＝2.与圆：的交点为A,B,求AＢ的长()A.2Ｂ.C.D.4E.6答案：Ｃ。本题考察垂径定理求弦长。圆点到直线的距离为:,弦长为ＡB=16:★★★由曲线所围成的平面图形的面积是（)A、１B、２C、D、E、答案：B,本题考察绝对值的性质及直线方程。如图所示,由曲线所围成的平面图形是正方形ＡBCD，且四边的方程分别是,正方形的边长a=, 因此得到所围面积,即选B１７：★以直线y+x＝０为对称轴且与直线y-2x=2对称的直线方程为(）B、C、Ｄ、E、以上均不对的答案:选B，本题考察直线关于直线对称的直线方程的求解。如图所示，所求的直线过y+x=0，且与直线y-2x=2的交点为,设直线的斜率为ｋ，则由夹角相等可得,，解得k=，因此，所求直线的方程为：,即,故选Ｂ18：★★★如图，正方形ABＣD的面积为1，AＢ所在的直线方程为,AＤ所在的直线方程为答案:选A,本题考察直线方程与坐标轴交点。由条件(1），AＢ所在的直线方程为,则可得AD所在的方程为因此正方形AＢＣD的面积:即条件（1)是充足的；由条件（2)，ＡD所在的直线方程为，则Ａ(１，0)，D（0,１)所以AD=，所以即条件(2)不充足综上,选A19．★★过点P（3,2）且与两坐标轴截距相等(截距不为零）的直线的方程为(）A.x+y=5B.x+y=-5C.ｘ-y＝５D.x-ｙ=-5E.以上都不对答案:A。本题考察直线的方程的求解。根据题意可设直线的方程为x+y=ａ，由于过P点,代入可得ａ=５,所以选A。20．★通过两条直线和的交点,并且垂直于直线的直线方程为(）B、Ｃ、D、E、答案：选Ｃ，本题考察直根据已知条件求解直线方程。由题知，直线和的交点坐标为,且直线的斜率，从而所求直线的斜率，用点斜式方程得到:，即，选C２１．★★已知直线过点,当直线L与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是（）A、Ｂ、C、D、E、以上均不对答案:选D。本题考察直线与圆的位置关系。设直线的方程为,直线与圆有两个交点,可知圆心到直线的L的距离小于半径，圆的标准方程是,圆心为,半径是1，故，解得,故选D。22．★★(1)点A（１，0)关于直线的对称点是(2)直线与直线垂直答案:Ａ。本题考察直线对称和垂直的问题。条件(1)Ａ（1,0）关于x－y+1=0的对称点为（0-1,1+１)即(－1,2）因此ａ=－4充足。条件(2)根据直线垂直的性质，a(2+a)+5(a+2)＝０,解得a=-2或a＝-5.不充足,选A。２3．★★★光线通过照射在上,反射后通过,求反射光线所在直线方程为（)Ｂ、Ｃ、D、E、以上均不对答案:选Ｃ，本题考察点关于直线对称的性质。由题，根据光的反射原理,先找P点关于直线的对称点为,那么所在的直线方程就是反射光线所在的方程，即，故选C２４.★★★已知动点在圆上运动,的最小值是()B、C、D、Ｅ、－3答案：选C，本题考察直线与圆中的最值问题。由题,ｐ在圆上运动，因此求并不容易,令则,而ｋ恰为直线的斜率,下面就是找出直线与圆的位置关系,显然直线过原点，那么当与圆相切时,k取到最值,即方程有两个相等的实数根，，解得,即最小值，选Ｃ.25．★★★已知定点A，B，直线与线段AB有公共点，那么实数a的取值范围是(）Ｂ、C、D、E、答案:选E,本题考察直线的斜率。由题,结合图形可看出,直线过定点，直线从A旋转到B的过程中通过ｙ轴,而直线PA的斜率是,PB的斜率是，所以选E.2６．★★★圆上到直线的距离等于1的点的个数有（)A、1Ｂ、2C、3D、４E、５答案:选C,本题考察直线与圆的位置关系。由题,圆心到直线的距离，且5-4=１，所以圆上到直线的距离为１的点的个数是3个,选C27．★★★设直线nx+(n＋1)y=1（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为，则Ａ.１B.C.Ｄ.Ｅ．以上均不对答案：C。本题是一个综合性题目,涉及知识有直线,三角形面积和数列的前n项和的求解。由直线可得在坐标轴中的横纵轴截距分别为，所以，，故答案为Ｃ。２8．★★若x，y满足,则ｘ－2y的最大值是()A、10B、9C、0D、E、答案：选A,本题考察直线与圆中的最值问题。令x－2ｙ=k，则当直线与圆相切时x-２y才取得最值，此时,所以解得ｋ=10或k=0，故x-２y的最大值是10，选A29．★★★一束光线通过点射到直线上，反射后穿过点;入射光线的方程为：；入射光线的方程为:；答案：选A，本题考察直线关于直线对称的性质。由题，据光的反射原理，点关于直线的对称点,可得到，连接的直线就是入射光线，即,那么条件(1)充足,条件(２)不充足，故选Ａ3０.★直线Ｌ与直线关于直线对称，则直线L的方程是（）B、Ｃ、Ｄ、E、以上均不对答案:选C，本题考察直线关于直线对称的性质。关于直线对称，那么只要令原方程中的x换成-y,将－ｙ换成ｘ即可,则即，，选Ｃ。31.★通过圆的圆心C,且与直线x＋y=0垂直的直线方程是（)A、x＋y＋1＝0 B、x+ｙ-1＝0Ｃ、x－y+1＝0 D、x－y－１＝0E、以上均不对答案:Ｃ，本题考察直线与直线垂直的性质。由题,圆的方程是,所以圆心的坐标是，且与直线x+y＝0垂直,故斜率是1,所以直线的方程是,即ｘ－ｙ＋1=0,选C。３２.★★直线通过P（2,３)，且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.A、B、C、Ｄ、或E、以上均不对答：D,本题考察直线方程的性质。由题设直线方程为：,又过P(2，3)，所以，求得a=5，那么直线方程为ｘ+y-5＝0．;当直线过(0,0）时,此时斜率为,所以直线方程为y=x综上，所求直线方程为或，选D。★设直线l过点A(－1，3)，且和直线3x+４y－12=0平行。直线l的方程是（)Ｂ、C、D、E、以上均不对答案:A，本题考察直线与直线平行的性质。由题,由于直线3x＋４ｙ-１2=0的斜率又直线ｌ过点A(-１，３)，所以l的方程为:，即，选A。★在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆的解析式,圆Ｃ1与C２的位置关系是（)相离B、相切C、相交D、重合Ｅ、不能判断答案:A,本题考察圆与圆的位置关系。由题,圆的是圆心是,半径为２;圆的圆心是,半径为2；又两圆的圆心距大于两圆的半径之和，故两圆相离,选A。★★已知直线与圆相交于A，B两点．那么的长为(）Ａ、1B、2C、3D、４E、６答案：B，本题考察直线与圆相交的性质。如图所示,由，消去y,得解得所以选Ｂ。★★若通过两点Ａ(－１，０)、B（0,1)的直线与圆C