第3课时 等腰三角形的判定与反证法

北师大版八年级(下)1.1等腰三角形第一章三角形的证明第3课时等腰三角形的判定与反证法复习旧知1、等腰三角形的定义是什么？

有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。2、等腰三角形有哪些性质？等腰三角形是轴对称图形等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一）三条重要线段新课知识点——等腰三角形的判定定理等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）（逆命题）。3（补充）顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高

重合的三角形是等腰三角形

（三线合一的三角形为等腰三角形）

CAB？？对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题证明过程自己写，上交第一节课回顾例1、已知：如图，AB=DC，BD=CA。求证：△AED是等腰三角形。新知应用证明：∵AB=DC，BD=CA，

AD=DA∴△ABD=△DCA∴△AED的等腰三角形(等角对等边)(SSS)∴∠ADB=∠DAC∴AE=DE(全等三角形的对应角相等)ABCDE新课知识点——反证法小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？BAC小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？BAC已知：如图，在△ABC中，∠B≠∠C求证：AB≠AC证明：此时，在△ABC中，AB与AC要么相等，要么不相等假设AB=AC∴∠B=∠C这与已知条件是∠B≠∠C相矛盾∴AB≠AC新课知识点——反证法反证法的定义：

①先假设命题的结论不成立，②然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，③从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。新课知识点——反证法例2、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。新知应用证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°、∠B=90°。∴∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立。∴一个三角形中不能有两个角是直角。已知：△ABC。求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个直角。1.（宁波·中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个

C．3个D．2个A2.（通化·中考）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°【解析】选C.因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是“没有一个内角小于或等于60°”，即“每一个内角都大于60°”.3.（日照·中考）一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有

个．【解析】当C点的坐标为（，0）或（，0）时，AB=AC,当C点的坐标为（4,0)时，AB=BC；当C点的坐标为（0，0）时，AC=BC.所以C点共有4个.答案：44.已知:如图所示,OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于 (

)A.3cm

B.4cm C.1.5cm

D.2cmA5.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有 (

)A.①②③ B.①②③④C.①② D.①解析:可证明△BDF,△CEF都是等腰三角形,得①②③正确.故选A.A6.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是

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假设三角形的三个外角中,至少有两个锐角解析:根据等腰三角形的性质可知AB=AC.故填AB=AC.7.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,要使AD∥BC,则△ABC的边一定满足

.

AB=AC解析:可证△ADE是等腰三角形,∴AD=AE=2cm.8.在△ABC中,∠C=∠B,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2cm,且DE∥BC,则AD=

.

2cm9.（衡阳·中考）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．【解析】

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝30°,∵CE＝CD,∴∠E＝∠CDE,又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE,∴∠E＝∠ACB＝30°,∴∠DBC＝∠E,∴BD＝DE.10.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.证明:连接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.11.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形.证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.∵DF⊥AC,∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.∴∠FEC=∠D.

∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D.∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.课堂