2023秋九年级数学上册模型构建专题相似三角形中的基本模型（新版）湘教版

2023秋九年级数学上册模型构建专题相似三角形中的基本模型（新版）湘教版模型构建专题：相似三角形中的根本模型eq\a\vs4\al(◆)类型一“A〞字型1．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.假设AD＝3，DB＝2，BC＝6，那么DE的长为________．第1题图第2题图2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10eq\r(2).四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)．那么此正方形的面积是________．3．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，那么eq\f(1,AM)＋eq\f(1,AN)＝________．第3题图4．如图①，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF)成立．假设将图①中的垂直改为斜交，如图②，AB∥CD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，那么eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF)还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．eq\a\vs4\al(◆)类型二“X〞字型5．(2023·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，那么以下结论一定正确的选项是()A.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)B.eq\f(DF,FC)＝eq\f(AE,EC)C.eq\f(AD,DB)＝eq\f(DE,BC)D.eq\f(DF,BF)＝eq\f(EF,FC)第5题图第6题图6．如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，那么DF∶BD等于()A．2∶3B．2∶1C．1∶2D．1∶37．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.(1)假设FD＝2，eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，求线段DC的长；(2)求证：EF·GB＝BF·GE.eq\a\vs4\al(◆)类型三旋转型8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，那么图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)()A．1个B．2个C．3个D．4个eq\a\vs4\al(◆)类型四“子母〞型(大三角形中包含小三角形)9．如图，要使△ABC与△DBA相似，那么只需添加一个适当的条件是__________(填一个即可)．第9题图第10题图10．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，BC＝2eq\r(2)，AB＝3，那么BD＝________．eq\a\vs4\al(◆)类型五垂直型11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，假设AD＝3，BC＝5，那么EF的值是〔〕A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)第11题图第12题图12．如图，矩形ABCD中，M是BC边上且与B、C不重合的点，点P是射线AM上的点，假设以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似，那么这样的点P有_______个．13．★如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝eq\f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，那么PM长的最小值为________．14．(2023·齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．eq\a\vs4\al(◆)类型六一线三等角型15．如图，等边△ABC的边长为6，D是BC边上的点，∠EDF＝60°.假设BD＝1，CF＝3时，那么BE的长为________．【方法12】第15题图变式题图【变式题】如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，那么CF等于________．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)假设AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【方法12】模型构建专题：相似三角形中的根本模型1.eq\f(18,5)2.253．1解析：∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，BC∥AD，∴eq\f(BC,AN)＝eq\f(BM,AM)，即eq\f(1,AN)＝eq\f(BM,AM)，∴eq\f(1,AM)＋eq\f(1,AN)＝eq\f(AB,AM)＋eq\f(BM,AM)＝eq\f(AM,AM)＝1.4．解：成立．证明如下：∵AB∥EF∥CD，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,DB)，eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,DB)，两式相加，得eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,DB)＋eq\f(BF,DB)＝1，等式两边同时除以EF，得eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).5．A6.D7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴eq\f(FD,FC)＝eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,3)，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4；(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(DE,BC)，eq\f(AE,BC)＝eq\f(GE,GB).∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴eq\f(EF,BF)＝eq\f(GE,GB)，∴EF·GB＝BF·GE.8．D9．∠BAC＝∠BDA(答案不唯一)10.eq\f(8,3)11.A12.213.eq\f(28,5)解析：根据“垂线段最短〞，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝eq\f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得x＝4，∴点A的坐标为(4，0),即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(42＋32)＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴eq\f(PM,OA)＝eq\f(PB,AB)，即eq\f(PM,4)＝eq\f(7,5)，解得PM＝eq\f(28,5).14．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD；(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴eq\f(AC,BF)＝eq\f(AD,BD)＝1，∴BF＝AC＝3.15.eq\f(5,3)解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠EDF＝60°，∴∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠FDC＝120°，∴∠BED＝∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BD,CF).∵BC＝6，BD＝1，∴CD＝BC－BD＝5，∴eq\f(BE,5)＝eq\f(1,3)，解得BE＝eq\f(5,3).【变式题】2解析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°.∵∠ADC＝∠ADE＋∠FDC＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝∠CDF，∴△BAD∽△CDF，∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.16．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq\f(BP,