2023年中考数学黄金知识点系列专题15等腰三角形

专题15等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质〔1〕等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等〔简称：等边对等角〕推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。〔2〕等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角〔或直角〕，但顶角可为钝角〔或直角〕。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，那么<a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，那么∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简称：等角对等边〕。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】〔2023山东滨州第6题〕如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，那么∠CDE的度数为〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．【举一反三】〔2023山东枣庄第4题〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，那么∠D等于A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°第4题图第4题图【答案】A.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】(2023湖南怀化第8题〕等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，那么它的周长为〔〕A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm【答案】C.【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，那么三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，假设条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】〔2023湖南湘西州第14题〕一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是〔〕A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对【答案】C.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】〔2023年福建龙岩第15题〕如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，那么BC=．【答案】2.【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2.考点：等边三角形.【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是利用性质和判定解决．【举一反三】〔2023四川达州第15题〕如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．假设PA=6，PB=8，PC=10，那么四边形APBQ的面积为．【答案】24+9．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】〔2023湖南长沙第17题〕如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，考点：线段的垂直平分线的性质.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．【举一反三】〔2023山东威海第10题〕如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，那么以下结论错误的选项是〔〕A．= B．AD，AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【答案】A．【解析】考点：黄金分割；全等三角形的判定与性质；线段的垂直平分线的综合运.课时作业☆能力提升一、选择题1.〔2023湖南湘西州第14题〕一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是〔〕A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．2.〔2023四川甘孜州第9题〕如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB=3，AD=1，那么△AED的周长为〔〕A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．3.〔2023辽宁营口第8题〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长〔大于AC〕为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．以下结论错误的选项是〔〕A．AD=CDB．∠A=∠DCEC．∠ADE=∠DCBD．∠A=2∠DCB【答案】D．【解析】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，应选D．考点：作图—根本作图；线段垂直平分线的性质．4.〔2023河南第6题〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E，那么DE的长为【】〔A〕6 〔B〕5 〔C〕4 〔D〕3【答案】D.【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理.5.〔2023河北第16题〕如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.假设点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，那么满足上述条件的△PMN有〔〕第16题图A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上【答案】d.【解析】试题分析：Ｍ、Ｎ分别在ＡＯ、ＢＯ上，一个；M、N其中一个和O点重合，2个；反向延长线上，有一个，故答案选D.考点：等边三角形的判定.6．在平面直角坐标系中，点A〔，〕，B〔，〕，动点C在x轴上，假设以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，那么点C的个数为〔〕A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．7.〔2023山东滨州第6题〕如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，那么∠CDE的度数为〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D.【解析】考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．二、填空题8.〔2023贵州遵义第14题〕如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，那么∠ABD=度．【答案】35．【解析】试题分析：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．考点：线段垂直平分线的性质．9.〔2023江苏苏州第17题〕如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE〔点B′在四边形ADEC内〕，连接AB′，那么AB′的长为．【答案】2EQ\R(\S\DO(),7).【解析】试题分析：过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=EQ\F(1,2)B′E=BE=2，DF=2EQ\R(,3),∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=2EQ\R(,3)，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=2EQ\R(,7)．考点：1轴对称；2等边三角形.10.〔2023湖北随州第12题〕等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，那么该等腰三角形的周长为．【答案】19或21或23．【解析】考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．11.〔2023广西河池第18题〕如图的三角形纸片中，AB=AC，BC=12cm，∠C=30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为cm．【答案】．【解析】试题分析：过D作DH⊥BC，过点A作AN⊥BC于点N，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，根据折叠可得：DF=BF，∠EDF=∠B=30°，∵AB=AC，BC=12cm，∴BN=NC=6cm，∵点B落在AC的中点D处，AN∥DH，∴NH=HC=3cm，∴DH=3tan30°=〔cm〕，设BF=DF=xcm，那么FH=12﹣x﹣3=9﹣x〔cm〕，故在Rt△DFC中，，故，解得：x=，即BF的长为：cm．故答案为：．考点：翻折变换〔折叠问题〕．12.〔2023内蒙古通辽第14题〕等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，那么该等腰三角形的底角的度数为．【答案】69°或21°．【解析】考点：等腰三角形的性质；分类讨论．13.〔2023福建南平第16题〕如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动〔不与A、B重合〕，将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出以下结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④．【解析】③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小===，∴③错误；④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换〔折叠问题〕．14.〔2023四川达州第15题〕如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．假设PA=6，PB=8，PC=10，那么四边形APBQ的面积为．【答案】24+9．【解析】考点：旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．15.〔2023湖南长沙第17题〕如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为．【答案】13．【解析】考点：线段的垂直平分线的性质.16.〔2023湖南娄底第17题〕如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，AB=7，BC=6，那么△BCD的周长为．【答案】13．【解析】试题分析：将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，由折叠的性质可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．考点：翻折变换〔折叠问题〕．三、解答题17.〔2023山东淄博第22题〕〔8分〕如图，△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．〔1〕求证：AE=AF；〔2〕求证：BE=〔AB+AC〕．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.【解析】∴BE=BG=〔BA+AG〕=〔AB+AC〕．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．18.〔2023湖南怀化第17题〕如图，AD=BC，AC=BD．〔1〕求证：△ADB≌△BCA；〔2〕OA与OB相等吗？假设相等，请说明理由．【答案】(1)详见解析；〔2〕OA=OB，理由详见解析.【解析】考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．19.〔2023广西河池第21题〕如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．〔1〕尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于