广东省肇庆市长岗中学2022年高二数学文下学期期末试卷含解析

广东省肇庆市长岗中学2022年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为

()(A).72

(B).56

(C).64

(D).48参考答案：D2.是R上奇函数，对任意实数x都有，当时，，则

（

）A.－1 B.1 C.0 D.2参考答案：C【分析】由，得函数f（x）为周期为3的周期函数，据此可得f（2019）＝f（0+673×3）＝f（0），f（2018）＝f（﹣1+3×673）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性以及解析式可得f（0）与f（1）的值，计算可得f（2018）+f（2019）答案．【详解】根据题意，对任意实数x都有，则，即，所以函数f（x）为周期为3的周期函数，则f（2019）＝f（0+673×3）＝f（0），f（2018）＝f（﹣1+3×673）＝f（﹣1），又由f（x）是R上奇函数，则f（0）＝0，且时，f（x）＝log2（2x﹣1），则f（1）＝log2（1）＝0，则f（2018）+f（2019）＝f（0）+f（﹣1）＝f（0）﹣f（1）＝0﹣0＝0；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．3.已知等差数列的公差，前项和满足：，那么数列中最大的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B4.下列命题正确的个数有(

)．

①若a>1，则<1

②若a>b，则

③对任意实数a，都有a2≥a

④若ac2>bc2，则a>b

(A)1个

(B)2个

(C)3个

(D)4个参考答案：B略5.曲线在点处的切线的倾斜角为()．A．－135°

B．45°

C．－45°

D．135°参考答案：A略6.的值为(

)

A．0

B．1

C． D．2参考答案：A7.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(λ∈[0，+∞))，则点P的轨迹一定过△ABC的（

）A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心参考答案：C8.如图，正方体，则下列四个命题：①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；③在直线上运动时，二面角的大小不变；④是平面上到点D和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线其中真命题的个数是A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略9.若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；7F：基本不等式．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．10.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，则f（f（））的值为．参考答案：e【考点】函数的值．【分析】先求出f（），从而求出f（f（））的值即可．【解答】解：∵f（）==2，∴f（f（））=f（2）=e2﹣1=e，故答案为：e．12.幂函数的图像经过点，则的解析式为

。参考答案：略13.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．参考答案：0∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－|x＋a|＝(－x)2－|－x＋a|?，∴a＝0．14.已知函数满足对任意成立，则的取值范围是

参考答案：略15.已知正实数x，y满足xy=1，则（+y）（+x）的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】将（+y）（+x）展开，出现，注意到乘积为xy=1，是定值，故直接利用基本不等式求解即可．【解答】解：依题意，（+y）（+x）=1+++1≥2+2=4，当且仅当x=y=1时取等号．故答案为：416.一个边长分别为3和4的矩形，以长度为4的边为母线，卷成一个圆柱，则这个圆柱的体积为

参考答案：略17.设，，若是与的等比中项，则的最小值为

参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.证明下列不等式（1）已知，求证（2）…）<0参考答案：证明：(1)

(2)…<……

（9分）……（12分）

略19.如图，已知直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，且AC⊥BC，点D是A1B1中点．（1）求证：平面CC1D⊥平面A1ABB1；（2）若异面直线CD与BB1所成角的正切值为，求点C1到平面A1CD的距离．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据已知条件，利用直线与平面垂直的判定定理，能推导出C1D⊥面A1ABB1，由此能够证明平面CC1D⊥平面A1ABB1；（2）设点C1到平面A1CD的距离为h，则由等体积可求点C1到平面A1CD的距离．解答： （1）证明：在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥面A1B1C1，C1D?面A1B1C1，∴C1D⊥AA1，∵AC=BC=2，∴A1C1=B1C1=2，∵点D是A1B1中点，∴C1D⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴C1D⊥面A1ABB1，∵C1D?平面CC1D，∴平面CC1D⊥平面A1ABB1．（2）解：∵C1C∥B1B，异面直线CD与BB1所成角的正切值为，∴tan∠C1CD=，∵AC=BC=2，且AC⊥BC，∴C1D=，∴CD=2，C1C=，A1C=，∴cos∠A1DC==﹣，∴∠A1DC=135°，∴==1，设点C1到平面A1CD的距离为h，则由等体积可得=×，∴h=，∴点C1到平面A1CD的距离为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C1到平面A1CD的距离，解题时要注意空间思维能力的培养，合理运用等体积法求点C1到平面A1CD的距离．20.（本题满分12分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号分组频数频率第1组50.050第2组①0.350第3组30②第4组200.200第5组100.100合计1001.000

参考答案：（1）由题可知，第2组的频数为人,

………………1分第3组的频率为,

………………2分频率分布直方图如下:

………………5分

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为：第3组:人,

………6分

第4组:人,

………7分第5组:人,

………8分

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

(3)设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:

……………10分第4组至少有一位同学入选的有:9种可能。所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为…………14分21.（本小题满分12分）已知命题,命题：在区间没有极值，若或为真，且为假，求实数的取值范围．参考答案：为真命题时，?x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，……3分

为真命题时，在区间没有极值∴∴a≤2.

……6分又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．

……7分当p真q假时，{a|a>2}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}

……9分当p假q真时，{a|a≤2}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤2}．．

………11分综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤2}∪{a|a>3}．

………………12分22.（12分）如图所示，

在直三棱柱中，∠ACB=90°,Ｍ是的中点，Ｎ是的中点

（Ⅰ）求证：MN∥平面；

（Ⅱ）求点到平面BMC的距离；

（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值大小。参考答案：（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D∴DN∥BB1∥AA1又DN＝∴四边形A1MND为平行四边形。∴MN∥A1D

又MN平面A1B1C1

AD1平面A1B1C1

∴MN∥平面--------------3分(2)因三棱柱为直三棱柱，∴C1C⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H