2016年中考数学复习《反比例函数》

专题13反比例函数

-解读考点

知识点名师点睛

1.反比例函数概念会判断一个函数是否为反比例函数。

反比例

函数概2.反比例函数图象知道反比例函数的图象是双曲线,。

念、图

象和性3.反比例函数的性质会分象限利用增减性。

质

4.一次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式。

会用数形结合思想解决此类问题.

反比例函5.反比例函数中比例系数的几何

能根据图象信息，解决相应的实际问题.

数的应用意义

能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。

：“2年中考

【2015年题组】

m

4.（2015河池）反比例函数'x（x〉°）的图象与一次函数>2=一"+"的图象交于A,

B两点，其中A（1,2）,当时，x的取值范围是（）

A.x<iB.l<x<2C.x>2D.x<l或x>2

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据双曲线关于直线产x时称易求B（2,1）.依题意得：如图所示，当1<XV

2时，％>X.故选B.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

y=-L

5.（2015贺州）已知《＜°＜e,则函数X和y=&'-1的图象大致是（）

【答案】C.

【解析】

试题分析：•匕＜0＜质,加-1＜0,...直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限.故选C.

考点：1.反比例函数的图象；2.一次函数的图象.

6.（2015宿迁）在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（-3,0）,（3,0）,点P在

2

y=—

反比例函数x的图象上，若APAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）

A.2个B.4个C.5个D.6个

【答案】D.

【解析】

22

y=-y-

试题分析：①当NPAB=90。时，P点的横坐标为-3,把x=-3代入》得3,所以

此时P点有1个；

22

2„.2（X+3）'+（2）22（x-3）+（—）2

②当NAPB=90°,设P（x,X）,P4=*,PB-=x,AB-

77

(x+3)-+(一1+(x-3)-+(―)2

=(3+3f=36,因为PA?+23?=AB?所以xx=36,整理得

29+V6529-V65

x______x—______

/-9/+4=0,所以2,或2,所以此时P点有4个;

22

）'=一

③当/PBA=90。时，P点的横坐标为3,把x=3代入x得3,所以此时p点有1个;

综上所述，满足条件的P点有6个.故选D.

考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.圆周角定理；3.分类讨论；4.综合题.

y=—1

7.（2015自贡）若点（*,X）,（々，%）,（毛，为）,都是反比例函数.x图象上

的点，并且当＜°＜%＜为

,则下列各式中正确的是（）

x<x<Cx<x,<x

A.(2x3gX]<X3<X?23

【答案】D.

【解析】

1

y——

试题分析：由题意得，点（斗,'）,（%,%）,（W,%）都是反比例函数,X上

的点，

且％＜°＜为＜%,则（％2,%）,（%3,%）位于第三象限，y随x的增大而增大，苫2＜%3,

（…，/）位于第一象限，玉最大，故土、%、七的大小关系是》2＜》3＜内.故选口

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

8.（2015凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面

3

y--

直角坐标系，双曲线x经过点D,则正方形ABCD的面积是（）

【答案】C.

【解析】

试题分析：；双曲线P=2经过点D,••.第一象限的小正方形的面积是3,.•.正方形.4CD的面积是

x

3x4=12.故选C.

考点：反比例函数系数k的几何意义.

k

y=—

9.（2015眉山）如图，A、B是双曲线》上的两点，过A点作ACLx轴，交OB于D

点，垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点，则k的值为（）

48

A.3B.3c.3D.4

【答案】B.

【解析】

试题分析：过点3作BElx轴于点E,为的中点，是△OBE的中位线，即CD=；BE,设乂

（x/）,成I3（2x,上），故...公”）。的面积为1,.」.a>00=1,1（上-上）-x=l,

x2x4xx4x22x4x

ovo

解得y=,，1・k=x--=y=,.故选B・

3x3

考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.相似三角形的判定与性质.

10.（2015内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3,点A在直线y=x上，点A

y=­

的横坐标为1,正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴.若双曲线冗与正方形ABCD

有公共点，则k的取值范围为（）

C.l<k<16D.4<k<16

【答案】C.

【解析】

试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1,则把x=l代入y=x解得y=l，则A

k

y=­

的坐标是（1,1）,：AB=BC=3,；.C点的坐标是（4,4）,.•.当双曲线X经过点（1,

y=~

1）时，k=l；当双曲线》经过点（4,4）时，k=16,因而lWkW16.故选C.

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.综合题.

11.（2015孝感）如图，aAOB是直角三角形，ZAOB=90°,OB=2OA,点A在反比例函

1k

y=-y=~

数x的图象上.若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）

t解析】

试题分析：过点3作.4Cj_x轴，BDJLX轴，分别于C,D.设点A的坐标是（m,n）,^AC=n,OOm,

,/ZAOB=90°,：.ZAOOZBOD=90<>,•:/DB8/BOD=90°,"DBO/AOC,,:乙BDO/

.4CO90°,：.£1BDO^^OCA,；.—=—=2L9-；OB^OA,：.BD=2m,OD=2n,因为点A在反比

OCACOA

1Jr

例函数》,=一的图象上，则如尸1,二点5在反比例函数y=—的图象上，3点的坐标是（.-In,2m）,二

xx

A=--4mw=-4.故选A.

考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.相似三角形的判定与性质；3.综合题.

2

y=一

13.（2015三明）如图，已知点A是双曲线》在第一象限的分支上的一个动点，连接

AO并延长交另一分支于点B,过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点

C,随着点A的运动，点C的位置也随之变化.设点C的坐标为（m,n）,则m,n满足的

关系式为（）

24

n-..n-..

A."=—2mBmc.〃=-4加D.M

【答案】B.

【解析】

2

试题分析：•••点C的坐标为（m,n）,.•.点A的纵坐标是n,横坐标是："，.•.点A的坐

22_

标为（〃，n）,•.•点C的坐标为（m,n）,...点B的横坐标是m,纵坐标是：加，.•.点B

工

n_m

22m22

——mn=---,,

的坐标为（m,加），又：〃，二”“，又•.•mVO,n>0,A

2

n=--

mn=-2,：.m,故选B.

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

12

y=—

14.（2015株洲）从2,3,4,5中任意选两个数，记作a和b,那么点（a,b）在函数》

图象上的概率是（）

1

A.2B.3c.4D.6

【答案】D.

【解析】

试题分析：画树状图得:

21

图象上的概率是.故选D.

考点：1.列表法与树状图法；2.反比例函数图象上点的坐标特征.

043

15.（2015乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴和y轴，（）B4./

k

y=~

AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函数%的图象

过点C.当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）

【解析】

试题分析：设。3的则次口设直线都的解析式是产权+6,则根据题意得：心[3。左+义6=0‘解得:

■k=~3，则直线.4B的解析式是p=x+4a，直线CD是乙403的平分线，则OD的解析式是y=x.根

b=4a

,r12

y=xx=­a

据题意得：4，解得：[、，则。的坐标是（¥”,鸟a）,Q4的中垂线的解析式是

I3卜〒|

a33971232

尸彳。，则C的坐标是（~a>则"'.以CD为边的正方形的面积为—2（—a——t?）'=—,

则『=空，.*2x^=7.故选D.

949

考点：1.反比例函数综合题；2.综合题；3.压轴题.

16.（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴

3

y=—

平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数X的图象经过A,B两点，则菱形

A.2B.4C.20D.4亚

【答案】D.

【解析】

3

y=—

试题分析:过点A作x轴的垂线,与CB的延长线交于点E,VA,B两点在反比例函数X

的图象上且纵坐标分别为31,，A,B横坐标分别为1,3,，AE=2,BE=2,，AB=2四,

S菱形ABCD^x高=2后X2=4Q,故选D.

考点：1.菱形的性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.综合题.

1

-y=一

17.（2015临沂）在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与反比例函数.x的图象有唯一

1

>y=—

公共点，若直线）'=一"+"与反比例函数.x的图象有2个公共点，则b的取值范围是

A.b>2B.-2<b<2C.b>2或b<-2D.b<-2

【答案】C.

【解析】

y=-x+5

试题分析：解方程组1得：x:-ix+l=0,...直线j-=-x+b与反比例函数1的图象有2个

V=­X

Lx

公共点，方程/-云+1=0有两个不相等的实数根，.••△=/一4>。，.F>2,或&<-2,故选C.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

18.（2015滨州）如图，在x轴的上方，直角NBOA绕原点O按顺时针方向旋转，若NBOA

12

y——y=一

的两边分别与函数.X、'X的图象交于B、A两点，则NOAB的大小的变化趋势为

（）

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

【答案】D.

【解析】

试题分析：如图，分别过点/、5作4Vlx轴、5Mlx轴，..•44。5=90。，.•.NS。田4。¥=44。W叱

。工\三90°,：./BO\，f=^OAN,,.,Z5A/0=Z.<V090",.,.ABOA^AO.^V,——=——

ONAN

12122r-

设3（一加,一）,A（n,—则B\f=—，/#=—,OAf=m,ON=n,.'.w?r=—,nin=J2；

mnmnmn

OB

,.，Z-4O5=90<>,.\tanZ.OAB=①,

OA

QDD\f1/56

•:■O-4OAN,：.—=——=士■②，由①②知5/。43=工为定值，二/。二的大小不

OAONmn77

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.综合题.

19.（2015扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1,3）,

则另一个交点坐标是

【答案】（-1,-3）.

【解析】

试题分析：•••反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，，另一个

交点的坐标与点（1,3）关于原点对称，.•.该点的坐标为（-1,-3）.故答案为：（-1,

-3）.

考点：反比例函数图象的对称性.

y=—（Z:>0）

20.（2015泰州）点（a-1,）、（a+l,巳）在反比例函数X的图象匕若必<必，

则a的范围是.

【答案】-1<a<1.

【解析】

试题分析：OO,.•.在图象的每一支上，丁随x的增大而减小，①当点（aT,达）、（1I,心）在图象

的同一支上，.,.a-l>o-l,解得：无解;

②当点（a-1,用）、（Al,v2）在图象的两支上，：用<3,2,a-\>0,解得：-Ka<lf

故答案为：

考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.分类讨论.

273k

y=----y=-

21.（2015南宁）如图，点A在双曲线‘》（》>0）上，点B在双曲线.X（X>°）

上（点B在点A的右侧）,且AB〃x轴.若四边形OABC是菱形，且NAOC=60。,则k=.

【答案】6G.

【解析】

2732^/3

y---------

试题分析：因为点A在双曲线一X（x>°）上，设A点坐标为（a,«），因为四

273

边形OABC是菱形，且NAOC=60。，所以OA=2a,可得B点坐标为（3a,a）,可得：

3ax空

k=a=6百，故答案为：6省.

考点：1.菱形的性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.综合题.

22.（2015桂林）如图，以。ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直

k

y~~

角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2,4）、（3,0）,过点A的反比例函数X的图象

交BC于D,连接AD,则四边形AOCD的面积是

【答案】9.

【解析】

试题分析：:四边形N5CD是平行四边形，丛C的坐标分别是<2,4).(3,0),・••点3的坐标为：(5,逮

kg

把点上(2,4)代入反比例函数丁=£得：4=8,.•.反比例函数的解析式为：y=±：设直线3c的解析式

xx

为：y=把点3(5,4),C(3,0)代入得：二解得：上2,户-6,.二直线8C的解析

>k+b=0

y=2x-6

x=4x=—]

式为：j=2x-6,解方程组J8得：|一，，或厂一。(不合题意，舍去),，点D的坐标为:

y=-v=2v=-8

「X

(4,2),即。为3c的中点，.•.ZU3D的面积=1平行四边形N5CD的面积，...四边形AOCD的面积=平

行四边形ABCO的面积-A.-1BD的面积=3X4-1X3X4=9J故答案为：9.

考点：1.平行四边形的性质；2.反比例函数系数k的儿何意义；3.综合题；4.压轴题.

23.(2015贵港)如图，已知点Al,A2,....An均在直线)'=*一1上，点Bl,B2,

y=—1

Bn均在双曲线x上，并且满足：AlBl_Lx轴，BlA2，y轴，A2B2J_x轴，B2A31y

轴，…，AnBn_Lx轴，BnAn+1_Ly轴，…，记点An的横坐标为an(n为正整数).若生

则a2015=.

【答案】2.

【解析】

试题分析：•••勾=-1,的坐标是《-1,D,.•.色的坐标是（2,1）,即6=2,

..a=2,「.b：的坐标是（2,-W），...&的坐标是（：，一：），即a产之，

,.N==，...昆的坐标是（（，-2）,二上,的坐标是（T,-2）,即4=-1,

2

•「3-1,.•.凡的坐标是（-1,1）,二士的坐标是（2,1）,即上=2,

…，

「0，a：,a-.,cu,aif—,每3个数一个循环，分别是-1、；、2,

..•201"3=671…2,...的：是第672个循环的第2个数，...6^=2.故答案为：2.

考点：I.反比例函数图象上点的坐标特征；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.规律型;

4.综合题.

24.（2015南京）如图，过原点O的直线与反比例函数,，出的图象在第.象限内分别交

1

%=一V

于点A,B,且A为OB的中点，若函数X,则上与x的函数表达式是.

4

%=一

【答案】％.

【解析】

1

y\-~

试题分析：过A作AC_Lx轴于C,过B作BDJ_x轴于D,♦.•点A在反比例函数x上,

.,.设A（a,。），；.OC=a,AC=。，，；AC_Lx轴，BD_Lx轴，，AC〃BD,AAOAC^A

AC_PC_OAAC_PC_OA_12

BD0Da

OBD,BDODOB,vA为OB的中点，，0B2,BD=2AC=,

一乃=-Za—=4,

OD=2OC=2a,；.B(2a,a),设-x,，k=a,二七与x的函数表达式是:

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.综合题；3.压轴题.

k

y——

25.（2015攀枝花）如图，若双曲线.％（女〉0）与边长为3的等边aAOB（O为坐标

原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD,则k的值为

【解析】

试题分析：过点C作CElx轴于点E,过点D作DFlx轴于点F,设0C=2x,则BAx,在义中，

/C0E=6Q>则C£>x,CE=^/Jx,贝U点C坐标为（x,有乂）,在穴©工中，3〉心ZaBF=6。，,贝尸=^x,

DF=£,则点。的坐标为（3-L,立x）,将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：左=抬£,

将点D的坐标代入反比例函额解析式可得：左=芈x-造/,则、取:=型工_立/,解得：内=g,

"T4toi'Tw

七=0（舍去），故左=道/=岑.故答案为：岑.

考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质；3.综合题.

,4yr,n

26.（2015荆门）如图，点4,依次在.x的图象上，点九%依次在x轴

的正半轴上，若△4°用，△&用外均为等边三角形，则点4的坐标为.

【答案】（60,0）.

【解析】

试题分析：作W：C_LOB：,垂足为C,...△力。比为等边二角形，，/_4：Q3：=60°,，fan60°馅，

OC

：.A：C=y/3OC,设出的坐标为（»i,6m）,；点/：在）=¥＜丫＞0）的图象上，.•.归相次=96，解

得m=3,：.OC=3,二。8产6,作ADJJJ1B2,垂足为D,设民D=a,则OD=6+a,A2D=43a,：.A:（6+a,

也a）,-：Ai（6+a,岛）在反比例函数的图象上，二代入）=缜，得（6+4）《4=94，化简得

『+6a-9=0,解得：a=-3±30,'：a＞0,：.a=-3+372.二吕昆=-6+60,

。3=。5：+3厩=60,所以点星的坐标为（6及，0）.故答案为：（60,以

考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质：3.综合题；4.压轴题.

27.（2015南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，/XOAB的顶点A在x轴正半轴上，OC

3

y——

是AOAB的中线，点B,C在反比例函数.X（X>O）的图象上，则aOAB的面积等

于

9

【答案】2.

【解析】

试题分析：作5DL•丰好D,CElx轴于E,「.BD/CE,...式=匹=三，是△Q"的中线，

BD，山，18

――=——=——=—>设CE=x>则BD=2x>的横坐标为—,B的横坐标为—>；.OD=—>OE=一，

BDADAB2x2x2xx

3333339iiQQ

.\DE=---=—,.\AE=DE=—,—H—「.S工"严一-x—xx:一.故答案为：

Y，Y)V丫)丫))2丫,

考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.综合题.

28.（2015烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4,0）和（0,2）,反比

k

y--

例函数X（x>0）的图象过对角线的交点P并且与AB,BC分别交于D,E两点，连接

OD,OE,DE,则△€）口£的面积为

15

【答案】4.

【解析】

试题分析：•••四边形是矩形，..$=0C,BC=OA,•」、C的坐标分别是(4,Q)和(0,2),二3=4,

。5=2,是矩形对角线的交点，「.P(2,1),...反比例函数j=±(x>0)的图象过对角线的交点P,

X

k

，上2,・•.反比例函数的解析式为：・.・D,H两点在反比例函数y=£(x>0)的图象的图象上，二

xx

111131A

D(4,—二.S三影二S三喙-5-40p-S'"。/—2——X2——X2——X—X3二—.故答

2)))，4

案为：7,

考点：1.反比例函数系数k的儿何意义；2.反比例函数综合题；3.综合题.

k

y—

29.(2015玉林防城港)已知：一次函数>=一2'+10的图象与反比例函数.x(k>°)

的图象相交于A,B两点(A在B的右侧).

(1)当A(4,2)时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；

(2)在(1)的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使4PAB是以AB为

直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当A(a,-2a+10),B(b,-2b+10)时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交

BC

---二一5

于另一点C,连接BC交y轴于点D.若BD2,求^ABC的面积.

y——―8---1-

【答案】(1).X,B(1,8)；(2)(-4,-2)、(-16,2).(3)10.

【解析】

k

y=一

试题分析：(1)把点A的坐标代入x,就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与

反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；

(2)从”是以.结为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若N5AP=9Q°,过点N作.次LOE于E,

设X9与x轴的交点为如图1,求得支=5,0H=4-HE=1.证明也，再根据相似

三角形的性质可求出〕，田，从而得到点〃的坐标，然后用待定系数法求出直线.」尸的解析式，再解直线

与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若乙空P=9Q°,同理即可得到点尸的坐标;

(3)过点B作BSlj吓好5,过点C作C71J丰好T,连接0B,如图2,易证△CTDsASSD,根据相似

三角形的性质可得乌=三==.由d(%-2^-10),B(b,-2i>+10),可得C(-a,2a-10),CI=a,

BS=b,即可得到b=?a.由T、B都在反比例函数的图象上可得a(-2K10)=b(-¥+10),把方代

人即可求出a的值，从而得到点/、3、。的坐标，运用待定系数法求出直线5c的解析式，从而得到点D

的坐标及。。的值，然后运用割补法可求出$“OB,再由。N=。。可得S-ULZS"”.

k§

试题解析：(1)把/(4,2)代入]■=—,得上4X2=8,.•.反比例函数的解析式为y=-，解方程组

xx

\=-2x+10«=8y=4

<8，得：丁，或;、，二点3的坐标为(1,必

y=-ly=l[y=2

Ix

(2)①若/BAP=90。，过点A作AH_LOE于H,设AP与x轴的交点为M,如图1,对于

y=-2x+10,当y=O时，-2x+10=0,解得x=5,...点E(5,0),OE=5.VA(4,2),

OHM,AH=2,AHE=5-4=1.VAH1OE,AZAHM=ZAHE=90°.又；/BAP=90。，Z.

NAME+NAEM=90°,ZAME+ZMAH=90°,AZMAH=ZAEM,AAAHM^AEHA,

AHMH2_MH

EHAH,12,;.MH=4,：.M(0,0),可设直线AP的解析式为)'=加工,

_y=_xy=_I_

则有4加=2,解得m=2,.•.直线AP的解析式为‘2，解方程组1工，得：。〜

卜二-4

或1v=-2,..,点P的坐标为(-4,-2).

②若/ABP=90。，同理可得：点P的坐标为(-16,2).

综上所述：符合条件的点P的坐标为（-4,-2）、（-16,2）,

（3）过点B作BSLy轴于S,过点C作CT，y轴于T,连接0B,如图2,则有BS〃CT,

CD_CTBCaCTCD2

・••茄~~BS.BD--2.~BS~~~BD~

AACTD^ABSD,，••2.VA(a,-2a+10),

B(b,-2b+10),:.c(-a，2a-

432k

10),CT=a,BS=b,即6=-a.'N⑸-2小40)，B(d,-2t+10)都在反比例函数y=—的

b23x

2

/.a(-2a+10)=i(-2>H0),.'.a(-2^10)--a(-2X-a+10).Vtf#0,-2o+-10=-(-

333

2x1a+10),解得：a=3.：.A(3,4),B(2,6),C(-3,-4).

设直线BC的解析式为y=px+q,则有;2：+口=6解得：=：,.•.直线3C的解析式为

一3p+g=7g=2

y=2x+2.当时，尸2,则点D(0,2),OD=2,二S-cos=S=coc+Sa

，

.•Sia0B=Si.C0B>•••S^5c=2SiCOB=10.

考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.反比例函数与一次函

数的交点问题：4.相似三角形的判定与性质；5.压轴题.

【2014年题组】

4

y=­

1.（2014年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线x上，分别经过A、B两点向轴作垂

线段，已知S阴影=1,则Sl+S2=（）

【解析】

4

y=-

试题分析：•.•点A、B是双曲线x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段,

，根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,..3阴影=1,；.Sl+S2=4+4

-1x2=6.故选D.

考点：反比例函数系数k的几何意义.

k

y=—

2.（2014年吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数x（k>o,x>

0）的图象上，0A与x轴相切，（DB