2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线学案版2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE9学必求其心得，业必贵于专精2.1圆锥曲线［学习目标］1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形。4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M答案不是，是线段F1F22．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a（2a＜F1F2答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1在△ABC中，B(－6，0)，C(0，8），且sinB，sinA，sinC成等差数列．(1）顶点A的轨迹是什么?（2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1）由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC。又BC＝10，所以AB＋AC＝20,且20>BC,所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形,轨迹要除去两点．跟踪训练1已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100,圆A内一定点B（3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明设MB＝r。∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10,∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10（大于AB)．∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．题型二双曲线定义的应用例2已知圆C1：（x＋2）2＋y2＝1和圆C2:(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹．解由已知得,圆C1的圆心C1(－2，0），半径r1＝1,圆C2的圆心C2（2，0），半径r2＝3.设动圆M的半径为r。因为动圆M与圆C1相外切,所以MC1＝r＋1。①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2,且2〈C1C2所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支,且除去点(－1，0)．反思与感悟设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r,得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值,所以轨迹是双曲线的一支，又圆C1与圆C2相切于点（－1，0），所以M的轨迹不过(－1，0）．跟踪训练2在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且｜sinC－sinB｜＝eq\f(1，2）sinA,则顶点A的轨迹是什么？解因为｜sinC－sinB|＝eq\f(1,2）sinA，由正弦定理可得|AB－AC|＝eq\f（1,2)BC＝eq\f（1,2）m,且eq\f（1,2）m〈BC，所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两交点)．题型三抛物线定义的应用例3已知动点M的坐标（x，y)满足方程2(x－1）2＋2(y－1）2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．解方程可变形为eq\f（\r（x－12＋y－12),\f(｜x＋y＋6|,\r(2）））＝1，∵eq\r(x－12＋y－12）表示点M到点（1,1）的距离，eq\f（|x＋y＋6｜,\r（2）)表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离,又由eq\f(\r（x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)）)＝1知点M到定点（1,1）的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4，0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1（0,－3）,F2（0，3)，动点P（x，y）满足条件PF1＋PF2＝a（a〉0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时,轨迹为线段;当a＞6时,轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A（－5，0）、B(5,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3，0）)解析如图，AD＝AE＝8。BF＝BE＝2，CD＝CF,所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10。根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析依题意,点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0）的距离,故点P的轨迹是抛物线．5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1，0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1，0)为焦点的抛物线．1。一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况,可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线,统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F3．双曲线定义中，若常数>F1F2,则这样的点不存