农村实用数学

前言

建设新农村是涉及千百万农民切身利益的事业，关键是要调动农民的积

极性、主动性和创造性。农民是建设社会主义新农村的主体，农民的思想、

道德、文化、职业技能等素质和水平，直接决定新农村建设的兴衰成败。采

取多种形式，培养与新农村建设要求相适应的一大批有文化、懂技术、会经

营的新型农民，是新农村建设系统工程中的重要组成部分，是新农村建设内

在的基本要求，是新农村建设最本质、最核心的内容。

加快社会主义新农村建设，要求改善农民的文化结构和技能结构，提升

其文明素养和就业、创业能力。为此，在衡水市开展了“技能+基础”为核心

课程的成人学历教育模式试点工作。为全面提升农民的综合素质和职业能力，

培养社会主义新型农民开拓了一种有效途径。

按照市委的要求，学校2007年开始实践“技能+基础”新型农民培养模

式，面向专业农民即从事种植业、养殖业的一产农民开展职业技能与综合素

质培训，取得了显著效果。“技能+基础”新型农民培养模式，其要点在于普

遍开展农民职业技能培训，进行职业技能鉴定，提高农民的职业能力。农民

在取得相关农业工种的职业技能证书或绿色证书的前提下，加强文化基础教

育和职业综合能力教育，从而完成对学员的中等专业教育。

具体做法是：

(1)围绕新农村建设规划的主导产业办班。

对农民实施学历教育，需要有乡镇、村委会以及农民个人三方的积极性。

三方积极性的结合部，即当地新农村建设规划的主导产业。围绕主导产业办

班，乡镇政府支持、村委会热心、农民有积极性。

⑵围绕农民的创业需求办班。

衡水市区有一部分四五十岁的农村劳动者尤其是女性劳动者，在劳动力

转移就业中，走上了离土不离乡的自主创业道路，其中发展乡村养殖是一个

重要创业方向。针对农民对畜禽养殖服务与管理知识技能的需求，衡水科技

学校经市教委批准于2002年设置了乡村畜禽养殖专业。在市区的乡镇村办起

了畜禽养殖中专班。采取“技能+基础”模式办学，受到农民欢迎。

(3)围绕城乡一体化化需要办班。

近年，城市化进程加快，城乡一体化格局已初步形成，许多地方农民已

经市民化。但是，一些市民化的农民存在就业困难。举办农民“技能+基础”

中专班，提高农村劳动力的综合素质即职业能力，实现了农村劳动力由基本

就业向稳定就业、高质量就业发展。

为了推动“技能+基础”的新型农民培养模式科学、规范、健康发展，市

委、市教委委托衡水科技学校组织力量编写了这套《建设新农村培养新农民

系列丛书-----产农民“技能+基础”专用教材》。本套教材结合市农业发展

实际，依据市农民的职业需求，吸取了相关专业最新研究成果，形成了一套

新颖、通俗、实用的农民培训教材，为衡水市农民职业教育的教学资源建设,

做了基础性工作。

新型农民培养工作任重道远，教育教学资源建设需进一步加大力度、加

快速度，农民教育工作者应振奋精神、努力创新、开拓进取，为农民朋友生

产出更多的精神食粮，为新型农民培养事业做出更大贡献。

内容提要

数学是一门历史悠久但又不断增添着新内容的科学.单从数学的应用这

一层面看，近年来其进展就十分惊人，数学的概念、语言及思维方式，正日

益渗透到人们工作和生活的方方面面.例如，媒体中的天气预报、财经报道

等无不蕴涵着数学知识.很多生活中遇到的实际问题都可以利用数学知识得

到解决，随着社会的发展，越发显现出数学学科所特有的工具性能.在知识

经济社会里，每个注重效率、追求工作质量的人，都应不断提高数学文化素

养，并学会运用所掌握的数学知识，解决身边遇到的实际问题.

基于社会发展的需求，我们编写了这本专门为新农村的建设发展的需要

而量身定制的应用型数学教材.本教材的建构是以数学内容为载体，力求使

数学源于实践、用于实践，具体而言，本书编写的原则是淡化数学理论，以

典型的应用实例为架构，以数学知识（函数、方程、几何、排列组合及概率统

计等）为载体，在教材编写中突出三个基本，即“基本概念、基本思想、基本

方法”.在教学方法上采用了“问题动式”的教学理念，即对于每个教学概念

的引入，力求从实际问题出发，采用“提出问题一分析问题一解决问题”的

途径讲清抽象的数学概念.在内容的叙述上，尽量采用通俗易懂的语言.总

之，我们力求使本教材成为：学生易学、教师易教的实用性较强的数学教材.

我们希望通过本课程的学习，不仅使学生掌握相关的数学知识，更有利

于他们开拓思路，养成正确的思维方式，为新农村的建设贡献自己的力量.

本教材共由四部分组成.教学的参考总学时数为75学时左右.各章节的

学时分配可以根据学生的基础情况灵活掌握.

第一章生产生活中常见的函数问题

千姿百态的物质世界，无不处在运动、变化和发展之中.16世纪，为了

适应社会生产力发展的需要，运动变化就成为了自然科学研究的主题.于是，

通过对各种变化及变化过程中变量之间依赖关系的研究产生了函数的概念.

现实生活中存在的大量实际问题都可以建立起某种函数关系，其中许多

问题中的函数关系都属于正比例函数、反比例函数或一次函数(也称线性函数)

的范畴.本章将引入大量发生在身边的实际问题，通过挖掘其中变量间的相

依关系及变化规律，逐步加深对函数概念的理解.最终达到提高分析问题和

解决问题的能力.通过本章的学习，真正领会到数学知识来自实践又服务于

实践的根本.

第一节正比例函数及其应用

由于正比例函数是函数中的一种类型，所以在讨论正比例函数之前，首

先让我们共同回顾函数的基本概念.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x在实数

的某一范围D内，任意取定一个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应，

那么我们就说y是x的函数.

记作y=f(x),x€D

其中变量x称为自变量，自变量的取值范围D称为函数的定义域.如果

x=a时,y=b,那么b叫做当自变量x的值为a时的函数值.值得注意的是：

在运用函数知识解决实际问题的时候，往往要根据实际问题的具体情况确定

相应变量的取值范围.

一、正比例函数

通过观察日常生活中经常遇到的某些现象，尝试利用数学思想分析它们

具备怎样的函数关系，并思考这些函数形式所具有的共同特点.例如：

1.某块田地种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米数y与种植面积x(m2),

之间的关系是怎样的？

2.若某地区每亩水稻的平均产量为1000千克，则水稻的总产量y随水

稻种植面积x的变化发生怎样的变化？

3.计划在冷库里冷冻一些0℃的货物，使它们每分钟下降3℃,则货物

的温度TCC)随冷冻时间t(分钟)的变化而发生怎样的变化？

分析L依题意分析可得：y=6x

2.依题意分析可得：y=l000x.

3.依题意分析可得：T=-3t(t>0).

观察上述函数关系式的共同特点：这些函数都是常数与自变量乘积的形

式.

若将这个常数统一用字母k表示，可以归纳概括成如下结论：

定义1一般地，形如y=kx(k是常数且是k乎0)的函数，称为正比例函

数.其中k叫做比例系数.

思考题

(1)若一个圆形桌面的周长L随着圆半径r的大小变化而改变，则周长L

与半径r的函数关系为，比例系数为。

(2)某种植专业户销售苹果，若每千克苹果零售价格是0.6元，则所售

出苹果的重量x与总收入y的关系为,正比例系数

为。

实际问题中的函数关系往往用图像更能直观地反映出来.例如日常生活

中用心电图可以清晰地表示出心脏生物电流与时间的关系，因此掌握函数与

其图像之间的关系十分必要.

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点

的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像

(graph).通过函数图像可以达到数形结合之目的，有利于更好的研究函数相

关的性质.

练习1：画出下列正比例函数(l)y=2x与(2)y=-2x的图像，并观察它们

的图像后进行比较.

X-3-2-101234

Y-6-4-202468

性质1正比例函数y=kx（k是常数，k#0）的图形是一条经过原点的直

线.当k>0时，图形经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增

大；当k<0时，图形经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减

小。

例题2试用最简单的方法画出下列正比例函数的图像。

3

(1)y=-x(2)y=-3x

2

解：通过思考发现：两点就可以确定一条直线，于是除原点外，分别找

出适合两个函数关系式的另一个点进行作图即可.

(l)y=±x,取点(2,3),连接两点(0,0)和(2,3)可得到图像.

2

⑵y=-3x,取点(1,一3)连接(0,0)和(1,一3)可得到图像.

思考题

1.试用最简单的方法画出下列正比例函数的图像。

(1)y=3x(2)y=-3x(3)y=-x(4)y=x

2.填空：正比例函数y=kx(k#0),当k>0时，y随x增大;当

k<0时，y15tx增大而.

3.填空：正比例函数y=kx的图像是一条经过的.

4.若正比例函数y=kx(k#0)经过点(2,4)则该正比例函数的解析式为

y=。

二、正比例函数的实际应用

尝试运用所掌握的正比例函数的知识解决你身边发生的实际问题.

生活观察

生活中经常会遇到很多符合正比例函数规律的现象，例如

L小麦总产量=每公顷产量X小麦的公顷数.

2.苗圃里树苗的总株数=每亩地的平均株数X苗圃的亩数.

3.路程=速度x时间.

4.工作总量=工作效率x工作时间.

5.购买物品的消费总金额=物品的单价x物品的数量.

实例分析

1.若某本书的厚度为0.9厘米.将这类相同书籍摞在一起的总厚度了（厘

米）随着书的本数x的变化而变化.试写出厚度y与本数之间的函数关系.

分析书本个数的变化决定了一摞书的总厚度，因此有y=0.9x

2.某商场出售的洗衣粉价格为每袋3.8（元），列出一次性购买洗衣粉x

袋与消费价格y的函数关系.

分析消费价格随着购买洗衣粉袋数的多少而改变，因此有y=3.8x

学习实践

通过对正比例函数的学习，独立解决生活中遇到的实际问题.

问题如今餐馆常用一次性筷子，有人说这是浪费资源，破坏生态环

境.已知用来生产一次性筷子的大树数量（万棵）与加工后一次性筷子的数量

（亿双）成正比例关系，且100万棵大树能加工成18亿双一次性筷子.

（1）求用来生产一次性筷子的大树的数量y（万棵）与加工后一次性筷子的

量x（亿双）的函数关系式.

（2）据统计，我国一年要耗费一次性筷子约450亿双，生产这些一次性筷

子约需要多少万棵大树？

习题（一）

1.若一个正比例函数的图像经过点A（-2,3）,写出这个函数的解析式.

2.若正比例函数图形经过点A（l,3）,求该函数解析式.

第二节一次函数及其应用

一、一次函数

观察以下几个日常生活中经常遇到的现象，并分析其中孕育了哪些数学

思想.

1.西方科学家研究出一种计算成年人标准体重G（千克）的方法：身高值

h（厘米）减去105,所得差是G的值.（注释：凡是超过标准体重10%者为偏

重，超过标准体重20%以上者为肥胖，低于10%者为偏瘦，低于20%者为消

瘦）。

2.某城市全球通手机用户的月收费额y（元）包括：月租费50元，拨打电

话x分钟的计时费按0.2元/分收取.

3.由于经费问题，要将一个长100米、宽50米的长方形养鱼池的长减

少x(米)，若宽度不变，则鱼池的面积S(itf)随x值的变化而改变.

分析1.根据题意可知：G=h-105.

2.根据题意可知：y=0.2x+50.

3.根据题意可知：y=(100—x)50=-50x+5000(0<x<100).

注意建立函数关系时，要根据实际问题，确定自变量x的取值范围，

如3中的(0<x<100).

观察上面3个函数表达式的共同特点是：自变量的k倍与一个常数的

和，如果我们用b来表示这个常数.这些函数形式就可以写成：

y=kx+b(k#0).

定义2一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k^O)的函数，叫做一次函

数，当b=0时，y=kx称为正比例函数(所以说正比例函数是一种特殊的一次函

数).

例题1已知函数y=(k-2)x+2k+l若它是正比例函数，求k的值.若

它是一次函数，求k的值.

分析根据一次函数和正比例函数的定义，易求得k的值.

解：若函数丫=小-2)*+21<+1是正比例函数，则2k+1=0即k=-1/2;

若函数y=(k-2)x+2k+l是一次函数，则k-2x0,即是kx2.

为了便于记忆，现将一次函数中k与b的正、负与它的图像所经过的象

限特征归纳如下表

性质2一次函数丫=1^+1)(1<#())的图形是一条直线，这条直线通常又称为

直线y=kx+b(k*0).

(1)当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图形从左到右上升；

(2)当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图形从左到右下降.

(特别地，当b=0时，正比例函数y=kx也有上述性质)

当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负半轴.

二、一次函数的实际应用

一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛.譬如当人们在社会生活中

从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用

一元一次函数解决问题.下面我们将利用一次函数知识解决生活中常见的一

些实际问题.

生活观察

生活中常见的问题若具备下列函数关系，请问：哪些属于一次函数?哪些

又属于正比例函数呢？

(1)面积为10nr的三角形的底a米与这边上的高h(米)；

(2)长为8米的平行四边形的周长L(米)与宽b(米)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

(4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).

分析确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经

过整理后是否符合y=kx+b(k#0)或y=kx(k*0)的形式，所以此题必须先写

出函数解析式后解答.

(1)因为：三角形面积=1/2底x高即：10=ah/2,则：a=20/h所以不

符合一次函数与正比例函数的关系，非这两类函数.

(2)L=2b+16,L是b的一次函数.

(3)y=150—5x,y是x的一次函数.

(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数.

实例分析

1.一辆拖拉机的油箱中有油25升，已知拖拉机每小时耗油5升，写出

乘1油量y(升)与耗油时间x(小时)之间的函数关系

分析油箱里原有的汽油25升，每小时耗油5升，剩油量y随耗油时间

x改变而改变，根据题意：

y=25—5x

2.在抗震救灾活动中，小明为了捐助灾区的一名同学，现已经存款200

元，他计划今后每月存款10元，试写出存款总数y（元）随时间x（月）变化而

改变的函数关系.并求出两年后小明将捐助那名同学多少钱？

分析满足一次函数关系：y=200+10x存款两年后，即x=24代人函数关

系中，得:y=200+10x24=440,小明将捐助440元.

3.已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米.某人骑自行车

以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地.设此人骑行时间为

x（时），离B地距离为y（千米）.

（1）当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范

围.

（2）当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值

范围.

分析（1）当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距

离与某人所走的路程的差.

，~4

A-------------B--------C

48千米

AB=3O千米

(2)当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B

两地的距离的差.

___________

A----------B士---------C

45=30千米…BC=48千米

解：(l)y=30-12x(0<x<2.5).

(2)y=12x-30(2.5<x<6.5).

4.小红去某超市购物，被一块醒目的牌子吸引，上面说购买茶壶、茶杯

可以优惠，并有两种优惠方法：(1)买一送一(即买一只茶壶送一只茶杯)；(2)

打9折(即按购买总价的90%付款).其下还有前提条件是：购买茶壶3只以

上(茶壶20元/个，茶杯5元/个).小红不禁想到：这两种优惠办法有区别

吗?到底哪种更便宜呢？于是

小红便很自然地联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用

解析法将此问题解决.

小红在纸上写道：

设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x£N),则用第一种方法付款

y,=4x20+(x—4)x5=5x+60;

用第二种方法付款

y2=(20x4+5x)x90%=4.5x+72.

接着比较y।与的相对大小.

设d=yl-y2=5X+60-(4.5x+72)=0.5x-12.

然后便要进行讨论：

当d>0时，0.5x—12>0,即x>24;

当d=0时,x=24;

当d<0时，x<24.

综上所述，当所购茶杯多于24只时，方法⑵省钱；恰好购买24只时，

两种方法价格相等；购买只数在4~23之间时，方法(1)便宜.可见，利用一

元一次函数指导购既锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财。

习题(二)

1.填空

(1)一次函数与y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总

是过点.

(2)若一次函数y=kx+b的图形经过(0,1)和(-1,3)两点，则此函数的解

析式。

2.已知y是x的一次函数，当x=3时，y=l;x=2,时y=4.求y关于x

的函数解析式.

3.插秧机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油

箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式.

4.小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元，从现在

起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系

式.

5.一根蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度

y（厘米）与燃烧时间x（小时）的函数关系.

第三节反比例函数及其应用

前面我们已经学习了正比例函数和一次函数的内容，对这类函数有了初

步的认识和理解，本节将在此基础上讨论反比例函数的概念，反比例函数是

一种反映现实世界特定数量关系的数学模型，本节将采用大量的现实问题，

突出反比例函数与现实世界的密切的联系.

（1）某村有耕地346.2公顷，人口数量n,逐年发生变化，若该村人均占

有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数，写出关系式.

分析根据题意：346.2=mn则有：m=346.2/n

观察上面各式子的特点是：y=k+x的形式.其中k是不为零的常数.

定义3如果两个变量x,Y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k

*0）的形式，那么Y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零.

例题1若Y与x成反比例函数关系，且x=-3时，y=7,求Y与x的函

数关系式.

解：设丫=1<&由已知将x=-3,y=7代人式中

7=k+(-3).

有k=-21则表达式为.Y=-21+x

性质3反比例函数y=k/x(kw0)的图形是由两个分支组成的双曲

线.Y=k/x(k力0)的图形关于直角坐标系的原点成中心对称.

例题2已知反比例函数y=k/x(k片0)的图像经过点(4,3),求当x=6时

y的值•

解：由已知将点(4,3)代人:y=k/x则有：k=12得y=12/x

又将.X=6代入y=12/x解得：y=2为所求.

例题4已知反比例函数y=-8/x的图形经过点P(a+1,4),求a=?

解：由已知图形过点P(a+1,4)则有a=(-8)+(a+1)即得：a=-3

思考题

若某反比例函数的图像过点M(-2,1)则此反比例函数表达式是什么？

二、反比例函数的实际应用

反比例函数渗透在我们日常生活中的方方面面.下面我们将利用反比例

函数知识解决生活中常见的一些实际问题.

生活观察

日常生活中发生在我们身边的很多现象是否成反比例关系呢？

（1）煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数（是）.

（2）李叔叔从家到工厂，骑车的速度和所需要的时间（是）.

（3）小华做12道练习题，做完的与没做的题（否）.

（4）长方形面积一定，它的长和宽（是）.

（5）苹果的单价一定，买苹果的斤数和总价（否）.

（6）一堆货物一定，运出的和剩下的（否）.

实例分析

1.近视眼镜的度数了（度）与镜片焦距z（米）成反比例，已知400度近

视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数.y与镜片焦距x之间的函数关系

为.

分析由题意符合反比例函数关系y=100/x

2.已知从A城至UB城的距离为1200千米，某人驱车从A城出发到B

城旅游，请列出汽车的速度u（千米/小时）和时间t（小时）之间的关系式.

分析由题意：因为vt=l200,则t=1200/v

3.某地区决定建立一个地下容积为10000立方米的圆形粮食储存仓库

(1)储存室的底面积S(nf)与其深度d有怎么样的函数关系？

(2)若将底面积S定为500施工队施工时，应该向下挖掘多深？

分析⑴根据圆柱体的体积公式：sd=10000变形成s=10000/d,即储存

室的底面积s是其深度d的反比例函数s=10000/d

(2)把s=500代人s=10000/d解得d=20.

若将底面积定为500m2,施工队应向下挖掘20米深.

4.某学校要修建一个面积为28米x15米标准的篮球场，则篮球场的长

y(米)和宽x(米)的函数关系式是什么？

分析根据题意符合反比例函数关系y=28x15/x

5.去年京郊的粮食喜获大丰收，农民们若以每天20吨的速度往火车上

装载粮食运往外省市，需要3天时间装载完毕，问：

(1)火车到达目的地后开始卸货，卸货速度v(吨/天)与卸货时间t(天)

之间有怎么样的函数关系.

(2)若突然遇到天气变化，需要火车上的粮食不能超过2天卸完，需要每

天卸货多少吨？

分析根据装货速度X装货时间=货物总量，可以求得火车装载货物的总

量.再根据卸货速度=货物总量+卸货时间，得到U与t关系式.

（1）设火车上的粮食总量为k,则是k=20x3=60（吨），卸货速度

v=60/t

（2）t=2代人v=60/t式中，得v=30.

从结果看：若2天卸完粮食每天需要卸载粮食30吨，若不超过2天卸

货完，每天至少要卸货30吨.

习题（三）

1.已知点（1,一2）在反比例函数y=k子x的图形上，贝"k=.

2.已知反比例函数y=k/x的图形经过点A（—3,一6）,则这个反比例函

数的解析式是.

3.反比例函数.Y=-2+x的图形位于第象限.

4.y=-士的图形叫,图形位于象限，在每一象限内，

x

当x增加时，则y;函数y=4/x图形在象限，在每个象限内

y15tx的减少而.

5.某工厂现有存煤20吨，如果平均每天烧煤z吨，共烧了y天，求y

与x之间的函数关系式.

6.已知一个长方体的体积是100立方厘米。，它的长是y厘米，宽是5

厘米，高是x厘米.

（1）写出用高表示长方体的函数式；

⑵当x=3厘米时，求y的值.

7.红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存

（1）入库所需时间t（天）与入库速度v（吨/天）的函数关系？

（2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快

可在几日内完成？

（3）粮库的职工连续工作了2天后，天气预报说在未来的几天很可能会下

雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任

务？

8.京沪高速公路全长约为1262千米，汽车沿京沪高速公路从上海驶往

北京，汽车行完全程所需的时间t（小时）与行驶的平均速度v（千米/小时）之

间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？

第二章方程、方程组与不等式在生产生活中的应用

在日常生活中我们经常会遇到这样的问题：

1.你负责给一个蓄水池蓄水，这个水池可蓄水40吨.现在已经存水16

吨以后每小时注水2吨，你如果能知道大约几小时后可注满水池，就可以充

分利用这段时间做其他事了.

2.你有10000元钱存到银行，年利率是3.6%,那么一年后你能得到

多少钱？

3.你买了一台计算机，销售人员告诉你使用2450小时后要回服务部检

修，能延长计算机寿命.现在你已使用了1700小时，预计每月再使用150

小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间，以便自己安

排时间，等等.类似这些问题在我们的身边时刻可见，这中间蕴含着丰富的

数学文化方程.

方程是含有未知数的等式.以前我们见过像2x=50,3x+l=4,5x=7-8这

样的简单方程.方程是应用很广泛的数学工具，它用等式形式把问题中未知

数与已知数的联系表示出来，从而分析各量之间的关系以便研究、解决实际

问题.

本章将通过对丰富多彩的生产、生活问题的研究，让你更进一步感受到

方程、方程组和不等式的作用，并学习利用它们解决问题的方法.

第一节生活、生产中的一元一次方程

一、生活中的一元一次方程

本节通过解决生产、生活中的实际问题，综合理解一元一次方程的建立

与求解；反过来，利用一元一次方程解决生产、生活中的实际问题.

二、一元一次方程的概念

例题1给一个蓄水池蓄水，这个水池可蓄水40吨.现在已经存水16

吨，以后每小时注水2吨，大约几小时后可注满水池？

你会用算术方法解决这个实际问题吗？不妨试试列算式.

如果设x小时后可注满水池，你能列出方程吗？

分析根据题目条件，我们不难发现，我们需要注入水吨，而经过

x小时后能注水吨.我们知道这二者间是等量关系，于是可列出方程

40—16=2x,

该方程中（40—16）的意义是,2x的意义是。

思考对于上面的问题，你还能列出其他方程吗?如果能，你依据的是哪个

相等关系？

例题2一台计算机已使用了1700小时，预计每月再使用150小时，

经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

解：设x个月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小

时，那么在x个月里这台计算机使用了150x小时.列方程：

1700+150x=2450.

定义1像上面这样，方程只含有一个未知数，未知数的次数是1,这

样的方程叫做一元一次方程.其中，未知数也称为未知元，通常用x、y、z

字母表示.以后我们将学习如何从方程中解出未知数，从而得到实际问题的

解.

定义2解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这

个值就是方程的解（或根）.

三、等式的性质

性质1等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立.如

若a=b,贝"a±c=b±c.

性质2等式两边同时乘以同一个数，或同时除以同一个不为0的数,

等式仍成立.如

若a=b,贝Iac=bc;

若a=b(f=#0),贝Ua+f=b+f

例题3利用等式的性质解下列方程：

(1)x+5=16(2)40=-4x(3)-3x—5=4.

分析解方程x+5=16,实际就是要使方程x+5=16转化为x=a(常数)的形

式，你有办法吗？

解：(1)式两边减5,得

x+5—5=16—5。

于是x=ll

(2)两边同除以一4,得40+(-4)=-4x-(-4)

于是x=-10

(3)两边同加5,得-3x-5+5=4+5

化简，得-3x=9

两边同除以一3,得x=-3

定义3一般地，从方程解出未知数的值后，要代人原方程检验，看这

个值能否使方程两边相等，这称为验根.

例如，将x=-10代入方程40=-4x的右边，得一4x(-10)=40,与方程

的左边相等，即x=-10使方程40=-4x成立，所以x=-10是方程40=-4x的

解.同理，将x=ll和x=-3分别代入(1)、(3)检验，可知它们也都是其对应

方程的解.

四、一元一次方程的解法

1、去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数

2、去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号

3、移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他的项移到方程的另

一边(移项要变号)

4、合并同类项：把方程化成ax=b(a*0)的形式

5、系数化1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a

解方程时，不一定按照自上而下的顺序，要根据方程的形式灵活安排求

解步骤。

例题4解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)

解：去括号2x-4-12x+3=9-9x

移项2x-12x+9x=9+4-3

合并同类项-x=10

系数化1x=-10

五、一元一次方程在生产、生活中的应用

结合生产中的实际问题，详细展示如何根据实际问题列一元一次方程，

如何进一步解一元一次方程.

例题5某农户三年共购买140吨化肥，去年购买数量是前年的2倍，

今年购买数量又是去年的2倍.前年该农户购买了多少吨化肥？

解：设前年购买化肥x吨.由题意可知：去年购买化肥2x吨，今年购买

化肥(2・2x)吨.根据问题中的相等关系，列得方程

x+2x+4x=140.

合并同类项,得7x=140.

再利用等式性质2,才巴x的系数化为1,可得

X=20.

所以，前年该农户购买了20吨化肥.

回顾本题列方程的过程，可以发现一个基本的相等关系：

总量=各部分分量之和.

例题6把一些苹果按户分给村民，如果每户分3筐，则剩余20筐；如

果每户分4筐，则还缺25筐.这个村有多少户村民？

解：设这个村有村民x户.每户分3筐，共3x筐，加上剩余的20筐，

这些苹果其(3x+20)筐；每户分4筐，共需要4x筐，减去缺的25筐，这些苹

果共(4x-25)筐.根据题目中的等量关系，列得方程

3x十20=4x-25.

利用等式的性质1,得

3x-4x=-25-20.

合并同类项，得-x=-45.

再利用等式性质2,把x的系数化为1,得x=45.

因此，该村有45户村民.

回顾本题列方程的过程，可以发现一个基本的相等关系：表示同一个量

的两个不同的式子相等.

上面方程的变形，相当于把原方程左边的20变为-20移到右边，把右

边的4x变为一4x移到左边.把某项从等式的一边移到另一边时有什么变化？

定义4像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

小结方程两边都含有未知数，设法将移到方程的一边,

移到方程的另一边.可以同时移动多项，但要注意改变符号.

例题7在信息时代，手机走入了千家万户.手机话费是我们应该了解

的问题.下面就根据两种移动电话计费方式讨论下列问题.

方式一：每月收月租费30元，此外根据累计通话时间按0.3元/分钟

加收通话费;

方式二：不收月租费，根据累计通话时间按0.4元/分钟收通话费.

（1）一个月内在本地通话200分钟和350分钟，按方式一需交费多少元?

按方式二呢？

（2）对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式收费一样多的情况吗?

解：⑴方式一：30+0.3x200=90（元）；30+0.3x350=135（元）.

方式二：0.4x200=80（元）；0.4x350=140（元）.

（2）设累计通话t分钟.按方式一要收费（30+0.3t）元，按方式二要收费

0.4t元.如果两种计费方式的收费一样，则

0.4t=30+0.3t.

移项，得0.4t-0.3t=30

合并同类项，得0.1t=30.

系数化为1,得t=300.

由上可知，如果一个月内通话300分钟，那么两种计费方式的收费相同.

同时，我们也不难发现，对用户来说，一个月内通话300分钟以下，采

用方式二

付费比较合适；而一个月内通话300分钟以上，则采用方式一付费比较

合适.我们可以根据我们使用手机的情况来选择计费方式.

例题8某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电

量减少2000度，全年用电15万度.这个工厂去年上半年每月平均用电多少

度？

解：设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电（X-2000）

度；上半年共用电6x度，下半年共用电6（X-2000）度.根据全年用电15

万度列方程，得

6x+6（x—2000）=150000.

去括号,得6x+6x-12000=150000.

然后，再通过移项、合并同类项、系数化为1,就可以解方程，得

6x+6x=150000+12000

12x=162000

X=13500.

因此，这个工厂去年上半年每月平均用电13500度.

小结方程两边含有括号时，首先利用分配律去掉括号.在去括号时注意

以下几点：

不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号，去括号时，若括号前是

括号的各项符号不变；若括号前是“一”，括号中的各项符号都变号且变为相

反.

例题9今年弟弟的年龄恰是哥哥年龄的1/2,而9年前，弟弟的年龄只

是哥哥年龄的1/5,问哥哥今年几岁？

解：设哥哥今年x岁，根据题意列方程

—x-9=—(x-9).

25

去分母，得

5x-90=2(x-9).

去括号，得

5x-90=2x-18.

移项，得

5x-2x=-18+90.

合并同类项，得

3x=72.

系数化为1,得*=24.

因此，哥哥今年24岁.

小结用一元一次方程分析解决实际问题的基本过程如下：

实际问题设未知数、列方程-数学问题(一元一次方程)求解方程一

数学问题的解检验一解决实际问题。

习题(一)

1.解下列方程

(1)6x-3x=9(2)2x-6=3x

(3)13x+x=-3+15x(4)3(x+4)=12

2.某乡改种玉米为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了20

%.今年人均收入比去年的1.5倍少1200元.则这个乡去年农民人均收入

多少元？

第二节生活、生产中的一元一次不等式

引言：在日常生产生活中，我们不但经常遇到像前一节所讨论的相等关

系的问题，还经常遇到很多不等关系的问题.人们常常把要比较的对象数量

化，再考虑它们的大小，这就是在研究不等式的关系.如同等式和方程是研

究相等关系的数学工具一样，不等式是研究不等关系的数学工具.研究的方

式类似前面的相等关系的讨论，也就是在研究许多实际问题时，人们经常要

分析其中的不等关系、列出相应的等式、并利用不等式求出某些数量的取值

范围来解决实际问题.接下来在本章中我们将深入讨论不等式与不等关系.

(―)一元一次不等式的概念

定义1用或号表示大小关系的式子叫做不等式.

像2>1,2x(―4X1x(-4),2z>30,n+2乎n—2等等表示不等关系的

式子也是不等式.

定义2只含一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0。这样

的不等式叫一元一次不等式。

像2x<10,3x+l>5等等表示的不等式是一元一次不等式，其标准形式

为：ax+b<0^ax+b>0（a=A0）

定义3使不等式成立的未知数的值叫不等式的解。

定义4求不等式的解的过程叫做解不等式.

（二）不等式的性质

我们在本章第一节中讨论过等式的性质，等式两边同时加（或减）同一个

数（或式子），同时乘以同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍成

立.这成为我们后来解方程的重要依据.那么，不等式是否也有类似的性质

呢?如果有，那么能否帮助我们更有效地解不等式呢?我们先来讨论不等式的

性质.

性质1不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不

变.如若a>b,则a土c>b±c.

性质2不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变.如

若a>b,c>0,则ac>bc（或a+c>b+c）.

性质3不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变.如

若a>b,c<o,贝1Jac<bc（或a+c<b+c）.

（三）一元一次不等式的解法

1、去分母：在不等式两边都乘各分母的最小公倍数

2、去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号

3、移项：把含有未知数的项都移到不等式的一边，其他的项移到不等式

的另一边(移项要变号)。

4、合并同类项：把不等式化成ax〉b或ax<b(a^O)的形式

5、系数化1：在不等式两边都除以未知数的系数，得到不等式的解X〉

b/a或x<b/a

例题1解不等式(2+x)+2>(2x-1)+3

解：去分母，得3(2+x)>2(2x-1)

去括号，得6+3x>4x-2

移项，得3x-4x>-2-6

合并同类项，得-x>-8

系数化1,得x<8

(四)一元一次不等式在生产、生活中的应用

例题2甲乙两个超市以同样的价格出售同样的商品，为吸引顾客，各

自推出不同的促销优惠活动方案：在甲超市累计购物100元商品后，再购买

的商品按原价的90%收费；在乙超市累计购物50元商品后，再购买的商品按

原价的95%收费，你怎样选择超市购物，才能获得更大优惠？

解根据题目条件，我们知道甲、乙两超市优惠方案的起点分别为购物

款达100元、50元后.由此可知，若设累计购物款为X元.

(1)如果x450,即累计购买商品不超过50元，那么在甲、乙两个超市

购物花费会一样，都是实际的累计购物款x元，均没有得到优惠.

(2)如果50<x4100,即累计购买商品超过50元而不超过100元，那么

在甲超市花费是实际的累计购物款x元，没有得到优惠.而在乙超市购物后，

花费为50+0.95(X—50)元，超过50元的那部分购物款得到了优惠；那么，

在甲、乙两个超市购物花费相差为

x—[50+0.95(x—50)]=0.05x—2.5,

由于50<x4100,因此0.05x—2.5>0,这说明当累计购买商品超过50

元而不超过100元时，在乙超市购物得到了部分优惠，花钱少.

(3)如果x>100,即累计购买商品超过100元，那么在甲超市累计购物

花费为100+0.9(x—100),在乙超市累计购物花费为

50+0.95(x—50)

那么，在甲、乙两个超市购物花费相差为

[100+0.9(x—100)]—[50+0.95(x—50)]

化简，得一0.05x+7.5,假设一0.05x+7.5<0,解得x>150,这说

明，累计购买商品超过150元，在甲超市购物花费会小；反之，当100<x〈150

时，-0.05x+7.5>0,在乙超市购物花费会小.

综合以上解我们知道，作为顾客，你若累计购物不超过50元，去甲、乙

两个超市均不会得到优惠；若累计物购超过50元而不超过150元，去乙超市

购物花费会小；若累计购物超过150元，就去甲超市购物花费会小.

例题3某采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米

外的安全区域.导火线燃烧速度是1厘米/秒，工人转移速度是5米/秒，

导火线要大于多少米？

解：(1)分析实际问题.

根据题义，实际问题的要求是：要使导火线燃烧坚持到工人转移到400

米外的安全区域时再引起爆破.换句话，就是导火线燃烧的时间一定要大于

工人转移到400米外的安全区域所需时间.由此我们找到了解决实际问题的

不等关系.

(2)利用不等式，把实际问题转化为数学问题.

设导火线的长度为x米，则导火线燃烧的时间为x/0.01秒；工人转移

到400米外的安全区域所需时间为400/5秒；列出不等式为

x/0.01>400/5

这样就把实际问题转化为解不等式这个数学问题了.

(3)求解数学问题.

解不等式x/0.01>400/5

得x>0.8.

求出了数学问题的解：x>0.8.

（4）回归实际问题.

当导火线的长度大于0.8米时，工人就能在爆破前转移到400米外的安

全区域.

注意：正确选择实际问题中各条件间的关系是解决问题的关键.

从上面可以看出，不等式能够刻画实际问题中的不等关系，从而把实

际问题转化为数学问题解决，通过解不等式可以获得实际问题的解答.这与

我们讨论的一元一次方程在实际问题中的作用类似，都是数学建模思想的运

用.

小结用一元一次不等式分析解决实际问题的基本过程如下：

实际问题（设未知数、列不等式）-数学问题（一元一次不等式）茎

解不等式一数学问题的解一解决实际问题

第三节生活、生产中的二元一次方程组

一、生活中的二元一次方程组

在前面两节中，我们已经充分认识了生产、生活中的一些简单相等关系

和不等关系的问题，并能通过一元一次方程和一元一次不等式来表示并解决

这些问题.但同时我们也在生产、生活中发现，有很多的、更复杂的相等关

系和不等关系的问题用一元一次方程一元一次不等式解决很难.接下来，我

们就通过解决生产、生活中较复杂的相等关系问题，综合理解二元一