2022年安徽省明光市中考数学总复习：二次函数

2022年安徽省明光市中考数学总复习：二次函数

1.如图，在平面直角坐标系X。)，中，抛物线y=o?+fec+c的图象与X轴交于A(-3,0)、

B(2,0)两点，与)，轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E(〃i,2)是直线AC上方的抛物线上一点，连接E4、EB、EC,EB与y轴交于

D.

①点F是x轴上一动点，连接EF,当以A、E、F为顶点的三角形与△BOO相似时，求

出线段EF的长；

②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H,若/GCH=N

【解答】解：(1)将A(-3,0)、8(2,0)、C(0,3)代入得,

0=9a—3b+c

0=4Q+2b+c,

3=c

解得:j,

(c=3

・•・抛物线的解析式为：y=-1x2-1x+3；

(2)①将E(〃z,2)代入y=——1的中，

得一47n2-5n+3=2,解得机=-2或1(舍去)，

：.E(-2,2),

VA(-3,0)、B(2,0),

：.AB=5,AE=y[5fBE=2瓜

211

：.AB=AE+BEf

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：.NAEB=NDOB=90°,

NEAB+NEBA=ZODB+/EBA=90°,

：.ZEAB=^ZODB,

(I)当△尸EAS/XB。。时，

.'.NAEF=/OOB=90°,

尸与8点重合，

:.EF=BE=2后

(II)当时,

图2

AZAFE=ZDOB=90a,

YE(-2,2),

:.EF=2,

故：EF的长为2百或2；

②点”的坐标为(-1,y)或(-竽，|),

(I)过点H作HNLCO于点N,过点G作GMLHN于点M,

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:./GMN=/CNH=90°,

又NG”C=90°,

AZCHN+ZGHM=ZMGH+ZGHM=90°,

：.4CHN=NMGH,

■:HN工CO,NCOP=90°,

：.HN//AB,

・・・ZCHN=ZAPE=NMGH,

■:E(-2,2),C(0,3),

・,・直线CE的解析式为产%+3,

：.P(-6,0),

:.EP=EB=2后

：.NAPE=NEBA,

■:/GCH=/EBA,

：.ZGCH=ZAPE=ZEBA=ZCHN=/MGH,

:・GC〃PB,

又C(0,3),

•'G点的纵坐标为3,代入y=-：/-%+3中，得：x=-l或0(舍去),

:・MN=1,

VZAEB=90°,AE=®BE=2底

4/71

tanZEBA=tanZCHN=tanZMGH=第=会

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设CN=MG=m,则HN=2〃?,MH=

JMH+HN=2m+

解得，加=|,

・・・H点的横坐标为-专代入产上+3,得：尸卷,

4

-

5

（【I）过点”作过点C作于点M过点G作于点M,

：.ZNCH=ZAPE,

由（I）知：NAPE=NEBA,则NNCH=NEBA,

■:NGMN=/CNH=90°,

又/GHC=90°,

・・・ZHCN+ZNHC=/MHG+/NHC=9U0,

:・/HCN=/MHG,

■:/GCH=/EBA,

：.ZGCH=ZEBA=ZHCN=NMHG,

i

由（I）知：tanZEBA=1,

则tanNM"G==tanZGC/7=翳=*，

设MG=m则

■:/NCH=NMHG,NN=NM,

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:.△HMGs/\CNH,

.MHMGHG1

"CN~NH~CH~2

：.NH=2a,CN=4a,又C(0,3),

AG(-3a,3-4a),代入)，=-；/一3+3中，得，。=分或0(舍去)，

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・・CN=-g-，

.，.H点的横坐标为-等代入尸方+3,得，尸金

点H的坐标为(-鲁,5).

综合以上可得点H的坐标为(一击Y)或(一等，|).

2.如图，抛物线y=af+，x+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.已

知点D的坐标为(-1,0),点尸为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP,PC、CD.

(1)求这个抛物线的表达式.

(2)当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标.

(3)①点M在平面内，当是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足

条件的所有点M的坐标；

②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当NMNC=45。时，直接写出满足条件的所

有点N的坐标.

【解答】解：(1)•••抛物线)，=/+法+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),

；♦抛物线的表达式为：y—a(x+3)(x-1)—a(x2+2x-3)—ax2+2ax-3a,

9

即-3a=2,解得：a——可，

故抛物线的表达式为：y=—1?-%+2；

(2)连接OP,设点尸(x>—3+2),

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图1

,/抛物线尸-|/一|r+2交)，轴于点C,

.•.点C(0,2),

111

•:S=S四边形-S^ODC=22xOCX|xp|-2XCOX00=4,

-1?o411

X3X(-5•厂—亍丫+2)+Q,x2X(-x)一方X1X2=4,

•*•%]=-1,X2=~2,

8

.•.点P(-1,一)或(-2,2)；

3

(3)①如图2,若点M在CD左侧，连接AM,

VZA/DC=90o,

：.ZMDA+ZCDO=90°,且NCDO+NDCO=90°,

：.ZMDA=ZDC0,且AD=C0=2,MD=CD,

：./\MAD^/\DOC(SAS)

：.AM=D0,ZMAD=ZDOC=90°,

.•.点M坐标(-3,1),

若点M在CQ右侧，同理可求点Af(1,-1)；

②如图3,

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图3：

•抛物线的表达式为：)，=一|/一*+2=-|(x+1)2+|；

二对称轴为：直线x=-l,

...点。在对称轴上，

"：MD=CD=M'D,NMQC=NATQC=90°,

.,.点。是MAf的中点，

：NMCC=/AfC£)=45°,

.,.ZMCAf=90°,

...点例，点C,点根在以MM为直径的圆上，

当点N在以1为直径的圆上时，/MWC=/MMC=45°,符合题意,

•.,点C(0,2),点£>(-1,0)

：.DC=V5,

:.DN=DN=V5,且点N在抛物线对称轴上，

.•.点N(-1,V5),点M(-1,-V5)

延长MC交对称轴与Ml

•.,点M(1,-1),点C(0,2),

直线MC解析式为：y=-3x+2,

当x=-1时，y=5,

.•.点N'的坐标(-1,5),

:点M的坐标(-1,5),点加'(1,-1),点C(0,2),

：.N'C=710=M'C,且NMCAf=90°,

NMM'C=45°

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...点M（-1,5）符合题意，

综上所述：点N的坐标为：（-1,V5）或（-1,-V5）或（-1,5）.

3.如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于8、C两点，抛物线y=-/+6x+c经过8、

C两点，与x轴另一交点为4,顶点为。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E,使△££><?的周长最小，求符合条件的E点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得NAP8=N0CB?若存在，求出「解的

值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点从C的坐标分

别为（3,0）、（0,3）,

将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：

「9产+c=0,解得：（b=2

lc=3lc=3

故函数的表达式为：y=-，+2x+3,

（2）如图1,作点C关于x轴的对称点C',连接C。'交x轴于