2022年高考数学考前必做题及答案

2022年高考数学考前必做题

1.如图，四棱锥P-ABCQ,外J_平面ABCQ,底面ABCD是直角梯形，BC±AB,AB=2BC

=4C£)=4.

(1)证明：平面B4C_L平面P8D：

(2)若%=2,求直线BO与平面PBC成角正弦值.

【分析】(1)由线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，即可得证；

(2)设D到平面PBC的距离为h,由等积法，结合三角形的面积公式和体积的公式可

得儿再由线面角的正弦函数定义，可得所求值.

【解答】解：(1)证明：由以_L平面A8cD,可得

rn1

在直角三角形BCD中，lan/CBO=浣=*,

rn1

在直角三角形BC£>中，tan/CBO=/=分

R4

在直角三角形BCA中，tan/BC4=筮=2,

所以tan/C8£»lan/BCA=l,可得/CB£>+/BC4=90°,

即有BD1AC,

而限AAC=4,所以8OL平面附C,

而BDu平面PBD,所以平面B4C_L平面PBQ；

(2)设。到平面PBC的距离为/?,

由BC_LAB,AB为PB在底面ABC。上的射影，可得BC_LP8,

则S&PBC=刎C・PB=1x2xV22+42=2遥，

又S&DBC=^BC・BD=|X2X1=1,

由VD-PBC=VP-BCD,

1i

可得,hS八PBC=-^PA'S^DBC,

3J

.2x175

R即II仁南=亏'

所以直线BO与平面P8C成角正弦值为工===；.

BD5V55

【点评】本题考查面面垂直的判定和线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能

力，属于中档题.

2.如图，在三棱锥A-BCZ）中，△BCD与△ABC是全等的等边三角形，且平面48（7_1平

面DBC.

（1）证明：AD±BC；

（2）求AC与平面AB。所成角的正弦值.

【分析】（1）取BC的中点0,连接A。，DO,由等边三角形的性质和线面垂直的判定

和性质，即可得证；

（2）以。为坐标原点，OD,0C,&的方向分别为x轴，y轴和z轴的正方向建立空间

直角坐标系。-孙z,由向量法求得平面A3。的法向量，结合向量数量积的夹角公式，即

可得到所求值.

【解答】解：（1）取BC的中点。，连接A。，DO,

因为三角形ABC为等边三角形，所以ACBC,

同理可得，在△BCD中，AD±BC,

又Aonoo=。，所以8C_L平面A。。，

因为AOu平面400,所以AO_LBC；

（2）由（1）可得，OA,OD,0c两两垂直，

以0为坐标原点，OD,0C,&的方向分别为无轴，y轴和z轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系。-冷，z,

设△A8C的边长为1,

,V3V311

则A（0,0,—）,D（一,0,0）,B（0,-4，0）,C（0,0）,

2222

"

1鄂T1T

71/O✓OV3

=<-(-(22

\O,2X2X

设平面ABO的法向量为n=(x,y,z),

则”=。，即夕/°，

^n-AD=0悍％一枭=o

令z=l,则x=Ly=—\/3,则《=(1,—V3,1),

设AC与平面A3。所成角为。，

TTV3V3

,r_n-ACF7Jr

则risinO=|cosVn,4C>|=|--|=|?』=胃

\n\-\AC\lxV5b

V15

所以AC与平面ABD所成角的正弦值为丁.

【点评】本题考查空间中线线、线面和面面垂直的判定和性质，以及线面角的求法，考

查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

3.如图，在四棱锥P-ABC。中，出J_平面48c底面A8CC是直角梯形，其中4Z)〃BC,

11

ABVAD,AB=AD=^BC=2,以=4,E为棱BC上的点，JiBE=^BC.

L4

(1)若尸为棱PD的中点，求证：EF〃平面附B；

(2)(i)求证。E_L平面以C；

(ii)设。为棱CP上的点(不与C,P重合)，且直线QE与平面用C所成角的正弦值

为当，求穿的值.

5CP

【分析】(1)取以的中点G,连接GF,GB,由平行四边形的判定和性质，以及线面平

行的判定定理，即可得证；

(2)(i)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系.由向量法，结合向量垂直的性质，以及线面垂直的判定定理可得证明；

(ii)由线面垂直可得而可作为平面B4C的法向量，求得益的坐标，由向量的夹角公

式，结合已知条件，解方程可得所求值.

【解答】解：(1)取附的中点G,连接GF,GB,FG=1,8G=1,

FG//AD,AD//BC,所以FG〃BE,

所以四边形BEFG为平行四边形，

所以EF//BG,又ERt平面PAB,BGu平面PAB,

所以EF〃平面PAB-.

(2)(i)因为用_L平面ABC。，ABu平面A8CDA£>u平面ABCQ,

所以以PA1.AD,

又因为则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),

E(2,1,0),

所以法=(2,-1,0),AC=(2,4,0),AP=(0,0,4),

因为法=2X2-1X4+O=O,DE-AP=0,所以。E_L4C,DELAP,

由APA4C=A,4Pu平面B4C,ACu平面弘C,

所以DE_L平面PAC.

(ii)由(i)可知平面PAC,

DE=（2,-1,0）可作为平面以C的法向量，

设=入（0＜入＜1）,BPCQ=XCP=（-2A,-4入，4人），

所以。（2-2入，4-4A,4人），即有d=（2入，4入-3,-4入），

V5

因