2022年高考数学热身题

2022年高考数学考前热身题

1.如图，四棱锥P-A8CD中，底面ABC。为直角梯形,》4,48,48〃。。,南，平面48。9,

PA=AB=2AD=2DC,E、尸分别为PB与PO的中点.

（1）证明：EF〃平面ABCO；

（2）求直线以与平面P8C所成角的正切值.

【分析】（1）连接。B,可得EF〃BD,即可证明EF/7平面ABC。；

（2）利用以一PBC=VP-ABC，可得点A到平面PBC的距离，即可求解.

【解答】解：（1）证明，连接。8,

■:E、尸分别为PB与PO的中点，J.EF//BD,

又EFC平面ABCD,O8u平面ABCD,

...EF〃平面ABCZ）；

（2）设B4=f,直线用与平面尸8c所成角为。，点A到平面PBC的距离为〃,

VA-PBC=VP-ABC<

1

平面ABCD,：.Vp-ABC=^PA-SXABC，

可得h=竽，

sin0=—苧，cos0=竽，贝！Itan。—竽.

/A

【点评】本题考查了空间直线与平面平行的判定，考查了线面角，属于中档题.

2.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=l,PB=PC=相,E为

阳的中点，。为AC的中点，尸为棱PB上靠近B的三等分点.

(1)证明：平面CEF.

(2)若南，AC,求二面角E-CF-8的正弦值.

【分析】(1)连接PO且交CE于点T,连接尸T.由题意可知口〃BO,即可证明

平面CEF.

(2)易得AB,AC,4P两两垂直.故以A为原点，AB,AC,G为x轴，y轴，z轴的

正半轴建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量即可.

【解答】解：(1)证明：连接且交CE于点7,连接尸T.

由题意可知，PD,CE为中线，所以T为重心，胃=裳=2,

\FB\\TD\1

所以FT//BD,FTu平面CEF,仁平面CEF,

所以8。〃平面CEF.

(2)因为以_L4C,AC=1,PC=V5,所以以=2

又因为A8=4C,PB=PC,所以必2+AB2=PB2即必,As

所以AB,AC,AP两两垂直.故以4为原点，AB,AC,G为x轴，y轴，z轴的正半轴

建立空间直角坐标系，由图可知，E(0,0,I),C(0,1,0),F(|,0,|),B(1,0,

0),

所以EC=(0,1,-1),CF=［，-1，叁，尸8=(京，0,-1)

设平面CEF的法向量为元=(x,y,z)

T

-

,一Fy-z-O

如•-

则有

艮2

■21,

T-->=-0-X-y+-Z=Or

m♦clF33

T

所以(1

%=±,2,,

设平面CFB的法向量为'=(x,y,z)

(->->(22

m"七H2,CF=0nn手*一'+42=n°人c,

则旬:即2可令x=y=2,z=l

ln2-FB=0x—gz=0

所以信=(2,2,1),

5J.nn,।1x24-2x2+2x1,8

因1Tl为|cosOi「电＞|二|」v52匚1下70°二百

MlI“21Jl2+22+22xj22+22+l2

所以sinVn1＞电＞=J1—/尸—w7,

y/17

即二面角E-CF-B的正弦值为——.

9

【点评】本题考查了空间线面平行的判定，考查了二面角的求解，考查了运算能力，属

于中档题.

3.如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和由个圆柱拼接而成，点G为弧前的中点，且C、

4

E、。、G四点共面.

(1)证明：平面平面BCG；

(2)若AO=AF=2,求平面8。尸与平面A8G所成锐二面角的余弦值.

【分析】(1)连接CE后，根据面面垂直的判定即可求证；

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出面80户与面ABG的法向量即可进

行求解.

【解答】解：(1)证明：如图，连接CE,

1

因为几何体是由等高的半个圆柱和一个圆柱拼接而成，

4

所以NEC£»=N£»CG=45°,ZECG=90°,CE±CG,

因为BC〃EF,BC=EF,

所以四边形BCE尸为平行四边形，BF//EC,BFLCG,

因为8cl.平面ABF,8Fu平面AB尸，所以BC_LBF,

因为BCCCG=C,所以B产，平面BCG,

因为因为BFu平面BFD,所以平面平面BCG.

(2)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)、B(0,2,0)、F(2,0,0)、D(0,0,力、G(-L1,2),

AB=(0,2,0),AG=(-1,1,2),FB=(-2,2,0),丽=(-2,0,2),

设平面BDF的一个法向量为蔡=(x,y,z),

则打”=0,整理得｛二令z=i,则『=(1,1,1),

Ln•FD=0Zx+Zz-U

设平面ABG的一个法向量为?n=(x\z'),

则7,竺=°,整理得L；：y，+2z，=(r令z则六=(2,