2022年高考艺术生专用数学讲义-第30讲递推公式求通项（学生版）

第30讲递推公式求通项

1、s”法(项与和互化求通项)

E〃=1

a=<

nn>2

注意：绝大部分题目当5“一，1(〃22)时，用/替换了，有时候解题需逆向，把题目中的，用

S,—S,i(〃N2)替换进题目中。

2、累加法

累加法(叠加法)

若数列｛〃,,｝满足-%=/(«)(〃eN*),则称数列｛册｝为“变差数列"，求变差数列｛*｝的通项时，利

用恒等式4,=6+(电—4)+(。3—%)+…+(。“一。”一1)=4+八1)+/(2)+/(3)+-+/5-1)(〃22)求

通项公式的方法称为累加法。

具体步骤：

a2-ax=/(I)

a3-a2=f⑵

%-％=/(3)

将上述〃-1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：

-

(%-％)+(。3-％)+(4-----l-(a„«n_i)=/(l)+/(2)+/(3)d----Ff(n-1)

整理得：a“-4=/(1)+/(2)+/(3)+..•+/(«-!)

3、累乘法

累乘法(叠乘法)

若数列｛%｝满足&a=/(〃)5eN*),则称数列｛册｝为“变比数列"，求变比数列的通项时，利用

an

aa

n~\---------"=4•/⑴•/⑵・f(3)…-1)(〃22)求通项公式的方法称为累乘法。

a\a2a3an-\

具体步骤：

生=八1)

冬=/(2)

%

/(3)

%

将上述〃-1个式子相乘(左边乘左边，右边乘右边)得：

丝•幺•幺••…-^-=/(1)-f(2)f(3)••…f(n-l)

aaa

\2。3n-\

整理得：&=/1⑴力2)/(3)…-f(n-l)

%

4、构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

形如。〃+1=履”+〃(k,p为常数,即二0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为

a„+m=k(a„+m)(其中：〃?=/-),由此构造出新的等比数列｛%+机｝,先求出｛斯+机｝的通项，从而

+iK-\

求出数列｛«„｝的通项公式。

类型2：用“同除法”构造等差数列

(1)形如即+1=qa“+pW'T(”eN*),可通过两边同除/㈤，将它转化为肃=兴+P,从而构造数列

学］为等差数列，先求出停｝的通项，便可求得｛/｝的通项公式。

(2)形如%-4用=姐,+4/X0),的数列，可通过两边同除以为+逐“，变形为」——^-=-%的形式，

。"+14

从而构造出新的等差数列先求出的通项，便可求得｛2｝的通项公式

5、倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如4用(。，4为常数，Pq钝)的数列，通过两边取“倒”，变形为一匚=,+"，

pa,,+qa„+ia„q

即：-一一-=~,从而构造出新的等差数列先求出［-^］的通项，即可求得.

a

%+inq［a"［a,,J

类型2：形如a,+i=——(P，q为常数，＜7*0,女。0)的数列，通过两边取“倒”，变

pan+q

形为」-=?」-+，，可通过换元：bn=—,化简为：％（此类型符合专题四类型1：用

ka.kankk

“待定系数法”构造等比数列：形如%+1=履〃+〃（k,p为常数,kp#Q）的数列，可用“待定系数法”

将原等式变形为%+i+m=%（册+M（其中：加=六），由此构造出新的等比数列｛%+谓，先求出｛%+/

的通项，从而求出数列储“｝的通项公式。）

题型一：已知S”和q关系求通项

1.（2020•阜康市第一中学）已知数列｛4｝的前〃项和为（〃eN*）.

求数列｛4｝的通项公式；

2.（2021•全国高二专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为5,,,且S“=2a“+1.

（1）求数列｛4｝的通项公式4；

（2）若S.=-127,求”.

3.（2022•浙江高三专题练习）已知数歹心4｝的前八项和为S“=2”2-3O”.

（1）当5,取最小值时，求〃的值；

（2）求出的通项公式.

题型二：累加法

1.（2022•浙江高三专题练习）（1）已知数列｛““｝满足q=-1,%+]=6,+’=；〃eN*，求通项公

式4；

（2）设数列｛%｝中，卬=1,>2）,求通项公式明.

2.（2020•哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知数列｛q｝中，4=1,且〃>1时，a„-an_,=2n,求知.

3.（2019•安徽高三月考（理））己知数列｛4｝满足q=3,3«=0n>2.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）设a*，求数列｛4｝的前〃项和s..

题型三：累乘法

77+2

1.（2021•全国高二课时练习）己知数列｛4｝中，q=1,前〃项和"=一§一勺

a

⑴求。2，’3；

（2）求｛4｝的通项公式.

2.（2021,全国高二专题练习）设｛凡｝是首项为1的正项数列，且（〃+2）*2-〃卬2+2””“=0（〃€”），

求通项公式4,.

题型四：构造法

1.（2021•全国高二专题练习）数列｛q｝中，4“”=24+1,4=1,求数列｛4｝的通项公式.

2.（2022•全国高三专题练习）在数列｛q