2022年高考艺术生专用数学讲义-第48讲正态分布（学生版）

第48讲正态分布

i.正态曲线及其性质

i.正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

](A”：

函数9(x)=-^OexeH，其中实数〃,b(b>0)为参数，我们称夕”(x)的图象为正态分布密

12兀b

度曲线，简称正态曲线.

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线％=〃对称；

③曲线在%=〃处达到峰值；

72兀b

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当b一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移，如图中所示；

⑥当〃一定时，曲线的形状由。确定，。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；。越小.曲线越“瘦

高”.总体分布越集中，如图乙所示：

一般地,如果对于任何实数a,。(a<b),随机变量X满足P(a<XWb)=力:则称随机变量X服

从正态分布(normaldistribution).正态分布完全由参数〃和。确定，因此正态分布常记作N(〃,cr2).如

果随机变量X服从正态分布，则记为X〜N(R,『).

3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①—b<X<〃+b)=0.6826

②P(〃—2b<X<〃+2b)=0.9544

③—3cr<X<〃+3cr)=0.9974

4.3cr原则

通常服从正态分布N(〃Q2)的随机变量x只取(〃-3b,〃+3b)之间的值.

1.（2021•全国高二学业考试）设随机变量4~N（〃,4）,函数“力=犬+2》-4没有零点的概率是0.5,则

尸（1<"3）=（）

附：若€~N（〃,cr2）,则P（〃一b4g4〃+b）a0.683,P（//-2o-<^</7+2cr）®0.954.

A.0.1587B.0.1355C.0.2718D.0.3413

2.（2021-全国高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：

微米）服从正态分布N（l,32）,从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间［4,7］内的概率为

（）

（注：若随机变量J服从正态分布则+o•卜68.3%,

P（/7-2CT<^<//+2<T）»95.4%）

A.31.7%B.27.18%

C.13.55%D.4.5%

3.（2021•全国高二课时练习）某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径力（单位：mm）服从正态分

布X~N（1OO,1）.现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,

101.1,98.8,100.4,100.0.X~有尸（〃-2。W朕〃+2。）比0.954,尸（〃-3。W启〃+3。）

^0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质

检员认为设备需检修的概率为（）

"44„4八3„41

A.—B.-C.—D.—

455545

4.（2021•全国高二课时练习）已知随机变量X服从正态分布即X〜N（〃,/），且"（〃一。〈后〃+。）

^0.6826,若随机变量hA1（5,1）,则户0>6）打（）

A.0.3413B.0.3174

C.0.1587D.0.1586

5.（2021•全国高二课时练习）随机变量自服从正态分布Ml,4）,若P（2<4<3）=a,则

P（^<-1）+P（l<^<2）=（）

A.---B.—aC.〃+0.003tzD.—卜a

222

6.（2021•全国高二课时练习）已知随机变量X服从正态分布N（4,4）,且P（x>I）=0.5,则实数。的值为

（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2021•全国高二课时练习）某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由

于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（）

A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小

C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙总体的平均数不相同

8.（2021♦山东广饶一中高三月考）设随机变量J~N（O,1）,已知①（―1.96）=0.025,则P（阂<1.96）=（）

A.0.95B.0.05C.0.975D.0.425

9.（2021•全国高二单元测试）设hMm,这），Y〜石），这两个正态曲线如图所示，下列说法

A.PgBj,Pg心

B.

C.若K0,则尸（朕。〈一（长力

D.若t<0,则t）W尸（万力

10.（2021•河南高二期末（理））某袋装加碘食盐的质量X（单位：克）服从正态分布N（500,4）,某超市

在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质量在（498,504］内的袋数约为（）

附：若X~,则P（〃一b<X4〃+b）=0.6826,尸（〃-2b<X4〃+2。）=0.9544.

A.82B.80C.84D.86

11.（2021•济南市历城第二中学高三开学考试）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困

境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养

老机构数量对照表：

年份20162017201820192020

年份代码(X)12345

新建社区养老机构(y)1215202528

(1)根据上表数据可知，>与％之间存在线性相关关系，用最小二乘法求y关于x的经验回归方程y=bx+a,

(2)若该地参与社区养老的老人，他们的年龄X近似服从正态分布N(70,9),其中年龄Xe(76,79］的有321人，

试估计该地参与社区养老的老人有多少人？

,.如-初”一刃A

参考公式：线性回归方程a=bx+<2,--------•，a=y-hx.

2(七一叶

i=l

参考数据：P(A-2<r<X<//+2cr)=0.9545,P(〃-3cr4XW〃+3cr)=0.9973

12.(2021•全国高二课时练习)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布

/V(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.

(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？

(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

附正态分布3。概率表：

尸(〃一。(朕〃+0.6827,P(〃一2W〃+2。)、0.9545,P(〃一3。〈才W。+3。)Q0.9973

13.(2021•全国高二课时练习)已知随机变量X~N(〃02),且其正态曲线在(-8,80)上是增函数，在

(80,+8)上为减函数，且P(72<X488)=0.6826.

(1)求参数〃，。的值.

⑵求尸(64<X472).

附：若X〜,则尸(〃-cr<X4〃+cr)=0.6826,P(/i-2a<X</.i+2cr)=0.9544.

14.(2021•重庆市第七中学校高三月考)为了解大学生每年旅游消费支出(单位：百元)的情况，相关部

门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数22504502908

(1)根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布N(51,15?).若该所大学共有学生

65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

(2)已知样本数据中旅游费用支出在［80,100］范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3

名学生回访，记选出的男生人数为y.求y的分布列与数学期望.

附：若X~N出吟,则尸(〃一cr<X<〃+cr)=0.6826,尸(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃一3b<X<〃+3。)=0.9973.

15.（2021•黑龙江哈尔滨三中高二月考）某精密仪器生产车间每天生产”