2022-2023学年广东省某实验学校数学九上期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列语句中，正确的是（）

①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

④圆内接平行四边形一定是矩形.

A.①②B.②③C.②④D.④

2.下列方程中，是一元二次方程的是（）

,1

A.2x+y=1B.x2+3xy=6C.x+—=4D.必=3*-2

X

3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分

的概率是（）

.J）

BC

1113

A.-B.-C.一D.—

54310

4.关于x的一元二次方程#-4x+l=0有实数根，则整数,7的最大值是（）

A.1B.-4C.3D.4

5.下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆;③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直

于弦，并且平分弦所对的两条弧；其中真命题共有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.如图，在平行四边形ABCD中，点M为AD边上一点，且AM=2DM,连接CM,对角线BD与CM相交于点N,若ACDN

的面积等于3,则四边形ABNM的面积为（）

夕¥口

A.8B.9C.11D.12

7.如图，已知。。的半径为13,弦AB长为24,则点。到AB的距离是（）

8.不等式组-，一八的解集在数轴上表示为（）

8-4%<0

9,若。：6=3：4,且a+Z?=14,则2。-匕的值是（）

C.20D.14

10.如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺

C.(4)(3)⑵⑴D.⑵(4)⑶⑴

11.不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中

随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球

的个数是（）

A.5B.10C.15D.20

12.如图，P为。外一点，PARS分别切。。于点A,反。。切。于点E且分别交PA、PB于点C,D,若%=4,

则的周长为（）

A.5B.7C.8D.10

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和ACDE的顶点都是网格线交点，那么NB4C+NCDE=,

14.如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=L连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形

ABiCiC,再连接AC”以对角线ACi为边作矩形ABiCiC的相似矩形AB2c2G,.......按此规律继续下去，则矩形

AB2019C2019C2018的面积为.

k

15.如图，以点。为圆心，半径为2的圆与y=-的图像交于点4B,若NAOB=30°，则k的值为

x

16.如图，把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.则小圆形场地的半径是米.

17.在AABC中，AB^AC.点。在直线上，DC=3DB,点E为AB边的中点,连接AO,射线CE交AO于

点则要的值为.

MD

18.如图，中，已知NC=90'，ZB=55°,点。在边上，BD=2CD.把线段BO绕着点O逆时针

旋转a度后，如果点8恰好落在用A4BC的边上，那么a=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，在矩形ABCO中，BC=24cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、。同时出发，分别沿边

AD.BC、CB、DA移动，当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其它各点也随之停止移动.己知移动段时间

后，若BQ=xcm（x彳0）,AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x?cm.当犬为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形

是平行四边形?

20.（8分）如图1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线。：丫=52+法+。与》轴相交于48两点，顶点为

D（0,4）,AB=4V2,设点尸（佻0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点尸旋转180。，得到新的抛物线。.

（1）求抛物线C的函数表达式：

（2）若抛物线。与抛物线C在》轴的右侧有两个不同的公共点，求，〃的取值范围.

（3）如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设Af是

C上的动点，N是。上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出加的值；若不能，请说明理由.

21.(8分)在3x3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.

(1).从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取的这一点及B、C为顶点三角形，则所画三角形是等腰三角形的概

率是;

(2).从A、D、E、F四点中先后任意取两个不□同的点□，以所□取的这两点及B、C为顶点画四边形，求所画四边形是

平行四边形的概率(用树状图或列表求解).□J□

22.(10分)如图，已知AABC,以AC为直径的。O交AB于点D,点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F,

且BF=BC,

(1)求证：BC是。O的切线；

(2)若。。的半径为2,—求CE的长.

AB5

23.(10分)如图，抛物线＞=/+云+。过原点，且与x轴交于点42,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点3的坐标;

(2)已知C(3,根)为抛物线上一点，连接OB,OC,BC,求tanNOBC的值;

(3)在第一象限的抛物线上是否存在一点P,过点尸作轴于点"，使以。，P,M三点为顶点的三角形

与AOBC相似，若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

y

24.（10分）如图，平行四边形ABC。中，々=30。，过点4作4£_13。于点后，现将八钻£沿直线4£翻折至闻;五

的位置，A/与CO交于点G.

（1）求证：CGBF=CDCF；

（2）若AB=4G，AD=S,求。G的长.

25.（12分）国庆期间电影《我和我的祖国》上映，在全国范围内掀起了观影狂潮.小王一行5人相约观影，由于票

源紧张，只好选择3人去A影院，余下2人去8影院，已知A影院的票价比8影院的每张便宜5元，5张影票的总价

格为310元.

（1）求A影院《我和我的祖国》的电影票为多少钱一张；

（2）次日，A影院《我和我的祖国》的票价与前一日保持不变，观影人数为4000人.B影院为吸引客源将《我和我

的祖国》票价调整为比4影院的票价低4％但不低于50元，结果B影院当天的观影人数比A影院的观影人数多了2a%,

经统计，当日A、8两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，求a的值.

26.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研其性质——运用函数解决问题”的

学习过程.如图，在平面直角坐标系中己经绘制了一条直线4.另一函数％与x的函数关系如下表：

X•・・-6-5-4-3-2-10123456・・・

y2・・・-211.7521.751-2—7-10.25・・・

0.250.254.2514

<i）求直线4的解析式;

（2）请根据列表中的数据，绘制出函数方的近似图像;

（3）请根据所学知识并结合上述信息拟合出函数%的解折式，并求出丫2与4的交点坐标•

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断.

【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；

②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；

③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；

④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键.

2、D

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.

【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；

8、原式方程为二元二次方程，不符合题意；

C、原式为分式方程，不符合题意；

。、原式为一元二次方程，符合题意，

故选：D.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.

3、B

【解析】根据矩形的性质，得△EBO之△FDO,再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与aABC同底且aAOB的

高是4ABC高的-得出结论.

2

【详解】解：•.•四边形为矩形，

.*.OB=OD=OA=OC,

在△£!«）与△FDO中，

NEOB=NDOF

*OB=OD,

/EBO=/FDO

/.△EBO^AFDO,

:.阴影部分的面积=5&\£0+5.150=5白八015,

VAAOB与aABC同底且△AOB的高是△ABC高的-,

2

.1

••SAAOB=SAOBC=二S矩彩ABCD.

4

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不

具备的性质.

4、D

【分析】根据根的判别式即可求出答案.

【详解】由题意可知：A=16-4“K）且存0,

.*.a<4且的绯，

所以a的最大值为4,

故选：D.

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.

5、A

【分析】由等弧的概念判断①，根据不在一条直线上的三点确定一个圆，可判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断

③，根据垂径定理判断④.

【详解】①同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，故①是假命题；

②不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线，则不能确定圆，故②是假命题；

③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③是假命题；

④圆两条直径互相平分，但不垂直，故④是假命题；

所以真命题共有0个，故选A.

【点睛】

本题考查圆中的相关概念，熟记基本概念才能准确判断命题真假.

6、C

【分析】根据平行四边形判断△MDNsaCBN,利用三角形高相等,底成比例即可解题.

【详解】解：•.•四边形ABCO是平行四边形,AM=2D0,

/.易证△MDNs/\CBN,

MD:BC=DN:BN=MN:CN=1：3,

•'•SAWDN：SaDNC=1：3,S△DNcJSAABD=1：4,（二角形身相等，底成比例）

VSACDN=3,

**•SAMDN=1,SADNC=3,SAABD=12,

S四边形ABNM=11,

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，中等难度,利用三角形高相等,底成比例是解题关

键.

7,B

【解析】过点0作OCLAB,垂足为C,则有AC=,AB=LX24=12,在RtaAOC中，ZAC0=90°,A0=13,

22

二0C=ylAO2-AC2=5,即点0到AB的距离是5.

8、B

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则

即可得答案.

J2x-1W5①

【详解】解:

[8-4x<0②

解不等式2xTW5,得：xW3,

解不等式8-4x<0,得：x>2,

故不等式组的解集为：2VxW3,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于

向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键.

9、A

【分析】根据比例的性质得到%=4。，结合。+。=14求得的值，代入求值即可.

【详解】解：由a：6=3：4a:6=3:4知38=4。，

所以匕=弓.

4Q

所以由a+0=14得到：a+—=14,

3

解得a=6.

所以方=8.

所以2a-b=2x6—8=4.

故选A.

【点睛】

考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若£=三，则。4=权：.

ba

10、C

【解析】试题分析：根据平行投影的特点和规律可知，(3),(4)是上午，(1),(2)是下午，根据影子的长度可知先

后为(4)(3)(2)(1).故选C.

考点：平行投影.

11、A

【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25,然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量.

【详解】设白球有x个，根据题意得：

x_505

20-2020,

解得：x=5,

即白球有5个，

故选A.

【点睛】

考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，

根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计

概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

12、C

【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE,DE=DB,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】解：...PA、PB分别切。0于点A、B,

/.PB=PA=4,

VCD切。O于点E且分别交PA、PB于点C,D,

/.CA=CE,DE=DB,

:.APCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连

线，平分两条切线的夹角.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、45

【分析】先利用平行线的性质得出ZR4C+NCDE=NACF+"CF=NACD,然后通过勾股定理的逆定理得出

△ACD为等腰直角三角形，从而可得出答案.

【详解】如图，连接AD,

DE

■:AB//CF//DE

ABAC=ZACF,ZCDE=ZDCF

...ZBAC+ZCDE=ZACF+ZDCF=ZACD

VCD2=32+F=10,AD2=32+F=10,AC2=42+22=20,

CD2+AD2=AC2

ZADC=90°,ZACD=45°

:.ZBAC+ZCDE=45°

故答案为45

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理及平行线的性质是解题的关键.

「2019

14、尹

【分析】利用勾股定理可求得AC的长，根据面积比等于相似比的平方可得矩形ABiGC的面积，同理可求出矩形

AB2c2C1、AB3c3c2,……的面积，从而可发现规律，根据规律即可求得第2019个矩形的面积，即可得答案.

【详解】•..在矩形ABCD中，AD=2,CD=L

•*,AC=yjAD2+CD2=A/5，

•・,矩形ABCD与矩形ABiCiC相似，

矩形ABiCiC与矩形ABCD的相似比为亚，

2

•••矩形ABiCiC与矩形ABCD的面积比为』，

4

,••矩形ABCD的面积为1x2=2,

二矩形ABiCiC的面积为2x-=-,

42

55255?

同理：矩形AB2c2cl的面积为一x—=—=—,

24823

3

矩形AB3c3c2的面积为—25X5-=—125=25-,

843225

5"

，矩形ABnCnCn-1面积为—5―7

02”一1

520,952019

矩形AB2019C2019C2018的面积为

2?0I9X2-I产

«2019

故答案为：尹

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，根据求出的结果得出规律并熟记相似图形的面积比等于相似

比的平方是解题关键..

15、百

【分析】过点B作BMJ_x轴，过点A作AN_Ly轴，先证ABOMgAAON,由此可求出NBOM的度数，再设B(a,

b),根据锐角三角函数的定义即可求出a、b的值，即可求出答案.

【详解】解：如图，过点B作BMj_x轴，过点A作AN_Ly轴，

k

,点B、A均在反比例函数y=—的图象上，OA=OB,

x

.,.点B和点A关于y=x对称,

/.AN=BM,ON=OM,

/.△BOM^AAON,

900-ZAOB

：.ZBOM=ZAON=------------------

2

VZAOB=30

,90°-ZAOB

二NBOM=------------------=30°,

2

设B(a,b),贝!JOM=a=OB・cos30°=2x@=6,BM=b=OBxsin30°=2x-=1,

22

k=ab=逝xl=5/3

故答案为G.

【点睛】

本题考查的是反比例函数综合题反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意作出辅助线构造出直角三角形，根据直角

三角函数求得B的坐标是解题的关键.

16、5+5及

［分析］根据等量关系“大圆的面积=2x小圆的面积”可以列出方程.

【详解】设小圆的半径为xm,则大圆的半径为(x+5)m,

根据题意得：IT(x+5)2=2nx2,

解得，x=5+50或x=5-5逝(不合题意，舍去).

故答案为5+50.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出.

2-4

17、一或；

33

【分析】分当点D在线段BC上时和当点D在线段CB的延长线上时两种情况讨论，根据平行线分线段成比例定理列

出比例式，计算即可.

【详解】解：当点D在线段BC上时，如图，

过点D作DF//CE,

VDC=3DB,

•••点E为AB边的中点，

，AE=EB,

.AMAEABF4

"~MD~~EF~3BF

当点D在线段CB的延长线上时，如图,

过点D作DF//CE,

,:DC=3DB,

DFBD1

——=——=一，即nnMF=2DF,

FMBC2

•.•点E为4?边的中点,

.♦.AE=EB,

.*.AM=MF=2DF

AM2DF2

MD3DF3

24

故答案为彳或彳.

33

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

18、70°或120°

【分析】分两种情况：①当点B落在AB边上时，②当点3落在AB边上时，分别求出a的值，即可.

【详解】①当点3落在AB边上时，如图1,

/.DB=DB

.*.ZB=ZDB/B=55°,

«=ZBDB/=180°-55°-55°=70°

②当点3落在AB边上时，如图2,

.,.DB=DBZ=2CD,

VZC=90»

.*.ZCB,D=30°,

二a=/BDB'=30°+90°=120°.

故答案是:70°或120°.

图2

图1

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质定理，画出图形分类讨论，是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、2或一3+屈

【分析】根据平行四边形的性质，得PN=QM,分两种情况：①当点P在点N的左侧时，②当点P在点N的右侧

时，分别列出关于x的方程，即可求解.

【详解】•••在矩形A3CD中，AD〃BC,

.•.以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，PN=QM.

①当点P在点N的左侧时，由PN=QM,

得：24—2x-x~=24-x—3x,

解得：玉=。(舍去)，々=2；

②当点P在点N的右侧时，由PN=QM,

得：(2x+x?)-24=24-x-3x,

解得：石=-3+^/^7,•X2=-3-\/^7(舍去)；

综上所述：当x=2或-3+后时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程与平行四边形的性质综合，根据等量关系，列出方程，时是解题的关键.

20、(1)y=-；d+4；(2)2＜加＜20;(3)四边形PMP'N可以为正方形，m=6

【分析】(1)由题意得出A,B坐标，并代入A3,。坐标利用待定系数法求出抛物线C的函数表达式；

(2)根据题意分别求出当C过点0(0,4)时m的值以及当C过点8(2J5,0)时m的值，并以此进行分析求得；

(3)由题意设代入解出n,并作“K_LO/，PHLfHH，利用正方形性质以及全等三角形性质得出

M为(加―2,2—加)，将加代入C：y=—gf+4即可求得答案.

【详解】解：(1)vAB=4＞/2

.-.A(-2V2,0),B(2V2,0)

将A,3,£＞三点代入得y=以2+hx+c

1

8a-2虚/?+c=0.a——

2

8。+2瓶+c=0.解得<b=0

c=4c=4

2

.•,J=_1X+4；

关于F（北0）对称的抛物线为

C\y=；（x-2加J-4

I

当C过点0（0,4）时有4=5（0—2m）92-4

解得：加=2

12

当C过点8（20,0）时有0=5（2及一2m）-4

解得:m=2V2

2<m<2^2

（3）四边形PMP'N可以为正方形

由题意设0（〃,〃）,

P是抛物线C第一象限上的点

:.--n2+4=n

2

解得:4=2,%=-2（舍去）即P（2,2）

如图作“KJ_O尸，PHLH/H,

MKLHK^K

四边形PMPN为正方形

易诬APHKWAFKM

.-.FK=HP=m-2

MK=HF=2

.•.M为（利一2,2-〃?）

，将M代入C：y=—gr+4得

1、2

2-m=-—[zm-2y+4

解得:班=6,啊=0(舍去)

当〃2=6时四边形PMFN'为正方形.

【点睛】

本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关

系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.

21、(1)—(2)—

43

【分析】(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角

形，即可得出答案；

(2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、

C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率.

【详解】解：(1)根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰

三角形，

所画三角形是等腰三角形的概率！4；

故答案为:

(2)用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果:

•.•以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，

41

所画的四边形是平行四边形的概率P=—=-.

123

考点：列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定.

22、(1)证明见详解；(2)包I.

5

【分析】(1)连接AE,求出NEAD+NAFE=90。，推出NBCE=NBFC,NEAD=NACE,求出NBCE+NACE=90。，

根据切线的判定推出即可.

Be3

(2)根据AC=4,——=-,求出BC=3,AB=5,BF=3,AF=2,根据NEAD=NACE,NE=NE证△AEFs^CEA,

AB5

推出EC=2EA,设EA=x,EC=2x,由勾股定理得出f+4/=质，求出即可.

(1)答：BC与。O相切.

证明：连接AE,

VAC是。O的直径

二ZE=90°,

,ZEAD+ZAFE=90°,

VBF=BC,

:.ZBCE=ZBFC=ZAFE,

为弧AD中点，

NEAD=NACE,

:.ZBCE+ZACE=ZEAD+ZAFE=90°,

.♦.ACJLBC,

：AC为直径，

.♦.BC是。O的切线.

(2)解：丁。。的半为2,

.♦.AC=4,

..BC_3

,~AB~5

/.BC=3,AB=5,

，BF=3,AF=5-3=2,

VZEAD=ZACE,NE=NE,

.,.△AEF^ACEA,

.EA_AF_2_I

.,.EC=2EA,

设EA=x,贝!］有EC=2x,

由勾股定理得:f+4%2=16,

475

(负数舍去),

5

即

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.

77

23、(1)抛物线的解析式为y=f—2x；顶点8的坐标为(1,—1)；(2)3；(3)P点的坐标为(§,g)或(5,15).

【分析】(1)用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；

(2)先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出N3OD=45。，NCOE=45°,从

OC

而有NBOC=90°,最后利用tan/OBC=而■求解即可；

(3)设P为(〃,/一2〃).由于NBOC=NOMP=90°,所以当以。，P,M三点为顶点的三角形与AQBC相似

,八f—「OMOCjPMOC八…人——一

时，分两种情况：而=而或三片而,分别建立方程计算即可・

【详解】解：(1)•••抛物线y=f+bx+c过原点，且与x轴交于点4(2,0),

c=0b=—2

：.\，解得<.

[4+2Z?+c=0”0

...抛物线的解析式为y=Y_2x.

Vy-x2—2x=(x—I)2—1,

•••顶点3的坐标为(L一1).

(2)•••C(3,w)在抛物线上，

:，“7=9—6=3.

作8D_Lx轴于。，作CELx轴于E,

则0£>=8。=1,OE=CE=3,

二N8QD=45°,NCOE=45°.

:.ZBOC=90°.

,-<6>B=712+l2=V2»OC=A/32+32=372-

oc

tanZOBC=—=3.

OB

(3)假设存在.

设P点的横坐标为n,则/>为(〃,〃2一2〃).

由于NBOC=ZOMP=90°,

所以当以。，P,M三点为顶点的三角形与AOBC相似时,

eOMOC一PMOC

有----=---或——=

PMOBOMOB

7

解得"=§或"=5.

二存在点P,使以0,P,M三点为顶点的三角形与AO8C相似.

77

••.尸点的坐标为匕7)或(5,15).

【点睛】

本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键.

O

24、(1)见解析；(2)-V3

3

【分析】(1)根据平行四边形的性质得AB〃CD,AB=CD,通过两角对应相等证明△FCGSZ\FBA,利用对应边成比

例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；

(2)根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE的长，再由折叠性质求出BF长，结合

(1)的结论代入数据求解.

【详解】解(1)•••四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD,AB=CD,AD=BC

:.ZGCF=ZB,ZCGF=ZBAF,

/.△FCG^AFBA,

.CGCF

•CG_CF

"CD-BF

:.CGBF=CDCF.

(2)'：AE