四川大学概率统计第1章-图文课件

概率论与数理统计Cl_hu@163.comProbability&Statistics2/10/20231概率论的诞生分赌注问题：甲、乙两个赌徒按某种方式下注赌博，说定先胜t局将赢得全部赌注。但进行到甲胜r局，乙胜s局，（r,s<t）因故不得不中止，试问如何分配这些赌注才公平合理？巴斯卡和费马在1654年给出了正确的解法。2/10/20232第一章概率论基础知识§1.1样本空间与随机事件2/10/20233例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):可能结果为:={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}可见，该随机试验的所有可能的结果，构成一个集合：我们称该集合为这个随机试验的样本空间。2/10/20235§1.1.2样本空间samplespaceΩ表示一个试验的所有可能的集合，称Ω为样本空间.而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本点.

2/10/20236随机事件event样本空间的子集.例：掷一颗骰子，观察出现的点数={1,2,3,4,5,6｝样本空间：B={1,3,5｝B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.事件B就是

的一个子集2/10/20237§1.1.3事件的关系及运算1.事件的包含与相等A发生必然导致B发生例如:A={1}，B={1，3，5}2.{A,B中至少一个发生}{A1,…An中至少一个发生}2/10/20239

{A,B同时发生}3.§1.1.3事件的关系及运算例如：A={1，3，5}；B={2，4，6}，则AB=说明AB同时发生是不可能事件；2/10/2023104.{A发生而B不发生}A－B=

ΩA-B5.A与B互不相容（或互斥）§1.1.3事件的关系及运算B2/10/202311§1.1.3事件的关系及运算7.A1,A2,…,An构成完备事件组

完备事件组将样本空间分为有限个互不相容的事件的和。2/10/202313运算律：(Page4)•交换律•结合律•分配律•对偶律2/10/202314例1.1检查产品质量时，从一批产品中任意抽取5件进行检查，设事件请用集合表示下列事件：（1）完备事件组；（2）发现两件或三件次品；（3）最多两件次品；（4）至少一件次品；2/10/202315例1.2(3)至少两门优秀(4)恰有两门优秀;2/10/202317我们关心某个随机事件A发生的可能性大小：想法：用P(A)来度量，P(.)的取值跟A有关，即：用一个与A有关函数来定义。因此：P(.)是个集函数。下面考虑该集函数的应具有的性质。§1.2事件发生的概率2/10/202318§1.2.1频率及性质定义1.1在次重复试验中，若事件A发生了次，则称为事件A发生的频数，称为事件A发生的频率，记为试验者nnAfn(A)蒲丰K.皮尔逊K.皮尔逊4040120002400020486019120120.50700.50160.5005大量实践表明：频率有波动性，但随着试验次数增加，频率总稳定在某个值附近。2/10/202319概率的性质一般地，若2/10/202321AΩΩBA-BBA小结论:概率的性质2/10/2023226°（一般加法公式）推广：概率的性质2/10/202323例1.6（续）A，B为两事件，已知接2/10/202325§1.3.1古典概型（1）试验只有有限个可能结果;（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；在古典概型中，若中有n个样本点，事件A中有k个样本点，则2/10/202326（2）无放回抽样中包含样本点，即从N个球中不放回抽取n个我们感兴趣的是：n个中有k个红球概率论中称为是超几何分布的概率公式2/10/202329例1.1030只元件中有27只一等品，3只二等品。随机将30只元件均分装入三盒，求：（1）每盒有一只二等品的概率；（2）有一盒有3只二等品的概率；解：（1）3只二等品均分到三个盒子有：1233x2x1种可能性。余下的27只应该平均分到3个盒子中；有：种分法。2/10/202330第2个问题，首先从3个盒子中任选一个出来放3只二等品，这个盒子的另7只从余下的27个一等品中选；例1.102/10/202331§1.3.2几何概型例1.11随机在单位圆内掷一点M,求M点到原点距离小于1/4的概率.11/4解：2/10/202332几何概率的计算A作为一般的欧氏区域，m(A)作为A的测度（一维是长度，2维是面积等）就得到几何概率计算方法：如果把2/10/202333例1.12某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。解：2/10/202334２４２１Y=x+1Y=x-2解：2/10/202335例1.13蒲丰问题1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。得数竟然是π的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。2/10/202336平行线的距离a，针的长度l，求针与平行线相交的概率。怎样描述针与直线相交的情况？X表示针的中点与最近的一条平行线的距离2/10/202337例1.13蒲丰问题2/10/202338取a=2L，投针N次，如果有k次与直线相交，则Phi的近似值为N/k例1.13蒲丰问题2/10/202339零概率事件不一定不发生在[0,1]区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少?010.5P=点(0.5)的长度/[0,1]区间的长度=02/10/202340§1.4.1条件概率例1.14一个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的)解:由题意,样本空间为:设B={其中一个是女孩},A={两个女孩}则B={(M,F),(F,M),(F,F)},A={(F,F)}因此,要求的是:P(A|B)=1/32/10/202341定义1.3

（P.16）设A，B是两个事件，且则称为事件B发生的条件下事件A的条件概率。易知,条件概率具有如下性质:2/10/202342条件概率的性质2/10/202343§1.4.2乘法公式2/10/202344例1.162/10/202345例1.162/10/202346§1.4.3全概率与贝叶斯公式例1.18一在线计算机系统,有3条输入线,其性质如下表:通讯线通讯量份额无误差的讯息份额1230.40.350.250.99980.99990.9997(1)求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率;2/10/202347例1.18(续)解:设事件B:“一讯号无误差地被接受”Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3由题意，问题转化为，已知：2/10/202348例1.18(续)A1A2A3B我们的做法是把样本空间分割成了3个不相交的部分，这样，事件B也被分割成3部分：利用乘法公式可得2/10/202349例1.18(续)原问题简化为，已知：2/10/202350例1.18(续)(2)已知一讯号是有误差地被接受,则这一讯号最有可能来自哪条通讯线路?解：由（1），已知P(B)=0.99981，想（本质是一个条件概率）2/10/202351定理1.1全概率与Bayes公式设Ai是样本空间的完备事件组,P(Ai)>0,即2/10/202352例1.19一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二次比赛时再从盒中任取两球,求:(1)第2次取出两个新球的概率(2)已知第2次取出两个新球,而第一次仅取出1个新球的概率.解:把第1次取球的所有可能情况,作为样本空间的划分,Ai:第1次取出i个新球,i=0,1,22/10/202353例1.19(续)第1步:P(A0)=?,P(A1)=?,P(A2)=?第2步:P(B|A0)=?,P(B|A1)=?,P(B|A2)=?第3步:写公式:第4步:利用Bayes公式计算第2问;2/10/202354例1.19(续)一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二次比赛时再从盒中任取两球,(1)令Ai:第一次取出i个新球,i=0,1,2同理(2)令B:第二次取出2个新球,计算P(B|Ai)2/10/202355例1.19(续)=0.2893(2)已知第2次取出两个新球,而第一次仅取出1个新球的概率.=0.53332/10/202356商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？课堂练习解:设B:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.A0,A1,A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品.2/10/202357已知:P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1由Bayes公式:2/10/202358医学统计分析，人群中患某种疾病的人数占总人数的0.5%，一种血液化验以95%的概率将患有此病的人检查出阳性，但也以1%的概率将不患此病的人检查出阳性。现设某人检查出阳性，问他确实患有此病的概率？例1.20样本空间的另一种划分方式将人群划分为:(有病的)A和(没有病)A2/10/202359§1.5事件的独立性定义1.4设A,B是随机试验E的两个事件，若则称事件A，B

相互独立

性质:2/10/202360证明事件的独立性A,B独立BA2/10/202361§1.5.1事件的独立性两两独立与相互独立定义1.5：设A1，A2，…，An(n>=2)是n个事件，如果Ai，Aj是其中任意两个事件，(i≠j)有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)则称这n个事件两两独立。2/10/202362注意相互独立与两两独立的区别定义1.6设A1，A2，…，An(n>=2)是n个事件，如果则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。2/10/202363例如:三个事件的独立若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：

P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

则称事件A、B、C相互独立。2/10/202364利用事件的独立性计算概率例1.22敌机俯冲时,被一门高射机枪击中的概率是0.05,现集中100门高射机枪,求击中目标的概率。

解:假设Ai:第i门击中,则所求事件为A2/10/202365独立性在可靠理论中的应用(1)串联系统2/10/202366独立性在可靠理论中的应用(2)并联系统2/10/202367例1.23该系统由5个元件组成,每个元件独立地工作,正常工作的概率为r,求该系统的可靠性.独立性在可靠理论中的应用12345解:2/10/202368§1.5.2贝努利概型将随机试验重复进行n次,若每次的结果互