江苏省南京市建邺中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析

江苏省南京市建邺中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中的真命题是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2 B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≥b，则a2≥b2 D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，若a＞|b|，则a＞|b|≥0，a2＞b2；B，若|a|＞b，则b有可能为负值，则a2＞b2不一定成立；对于C，若比如a=2，b=﹣4，则a2＜b2；D，比如a=1，b=0，c=﹣1，d=0，ac＜bd；【解答】解：对于A，若a＞|b|，则a＞|b|≥0，a2＞b2，故正确；对于B，若|a|＞b，则b有可能为负值，则a2＞b2不一定成立，故错；对于C，若a≥b，比如a=2，b=﹣4，则a2＜b2故错；对于D，若a＞b，c＞d，则ac＞bd不一定成立，比如a=1，b=0，c=﹣1，d=0，故错；故选：A．2.下列说法正确的是（

）

A.函数的极大值大于函数的极小值

B.若，则为函数的极值点

C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值参考答案：D3.若，则等于（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A4.（5分）（2009?天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．23参考答案：B【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin=4+3=7，故选B．【点评】：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．5.设则p，q，r的大小关系为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.若，则的导函数的解集为（

）A.(0,+∞) B.(－1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(－1,0)参考答案：C令f′(x)＝2x－2－>0，利用数轴标根法可解得－1<x<0或x>2，又x>0，所以x>2.故选C.7.已知点P是抛物线y2=﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+y﹣10=0的距离是d2，则dl+d2的最小值是（） A． B．2 C．6 D．3参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【专题】计算题；综合题． 【分析】根据抛物线的方程，得到焦点为F（﹣2，0），准线方程是x=2．然后作PQ与垂直准线，交于点Q，过作PM与直线x+y﹣10=0垂直，交于点M，可得PQ=d1，PM=d2．连接PF，根据抛物线的定义可得d1+d2=PF+PM，因此当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10=0垂直时，dl+d2最小，最后用点到直线的距离公式，可求出这个最小值． 【解答】解：∵抛物线方程是y2=﹣8x， ∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线方程是x=2 P是抛物线y2=﹣8x上一点，过P点作PQ与准线垂直，垂足为Q， 再过P作PM与直线x+y﹣10=0垂直，垂足为M 则PQ=d1，PM=d2 连接PF，根据抛物线的定义可得PF=PQ=d1，所以d1+d2=PF+PM， 可得当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10=0垂直时，dl+d2最小．（即图中的F、P0、M0位置） ∴dl+d2的最小值是焦点F到直线x+y﹣10=0的距离， 即（dl+d2）min== 故选C 【点评】本题借助于求抛物线上一动点到两条定直线的距离之和的最小值问题，考查了抛物线的定义与简单几何性质和点到直线距离公式等知识点，属于中档题． 8.在等差数列{an}中，a1，且3a8=5a13，则Sn中最大的是

（）A.

S20

B.

S21

C.

S10

D.S11参考答案：A略9.△ABC中，若，则△ABC的形状为（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．锐角三角形参考答案：B10.若.则(

)

A.20

B.19

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为第三象限角,,则_____________.（原创题）参考答案：12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．参考答案：【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．13.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是_____________.

参考答案：14.已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．参考答案：【考点】过两条直线交点的直线系方程；方程组解的个数与两直线的位置关系．【分析】先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x轴的交点，与y轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的k值．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即

2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．【点评】本题考查直线过定点问题，二次函数的性质得应用，体现了转化及数形结合的数学思想．15.某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要用系统抽样法从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________；若用分层抽样方法，则50岁以上年龄段应抽取__________人．参考答案：37

，

8.16.已知中心在原点且焦点在x轴的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为____________．参考答案：略17.6人排成一排，则甲不站在排头的排法有

种．（用数字作答）．参考答案：600【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先排列甲有5种结果，再排列其余5个人，是一个全排列共有A55，根据乘法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先排列甲有5种结果，再排列其余5个人，是一个全排列共有A55∴根据分步计数原理得到共有5A55=600，故答案为：600三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片．当初向各地作了广告推广，同时广告对销售收益也有影响．在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：百万元）232

7表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．参考答案：【考点】线性回归方程；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）?m=0.5m=1，故m=2；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.2+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；…（Ⅲ）空白栏中填5．由题意可知，，，，，根据公式，可求得，，即回归直线的方程为．…19.如图为一简单组合体，其底面ABCD为边长2正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且．（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB．（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，证明DB⊥AC，AC⊥PD，推出AC⊥面PBD，然后证明NE⊥面PDB．证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，推出EN⊥PB，EN⊥DB，然后证明NE⊥面PDB．（2）连结DN，证明DN⊥PB，求出平面PBE的法向量，求出平面ABCD的法向量，设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，利用数量积求解平面PBE与平面ABCD所成的二面角．【解答】（本题12分）解：（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，∵F为BD的中点，∴NF∥PD且又EC∥PD且，则NF∥EC且NF=EC∴四边形NFCE为平行四边形∴NE∥FC﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD∴AC⊥PD，又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴NE⊥面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则则﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∴EN⊥PB，EN⊥DB﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵PB，DB?面PDB，且PB∩DB=B∴NE⊥面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）连结DN，由（1）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，∵，∴DN⊥PB∴为平面PBE的法向量，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵为平面ABCD的法向量，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴θ=45°，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．20.(本小题满分12分)已知函数在及处取得极值．(1)求、的值；(2)求的单调区间参考答案：（1）由已知因为在及处取得极值，所以1和2是方程的两根故、（2）由（1）得

当或时，，是增加的；当时，，是减少的。所以，的单调增区间为和，的单调减区间为.21.(本小题满分13分)已知复数,求:(1)

(2);

(3).参考答案：z2=-1+i…………3分(1)z1+=(2-3i)+(-1-i)=1-4i.………6分(2)z1·z2=(2-3i)(-1+i)=1+5i.………9分(3)=………13分22.已知函数（Ⅰ）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足，求△ABC的面积．（Ⅱ）将函数f(x)的图像向右平移个单位得到函数g(x)的图像，若，求函数g(x)的值域；参考答案：．．．．．．．．1分，．．．．．．．．．