江苏省南京市梅村中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

江苏省南京市梅村中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：A=2，P=1，S=0，满足条件S≤2，则P=2，S=，满足条件S≤2，则P=3，S=，满足条件S≤2，则P=4，S=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．2.在△ABC中，,则A的取值范围是（A）

（B）

(C)

（D）参考答案：C

本题考查三角函数的正弦定理和余弦定理以及三角函数的知识，考查了学生对有关式子的变形能力，难度一般。

因为，所以由正弦定理化简得，即，由余弦定理得，,所以，选择C。

3.若方程没有实数根，则实数的取值范围为（

）A

B

C

D参考答案：C略4.复数（

）A． B．

C．

D．参考答案：C.故选C.5.已知，，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C6.设函数，则满足的x的取值范围是(

)A．，2] B．[0，2] C．[1，+) D．[0，+)参考答案：D略7.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．

B．+1 C．D．﹣1参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．8.在ΔABC中，tanA是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差；tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形必为

（

）A．等腰三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．锐角三角形参考答案：答案：D9.设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：①若数列既是等差数列，又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.其中真命题的个数是（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略10.设x，y满足若目标函数z=ax+y（a>0）的最大值为14，则a=(

）A．1

B．2

C．23

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量满足的夹角为，则参考答案：

12.执行右侧的程序框图,输出的结果S的值为

．参考答案：由程序框图可知，这是求的程序。在一个周期内，所以。13.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为

．参考答案：试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.考点：几何体的外接球，基本不等式.14.已知三棱锥A-SBC的体积为，各顶点均在以SC为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________。参考答案：16π【分析】由，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，得出,再在在直角中，利用勾股定理，求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以,在直角中，,即球的半径为，所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了球内接三棱锥的组合体的应用，其中解答中熟练球的截面的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.15.在边长为6的等边三角形ABC中，．则_____?参考答案：24【分析】以为一组基底，用这组基底表示,最后用数量积公式求得24.【详解】【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、平面向量基本定理、向量的加法几何意义，本题易错的地方是误把看成的夹角.16.对于给定的正整数和正数，若等差数列满足，则的最大值为__________________．参考答案：【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列;方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法.【试题分析】因为数列是等差数列，所以，所以，又因为,即,关于的二次方程有解，则，化简得,所以,,所以，故答案为.17.（5分）设（1﹣x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2=．参考答案：30【考点】：二项式定理的应用．【专题】：计算题．【分析】：要求a2，只要求解展开式中的含x2项的系数，根据题意只要先求出（1+2x）5的通项，即可求解解∵（1﹣x）（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，而（1+2x）5展开式的通项为∴（1﹣x）（1+2x）5=展开式中含x2的项为=30x2∴a2=30故答案为：30【点评】：本题主要考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，解题的关键是寻求指定项得到的途径三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，．（1）求函数在()上的最小值；（2）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值；（3）若函数有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．参考答案：解由题，（I）令（1）当时，在上单调递减，在上单调递增（2）当时，在上单调递增（II）由题在上有且只有一个根19.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，，P为线段AB上一点，，.（1）证明：PQ∥平面SAD；（2）求四面体C-DPQ的体积.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）想要证明线面平行，就要证线线平行。取的中点，可以证明，进一步可以证明，这样根据平行四边形的性质可以得到线线平行，命题得证；（2）根据平面，为的中点，可以求出到平面的距离，利用等积法可以求出四面体的体积。【详解】解：（1）证明：由已知得如图，取的中点，连接，，由为中点知，.又，故，∴，又∵平面，从而证得平面；（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为，如图，取的中点，连接.由得，则.故.所以四面体的体积.【点睛】本题考查了线面平行的判定，一般取中点是常见的方法。同时本题也考查了利用等积法求三棱锥的体积。20.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列。（1）

求数列的通项；（2）

求数列的前项和参考答案：（1）（舍）

（2）由等比数列求和公式，略21.已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点是第一象限内椭圆上一点，且在轴上的正投影为右焦点，过点作直线分别交椭圆于两点，当直线的倾斜角互补时，试问：直线的斜率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）由题设知，由椭圆的定义知：的周长为，解得.

故因此，所以椭圆的方程为.

.............5分（Ⅱ）证明：依题意知，点，设直线的方程为：，联立，得，则，

即，.............8分又，即，）又直线的倾斜角互补，则直线的斜率为同理可得：，），

.............10分因此，直线的斜率为为定值.

.........12分22.在平面直角坐标系xOy中，直l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）参考答案：解：（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程=0，将代入=0得=0．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为普通方程为x2+y2﹣4x=0．联立解得：或，∴l与C交点的极坐标分别为：，．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）将直线直l的参数方程（t为参数），消去参数t，即可化为普通方程，将代入=0可得极坐标方程．（2）C曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ