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文档简介
〔江苏专用〕2022版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质练习文苏教版PAGE19-第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质1.(2022·南京模拟)椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1的离心率是________.[解析]由椭圆方程可得a=5,b=3,c=4,e=eq\f(4,5).[答案]eq\f(4,5)2.(2022·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))方程eq\f(x2,\f(m+1,2))+eq\f(y2,m2+m)=1表示双曲线,那么实数m的取值范围是________.[解析]因为方程eq\f(x2,\f(m+1,2))+eq\f(y2,m2+m)=1表示双曲线,所以当焦点在x轴上时,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m+1,2)>0,m2+m<0)),解得-1<m<0;当焦点在y轴上时,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m+1,2)<0,m2+m>0)),解得m<-1.所以实数m的取值范围是m<-1或-1<m<0.[答案](-∞,-1)∪(-1,0)3.(2022·南京、盐城模拟)假设双曲线x2-y2=a2(a>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,那么a=________.[解析]双曲线x2-y2=a2的右焦点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)a,0)),抛物线y2=4x的焦点为(1,0),从而eq\r(2)a=1,故a=eq\f(\r(2),2).[答案]eq\f(\r(2),2)4.(2022·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,以直线y=±2x为渐近线,且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是________.[解析]因为抛物线焦点为(1,0),所以双曲线的焦点也在x轴上,故可设所求双曲线标准方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0).又双曲线的渐近线为y=±2x,故eq\f(b,a)=2.即所求双曲线的标准方程为x2-eq\f(y2,4)=1.[答案]x2-eq\f(y2,4)=15.(2022·镇江期末)假设双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq\f(1,4),那么该双曲线的渐近线方程是________.[解析]不妨设焦点为(c,0),那么由题意得双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,故eq\f(1,4)(2c)=eq\f(bc,\r(a2+b2))=eq\f(bc,c)=b,即c=2b,从而a=eq\r(c2-b2)=eq\r(4b2-b2)=eq\r(3)b,故双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x=±eq\f(\r(3),3)x.[答案]y=±eq\f(\r(3),3)x6.(2022·江苏省高考名校联考(三))如图,假设C是椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上位于第一象限内的点,A,B分别是椭圆的左顶点和上顶点,F是椭圆的右焦点,且OC=OF,AB∥OC,那么该椭圆的离心率为________.[解析]设点C(x0,y0),那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)=c2,\f(y0,x0)=\f(b,a))),解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0=\f(ac,\r(a2+b2)),y0=\f(bc,\r(a2+b2)))),代入椭圆方程得eq\f(\f(a2c2,a2+b2),a2)+eq\f(\f(b2c2,a2+b2),b2)=1,整理得2c2=a2+b2,又a2=b2+c2,故2c2=a2+a2-c2,所以e2=eq\f(2,3),又0<e<1,故e=eq\f(\r(6),3).[答案]eq\f(\r(6),3)7.(2022·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy中,双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右准线与两条渐近线分别交于A,B两点.假设△AOB的面积为eq\f(ab,4),那么该双曲线的离心率为______.[解析]双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x,右准线方程为x=eq\f(a2,c),联立可求得两交点的纵坐标为±eq\f(ab,c),所以△AOB的面积S=eq\f(1,2)×eq\f(2ab,c)×eq\f(a2,c)=eq\f(ab,4),得eq\f(c2,a2)=4,e=eq\f(c,a)=2.[答案]28.双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),P是双曲线上任一点,假设双曲线的离心率的取值范围为[2,4],那么eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值的取值范围是________.[解析]设P(m,n),那么eq\f(m2,a2)-eq\f(n2,b2)=1,即m2=a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(n2,b2))).又F1(-1,0),F2(1,0),那么eq\o(PF1,\s\up6(→))=(-1-m,-n),eq\o(PF2,\s\up6(→))=(1-m,-n),eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=n2+m2-1=n2+a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(n2,b2)))-1=n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(a2,b2)))+a2-1≥a2-1,当且仅当n=0时取等号,所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为a2-1.由2≤eq\f(1,a)≤4,得eq\f(1,4)≤a≤eq\f(1,2),故-eq\f(15,16)≤a2-1≤-eq\f(3,4),即eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(15,16),-\f(3,4))).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(15,16),-\f(3,4)))9.(2022·江苏高考命题研究专家原创卷)抛物线的方程为y2=4x,过其焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3,O为坐标原点,那么△AOF的面积和△BOF的面积的比值为________.[解析]易知F(1,0),不妨设A在第一象限,B在第四象限.因为|AF|=3,所以xA+1=3,解得xA=2,代入抛物线方程可得yeq\o\al(2,A)=4×2,得yA=2eq\r(2),所以直线AB的方程为y=eq\f(2\r(2)-0,2-1)(x-1),即y=2eq\r(2)x-2eq\r(2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=2\r(2)x-2\r(2),y2=4x)),消去x得,y2-eq\r(2)y-4=0,所以2eq\r(2)yB=-4,解得yB=-eq\r(2),所以△AOF的面积和△BOF的面积的比值为eq\f(|yA|,|yB|)=2.[答案]210.(2022·南京模拟)椭圆x2+eq\f(y2,b2)=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B.过F、B、C作圆P,其中圆心P的坐标为(m,n).当m+n>0时,那么椭圆离心率的取值范围是________.[解析]设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),那么FC、BC的中垂线分别为x=eq\f(1-c,2),y-eq\f(b,2)=eq\f(1,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2))).联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=\f(1-c,2),,y-\f(b,2)=\f(1,b)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2))),))解出eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=\f(1-c,2),,y=\f(b2-c,2b).))m+n=eq\f(1-c,2)+eq\f(b2-c,2b)>0,即b-bc+b2-c>0,即(1+b)·(b-c)>0,所以b>c.从而b2>c2,即有a2>2c2,所以e2<eq\f(1,2).又e>0,所以0<e<eq\f(\r(2),2).[答案]0<e<eq\f(\r(2),2)11.(2022·扬州期末)双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P,F是双曲线的右焦点.(1)求证:PF⊥l;(2)假设PF=3,且双曲线的离心率e=eq\f(5,4),求该双曲线方程.[解](1)证明:右准线为x=eq\f(a2,c),由对称性不妨设渐近线l为y=eq\f(b,a)x,那么Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c),\f(ab,c))),又F(c,0),所以kPF=eq\f(\f(ab,c)-0,\f(a2,c)-c)=-eq\f(a,b),又因为kl=eq\f(b,a),所以kPF·kl=-eq\f(a,b)·eq\f(b,a)=-1,所以PF⊥l.(2)因为PF的长即F(c,0)到l:bx-ay=0的距离,所以eq\f(|bc|,\r(a2+b2))=3,即b=3,又e=eq\f(c,a)=eq\f(5,4),所以eq\f(a2+b2,a2)=eq\f(25,16),所以a=4,故双曲线方程为eq\f(x2,16)-eq\f(y2,9)=1.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为eq\f(1,2),两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)假设直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.[解](1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为eq\f(1,2),两准线之间的距离为8,所以eq\f(c,a)=eq\f(1,2),eq\f(2a2,c)=8,解得a=2,c=1,于是b=eq\r(a2-c2)=eq\r(3),因此椭圆E的标准方程是eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符,当x0≠1时,直线PF1的斜率为eq\f(y0,x0+1),直线PF2的斜率为eq\f(y0,x0-1).因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-eq\f(x0+1,y0),直线l2的斜率为-eq\f(x0-1,y0),从而直线l1的方程:y=-eq\f(x0+1,y0)(x+1),①直线l2的方程:y=-eq\f(x0-1,y0)(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=eq\f(xeq\o\al(2,0)-1,y0),所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-x0,\f(xeq\o\al(2,0)-1,y0))).因为点Q在椭圆E上,由对称性,得eq\f(xeq\o\al(2,0)-1,y0)=±y0,即xeq\o\al(2,0)-yeq\o\al(2,0)=1或xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)=1.又P在椭圆E上,故eq\f(xeq\o\al(2,0),4)+eq\f(yeq\o\al(2,0),3)=1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)-yeq\o\al(2,0)=1,,\f(xeq\o\al(2,0),4)+\f(yeq\o\al(2,0),3)=1,))解得x0=eq\f(4\r(7),7),y0=eq\f(3\r(7),7);eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)=1,,\f(xeq\o\al(2,0),4)+\f(yeq\o\al(2,0),3)=1,))无解.因此点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),7),\f(3\r(7),7))).13.(2022·南通市高三第一次调研测试)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2),焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)假设P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线y=eq\r(2)于点Q,求eq\f(1,OP2)+eq\f(1,OQ2)的值.[解](1)由题意得,eq\f(c,a)=eq\f(\r(2),2),eq\f(a2,c)-c=1,解得a=eq\r(2),c=1,又b2=a2-c2,所以b=1.所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)+y2=1.(2)由题意知OP的斜率存在.当OP的斜率为0时,OP=eq\r(2),OQ=eq\r(2),所以eq\f(1,OP2)+eq\f(1,OQ2)=1.当OP的斜率不为0时,设直线OP的方程为y=kx(k≠0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)+y2=1,,y=kx,))得(2k2+1)x2=2,解得x2=eq\f(2,2k2+1),所以y2=eq\f(2k2,2k2+1),所以OP2=eq\f(2k2+2,2k2+1).因为OP⊥OQ,所以直线OQ的方程为y=-eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=\r(2),,y=-\f(1,k)x))得x=-eq\r(2)k,所以OQ2=2k2+2.所以eq\f(1,OP2)+eq\f(1,OQ2)=eq\f(2k2+1,2k2+2)+eq\f(1,2k2+2)=1.综上可知,eq\f(1,OP2)+eq\f(1,OQ2)=1.14.(2022·江苏名校高三入学摸底)为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产平安,海事部门在某平台O的正西方向和正东方向设立了两个观测站A、B,它们到平台O的距离都为5海里,并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域.(1)建立适当的平面直角坐标系,求禁航区域边界曲线的方
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