（江苏专用）2023版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质练习文苏教版

〔江苏专用〕2022版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质练习文苏教版PAGE19-第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质1．(2022·南京模拟)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率是________．[解析]由椭圆方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝eq\f(4,5)．[答案]eq\f(4,5)2．(2022·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))方程eq\f(x2,\f(m＋1,2))＋eq\f(y2,m2＋m)＝1表示双曲线，那么实数m的取值范围是________．[解析]因为方程eq\f(x2,\f(m＋1,2))＋eq\f(y2,m2＋m)＝1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)>0,m2＋m<0))，解得－1<m<0；当焦点在y轴上时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)<0,m2＋m>0))，解得m<－1．所以实数m的取值范围是m<－1或－1<m<0．[答案](－∞，－1)∪(－1，0)3．(2022·南京、盐城模拟)假设双曲线x2－y2＝a2(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，那么a＝________．[解析]双曲线x2－y2＝a2的右焦点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)a，0))，抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，从而eq\r(2)a＝1，故a＝eq\f(\r(2),2)．[答案]eq\f(\r(2),2)4．(2022·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，以直线y＝±2x为渐近线，且经过抛物线y2＝4x焦点的双曲线的方程是________．[解析]因为抛物线焦点为(1，0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．又双曲线的渐近线为y＝±2x，故eq\f(b,a)＝2．即所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1．[答案]x2－eq\f(y2,4)＝15．(2022·镇江期末)假设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq\f(1,4)，那么该双曲线的渐近线方程是________．[解析]不妨设焦点为(c，0)，那么由题意得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，故eq\f(1,4)(2c)＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，即c＝2b，从而a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(4b2－b2)＝eq\r(3)b，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x．[答案]y＝±eq\f(\r(3),3)x6．(2022·江苏省高考名校联考(三))如图，假设C是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC＝OF，AB∥OC，那么该椭圆的离心率为________．[解析]设点C(x0，y0)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2,\f(y0,x0)＝\f(b,a)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(ac,\r(a2＋b2)),y0＝\f(bc,\r(a2＋b2))))，代入椭圆方程得eq\f(\f(a2c2,a2＋b2),a2)＋eq\f(\f(b2c2,a2＋b2),b2)＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2，所以e2＝eq\f(2,3)，又0＜e＜1，故e＝eq\f(\r(6),3)．[答案]eq\f(\r(6),3)7．(2022·高三第三次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．假设△AOB的面积为eq\f(ab,4)，那么该双曲线的离心率为______．[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，右准线方程为x＝eq\f(a2,c)，联立可求得两交点的纵坐标为±eq\f(ab,c)，所以△AOB的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(2ab,c)×eq\f(a2,c)＝eq\f(ab,4)，得eq\f(c2,a2)＝4，e＝eq\f(c,a)＝2．[答案]28．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，假设双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，那么eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值的取值范围是________．[解析]设P(m，n)，那么eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，即m2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n2,b2)))．又F1(－1，0)，F2(1，0)，那么eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(1－m，－n)，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝n2＋m2－1＝n2＋a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n2,b2)))－1＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为a2－1．由2≤eq\f(1,a)≤4，得eq\f(1,4)≤a≤eq\f(1,2)，故－eq\f(15,16)≤a2－1≤－eq\f(3,4)，即eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(15,16)，－\f(3,4)))．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(15,16)，－\f(3,4)))9．(2022·江苏高考命题研究专家原创卷)抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3，O为坐标原点，那么△AOF的面积和△BOF的面积的比值为________．[解析]易知F(1，0)，不妨设A在第一象限，B在第四象限．因为|AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入抛物线方程可得yeq\o\al(2,A)＝4×2，得yA＝2eq\r(2)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(2\r(2)－0,2－1)(x－1)，即y＝2eq\r(2)x－2eq\r(2)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－2\r(2),y2＝4x))，消去x得，y2－eq\r(2)y－4＝0，所以2eq\r(2)yB＝－4，解得yB＝－eq\r(2)，所以△AOF的面积和△BOF的面积的比值为eq\f(|yA|,|yB|)＝2．[答案]210．(2022·南京模拟)椭圆x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．当m＋n>0时，那么椭圆离心率的取值范围是________．[解析]设F、B、C的坐标分别为(－c，0)，(0，b)，(1，0)，那么FC、BC的中垂线分别为x＝eq\f(1－c,2)，y－eq\f(b,2)＝eq\f(1,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))．联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－c,2)，,y－\f(b,2)＝\f(1,b)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，))解出eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－c,2)，,y＝\f(b2－c,2b)．))m＋n＝eq\f(1－c,2)＋eq\f(b2－c,2b)>0，即b－bc＋b2－c>0，即(1＋b)·(b－c)>0，所以b>c．从而b2>c2，即有a2>2c2，所以e2<eq\f(1,2)．又e>0，所以0<e<eq\f(\r(2),2)．[答案]0<e<eq\f(\r(2),2)11．(2022·扬州期末)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)假设PF＝3，且双曲线的离心率e＝eq\f(5,4)，求该双曲线方程．[解](1)证明：右准线为x＝eq\f(a2,c)，由对称性不妨设渐近线l为y＝eq\f(b,a)x，那么Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又F(c，0)，所以kPF＝eq\f(\f(ab,c)－0,\f(a2,c)－c)＝－eq\f(a,b)，又因为kl＝eq\f(b,a)，所以kPF·kl＝－eq\f(a,b)·eq\f(b,a)＝－1，所以PF⊥l．(2)因为PF的长即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距离，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝3，即b＝3，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(25,16)，所以a＝4，故双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(1,2)，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．(1)求椭圆E的标准方程；(2)假设直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．[解](1)设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为eq\f(1,2)，两准线之间的距离为8，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(2a2,c)＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，因此椭圆E的标准方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0)．设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0．当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符，当x0≠1时，直线PF1的斜率为eq\f(y0,x0＋1)，直线PF2的斜率为eq\f(y0,x0－1)．因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－eq\f(x0＋1,y0)，直线l2的斜率为－eq\f(x0－1,y0)，从而直线l1的方程：y＝－eq\f(x0＋1,y0)(x＋1)，①直线l2的方程：y＝－eq\f(x0－1,y0)(x－1)．②由①②，解得x＝－x0，y＝eq\f(xeq\o\al(2,0)－1,y0)，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x0，\f(xeq\o\al(2,0)－1,y0)))．因为点Q在椭圆E上，由对称性，得eq\f(xeq\o\al(2,0)－1,y0)＝±y0，即xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝1或xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1．又P在椭圆E上，故eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝1，,\f(xeq\o\al(2,0),4)＋\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，))解得x0＝eq\f(4\r(7),7)，y0＝eq\f(3\r(7),7)；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，,\f(xeq\o\al(2,0),4)＋\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，))无解．因此点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(7),7)，\f(3\r(7),7)))．13．(2022·南通市高三第一次调研测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，焦点到相应准线的距离为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)假设P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝eq\r(2)于点Q，求eq\f(1,OP2)＋eq\f(1,OQ2)的值．[解](1)由题意得，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(a2,c)－c＝1，解得a＝eq\r(2)，c＝1，又b2＝a2－c2，所以b＝1．所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1．(2)由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，OP＝eq\r(2)，OQ＝eq\r(2)，所以eq\f(1,OP2)＋eq\f(1,OQ2)＝1．当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx，))得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝eq\f(2,2k2＋1)，所以y2＝eq\f(2k2,2k2＋1)，所以OP2＝eq\f(2k2＋2,2k2＋1)．因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－eq\f(1,k)x．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)，,y＝－\f(1,k)x))得x＝－eq\r(2)k，所以OQ2＝2k2＋2．所以eq\f(1,OP2)＋eq\f(1,OQ2)＝eq\f(2k2＋1,2k2＋2)＋eq\f(1,2k2＋2)＝1．综上可知，eq\f(1,OP2)＋eq\f(1,OQ2)＝1．14．(2022·江苏名校高三入学摸底)为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产平安，海事部门在某平台O的正西方向和正东方向设立了两个观测站A、B，它们到平台O的距离都为5海里，并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域．(1)建立适当的平面直角坐标系，求禁航区域边界曲线的方