有限元分析理论基础

材料力学与弹性力学

—本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。预备知识第1页/共39页第一页，共40页。弹性力学—区别与联系—材料力学

1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。第2页/共39页第二页，共40页。弹性力学—区别与联系—材料力学

3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。第3页/共39页第三页，共40页。材料力学—区别与联系—弹性力学第4页/共39页第四页，共40页。弹性力学—区别与联系—材料力学

总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：第5页/共39页第五页，共40页。弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。第6页/共39页第六页，共40页。弹性力学中关于材料性质的假定(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。第7页/共39页第七页，共40页。2023/2/118§2-1外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法一、外力

外力可以分为体积力、面积力和节点之中力*，分别用以下符号表示：1）体积力

2）表面力

3）节点集中力

节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。第8页/共39页第八页，共40页。2023/2/119二、应力

空间三维问题

平面问题三、应变空间三维问题

平面问题四、位移空间三维问题

平面问题一维问题

一维问题

一维问题

第9页/共39页第九页，共40页。2023/2/1110§2-2弹性力学的基本方程一、平衡方程

在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得：第10页/共39页第十页，共40页。2023/2/1111第11页/共39页第十一页，共40页。2023/2/1112整理后得到：在上式中消掉得到利用和还可以得到另外两个方程，即：弹性体平衡微分方程

该方程给出地是微元体的平衡条件，即平衡的微分条件。也就是说如果整个结构处于平衡状态，结构内部任意点（微元体）都必须满足的条件。第12页/共39页第十二页，共40页。2023/2/1113二、几何方程给出弹性体内部任意点处的应变与位移之间的微分关系。

1、应变与位移的关系以为例，弹性体内任意点的应变与位移的关系如图示：

在结构取一微小线段，两个端点变形前的坐标分别为：、两个端点变形后的坐标分别为：、第13页/共39页第十三页，共40页。2023/2/1114在小变形情况下，变形后微小线段的长度可以近似表示为为：根据应变的定义可得：第14页/共39页第十四页，共40页。2023/2/1115

同理可推导出其它5个应变分量。则弹性体内任意点的6个应变分量可以表示为：对于平面问题，应变-位移关系可以简化为：对于一维问题，应变-位移关系可以进一步简化为：第15页/共39页第十五页，共40页。2023/2/11162、应变-位移关系的矩阵表示三维情况令：其中称微分算子，称算子矩阵。第16页/共39页第十六页，共40页。2023/2/1117二维问题的应变-位移关系可简化为：一维问题的应变-位移关系可进一步简化为：则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵形式：第17页/共39页第十七页，共40页。2023/2/1118三、物理方程（本构关系）

1、有限元本构关系的矩阵形式为：对于三维情况有：

第18页/共39页第十八页，共40页。2023/2/11192、对于二维平面应力问题的定义平面应力由此可以得出

此时有

3、对于二维平面应变问题的定义平面应变由此可以得出

此时有

第19页/共39页第十九页，共40页。2023/2/1120四、相容方程（协调方程）

相容方程给出弹性体的变形协调性条件，弹性体在变形之前是连续的，变形后仍然要保持连续。即弹性体内部各点的位移必须是单值连续的，不能出现重叠或开裂现象。

由于有限元采用的多项式位移插值函数全部满足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作要求。第20页/共39页第二十页，共40页。虚功原理及虚功方程图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。第21页/共39页第二十一页，共40页。虚功原理

进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(1-15)式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。

对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的和所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。第22页/共39页第二十二页，共40页。虚功原理

必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力，由于支点C没有位移，故所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的和是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。第23页/共39页第二十三页，共40页。虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：

这就是虚功方程，其中P和相应的代表力和虚位移。第24页/共39页第二十四页，共40页。虚功原理----用于弹性体的情况

虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-15)或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：

W=T-U；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0

外力虚功T=内力虚功

U

弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。第25页/共39页第二十五页，共40页。2023/2/1126有限元分析的一般过程一、结构的离散化

将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点相互连接的离散系统。这一步要解决以下几个方面的问题:1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效计算载荷。第26页/共39页第二十六页，共40页。2023/2/1127

在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。

位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。二、选择位移插值函数

1、位移插值函数的要求第27页/共39页第二十七页，共40页。2023/2/1128

形函数的性质：1）相关节点处的值为1，不相关节点处的值为0。2）形函数之和恒等于1。2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求：

1）位移插值函数必须包含常应变状态。2）位移插值函数必须包含刚体位移。3、复杂单元形函数的构造

对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。以阶梯轴的形函数为例两个形函数分别为在节点有：在节点有：在任何点有：

这里我们称为的相关节点，为的相关节点，其它点均为不相关节点。第28页/共39页第二十八页，共40页。2023/2/1129

使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的，也可以采用叠加计算。1、计算单元弹性应变能

——

单元体积。

由几何关系代入前式有：

令：

称单元刚度矩阵，简称单刚。

这样单元弹性应变能可以表示为：

三、

单元分析目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。第29页/共39页第二十九页，共40页。2023/2/11302、计算单元外力功

1)体力虚功令：

称单元等效体力载荷向量。

单元体力虚功可以表示为：

2)表面力虚功——单元上外力已知的表面

,注意！这里只考虑结构的边界表面。令：

称单元等效面力载荷向量。

单元表面力虚功可以表示为：

第30页/共39页第三十页，共40页。2023/2/1131从前面推导可以看出：

单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量的计算公式即可。所以我们说有限元分析的第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。几点说明：

1）单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。2）按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响分析结果。第31页/共39页第三十一页，共40页。2023/2/1132四、整体分析

目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理：

1、计算整个结构的弹性应变能。

令：

——结构整体刚度矩阵（总刚）

此时结构的弹性应变能可以表示为：

结构的弹性应变能可计算的部分只有所以我们说，结构的弹性应变能的计算就归结为总刚的计算。第32页/共39页第三十二页，共40页。2023/2/11332、计算整个结构的外力虚功。

将变换形式写成

将变换形式写成外力虚功可以表示为：

令：

——结构整体等效节点载荷向量。

外力虚功可以进一步表示为：

结构的外力虚功可计算的部分只有

所以我们说，结构的外力虚功可计算就归结为结构整体等效节点载荷向量的计算。第33页/共39页第三十三页，共40页。2023/2/11343、计算整个结构的势能并代入最小势能原理。

将结构弹性应变能及外力虚功的表达式代入结构势能表达式，则结构的势能可以表示为：

将上式代入泛函的极值条件

或

可以得到

移项后有

——结构近似平衡方程。

结构近似平衡方程的物理意义与平衡微分方程等价，但该方程放松了对平衡的要求，给出的仅仅是近似的平衡条件。这非常有利于进行近似求解。第34页/共39页第三十四页，共40页。2023/2/11354、实际应用时结构近似平衡方程的生成

实际应用时我们完全可以根据单元刚度矩阵、单元等效体力载荷向量、单元等效面力载荷向量及节点集中载荷向量直接生成结构近似平衡方程，现在举例说明生成过程。例3-1一图示桁架结构，各节点自由度编号如图：①②③④第35页/共39页第三十五页，共40页。2023/2/11365、整体刚度矩阵的性质1）稀疏性整体刚度矩阵是一个大型稀疏矩阵，非零元素不到10%，对于大型实际问题可能只有2%~5%。3）对称性整体刚度矩阵也是是对称矩阵。程序设计时可以充分利