有限元基础课程学习

《有限元法》考核方式2一个有限元程序（MATLAB语言编写）时间：第19周前全部完成3口试1有限元学习报告（打字）

第20周考试结束第1页/共68页第一页，共69页。第1章有限元法绪论第1节概述Clough--Thefiniteelementmethod起源:50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner,Clough60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域

实质:对力学模型进行近似数值计算的方法将无限自由度问题变成有限自由度问题分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理杆系结构学习方法:与矩阵位移法对比—相同与不同之处了解基本原理,各种方法的共性与实质通过自编程序进一步熟悉原理连续体应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS,

各种专用程序第2页/共68页第二页，共69页。第2节弹性力学基本方程一、平衡方程二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、边界条件(应力,位移)位移应力第3页/共68页第三页，共69页。续第2节弹性力学基本方程—矩阵表示位移列阵体积力列阵应力列阵应变列阵表面外法线方向余弦矩阵微分算子列阵表面力列阵已知位移列阵二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、应力边界条件一、平衡方程位移边界条件第4页/共68页第四页，共69页。第3节虚位移原理

弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条件的虚位移，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。总虚变形功：对于平面问题：虚位移原理总外力虚功：第5页/共68页第五页，共69页。第4节最小势能原理

在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。总势能：即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。最小势能原理形变势能：外力势能：形变势能变分:外力势能变分:即：外力势能的变分表达式与外力虚功负值的表达式完全相同。第6页/共68页第六页，共69页。第2章杆系结构有限元第1节等直杆单元分析位移列阵由结点位移得设位移模式其中:待定参数为:结点位移表示的位移模式为:形函数矩阵为:1、用结点位移表示单元的位移模式第7页/共68页第七页，共69页。2、用结点位移表示应变和应力第1节等直杆单元分析续1第8页/共68页第八页，共69页。3、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵第1节等直杆单元分析续2第9页/共68页第九页，共69页。1、分布轴力p(x)的移置第2节等效结点力计算等效结点力——原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力2、分布扭转力矩m(x)的移置3、分布横向力q(x)的移置第10页/共68页第十页，共69页。第3节单元刚度矩阵的坐标变换坐标转换矩阵第11页/共68页第十一页，共69页。第3章平面问题有限元分析第2节矩形双线性单元第3节收敛准则多项式位移模式阶次的选择第1节三角形常应变单元第4节六结点三角形单元第5节四结点四边形等参单元第6节八结点四边形等参单元第12页/共68页第十二页，共69页。第3章平面问题有限元分析第1节三角形常应变单元一、离散化

将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。三角形网格划分结点力,单元结点力结点位移,单元结点位移二、位移模式与形函数第13页/共68页第十三页，共69页。第1节三角形常应变单元(续1)代数余子式I二阶单位阵,[N]形函数矩阵第14页/共68页第十四页，共69页。第1节三角形常应变单元(续2)三、应变四、应力应变矩阵为常量，单元内应变是常数

应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。第15页/共68页第十五页，共69页。第1节三角形常应变单元(续3)五、单元刚度矩阵第16页/共68页第十六页，共69页。第1节三角形常应变单元(续4)六、等效结点力、载荷列阵第17页/共68页第十七页，共69页。第1节三角形常应变单元(续5)七、形函数的性质第18页/共68页第十八页，共69页。第1节三角形常应变单元(续6)八、面积坐标第19页/共68页第十九页，共69页。第2节矩形双线性单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数正方形规则单元正方形单元与矩形单元的关系形函数的性质：本点处值为1，它点处值为0第20页/共68页第二十页，共69页。第2节矩形双线性单元(续1)二、应变三、应力平面应力问题第21页/共68页第二十一页，共69页。第2节矩形双线性单元(续2)四、单元刚度矩阵第22页/共68页第二十二页，共69页。第3节收敛准则多项式位移模式阶次的选择一、收敛准则1、位移模式必须包含单元的刚体位移满足条件1、2的单元为完备单元二、多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调满足条件3的单元为协调单元几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关帕斯卡三角形多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。第23页/共68页第二十三页，共69页。第4节六结点三角形单元一、位移模式与形函数取三角形顶点和边中点作结点，位移模式为：六结点三角形单元用面积坐标表示的形函数为：二、应变第24页/共68页第二十四页，共69页。第4’节十结点三角形三次单元确定位移模式和形函数取三角形各边三分点和面积坐标相等的内点作为结点——十结点三角形单元。十结点三角形单元第25页/共68页第二十五页，共69页。第5节四结点四边形等参单元一、母单元的形函数母单元三、位移模式四边形单元二、坐标变换由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元）四、导数的坐标变换其中：第26页/共68页第二十六页，共69页。第5节四结点四边形等参单元（续1）五、面积微元的坐标变换第27页/共68页第二十七页，共69页。第6节八结点四边形等参单元一、母单元的形函数母单元三、位移模式八结点四边形单元二、坐标变换第28页/共68页第二十八页，共69页。第4章空间与轴对称问题有限元分析第2节四面体等参数单元第3节八结点六面体等参数单元第1节四面体常应变单元第4节二十结点六面体等参数单元第5节轴对称三角形单元第6节轴对称等参数单元第29页/共68页第二十九页，共69页。第4章空间与轴对称问题有限元分析第1节四面体常应变单元一、位移模式与形函数代数余子式四面体单元第30页/共68页第三十页，共69页。第1节四面体常应变单元(续1)[I]三阶单位阵,[N]形函数矩阵二、应变矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载第31页/共68页第三十一页，共69页。第2节四面体等参数单元二、坐标的等参变换四面体单元一、体积坐标三、四面体十结点单元第32页/共68页第三十二页，共69页。第3节八结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第33页/共68页第三十三页，共69页。第4节二十结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第34页/共68页第三十四页，共69页。第4节二十结点六面体等参数单元(续1)[I]三阶单位阵,[N]形函数矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换七、单元刚度矩阵第35页/共68页第三十五页，共69页。第4节二十结点六面体等参数单元(续2)八、单元等效结点荷载第36页/共68页第三十六页，共69页。第5节轴对称三角形单元二、应变一、位移模式三角形环形单元内的应变不是常数！代数余子式第37页/共68页第三十七页，共69页。第5节轴对称三角形单元(续1)四、单元刚度矩阵三、应力近似单刚矩阵子块第38页/共68页第三十八页，共69页。第5节轴对称三角形单元(续2)五、等效结点力第39页/共68页第三十九页，共69页。第6节轴对称等参数单元三、导数坐标变换一、形函数与位移模式母单元二、坐标变换与平面八结点形式相同！第40页/共68页第四十页，共69页。第6节轴对称等参数单元(续1)六、单元刚度矩阵五、应力四、应变七、等效结点力第41页/共68页第四十一页，共69页。第6节轴对称等参数单元(续2)第42页/共68页第四十二页，共69页。第5章板的弯曲有限元分析第2节矩形12自由度单元第3节三角形单元第1节薄板弯曲理论基础第4节其他第43页/共68页第四十三页，共69页。第5章

板的弯曲有限元分析第1节薄板弯曲理论基础一、薄板基本假设平板内力二、基本方程第44页/共68页第四十四页，共69页。第1节薄板弯曲理论基础(续1)第45页/共68页第四十五页，共69页。第2节矩形12自由度单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数第46页/共68页第四十六页，共69页。第6章壳的弯曲有限元分析第2节矩形12自由度单元第3节单元第1节薄板弯曲理论基础第4节单元第5节单元第6节单元第47页/共68页第四十七页，共69页。第4章空间与轴对称问题有限元分析第1节四面体常应变单元一、位移模式与形函数代数余子式四面体单元第48页/共68页第四十八页，共69页。第1节四面体常应变单元(续1)[I]三阶单位阵,[N]形函数矩阵二、应变矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载第49页/共68页第四十九页，共69页。第2节四面体等参数单元二、坐标的等参变换四面体单元一、体积坐标三、四面体十结点单元第50页/共68页第五十页，共69页。第3节八结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第51页/共68页第五十一页，共69页。第4节二十结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第52页/共68页第五十二页，共69页。第4节二十结点六面体等参数单元(续1)[I]三阶单位阵,[N]形函数矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换七、单元刚度矩阵第53页/共68页第五十三页，共69页。第4节二十结点六面体等参数单元(续2)八、单元等效结点荷载第54页/共68页第五十四页，共69页。第5节轴对称三角形单元二、应变一、位移模式四、应力三角形环形单元内的应变不是常数！第55页/共68页第五十五页，共69页。第5节轴对称三角形单元(续1)五、单元刚度矩阵第56页/共68页第五十六页，共69页。第7章广义变分原理第2节泛函及其变换格式第3节含可选参数的广义变分原理第1节虚力原理与最小余能原理第4节第5节第6节第57页/共68页第五十七页，共69页。第7章广义变分原理第1节虚力原理与最小余能原理广义变分原理：研究如何将有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。一、虚力原理给定位移状态协调的充分必要条件是，对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立：二、最小余能原理变形体的总余能：在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充分必要条件是，变形体的总余能取驻值——最小余能原理。虚位移原理等价于平衡条件；虚力原理等价于变形协调条件。第58页/共68页第五十八页，共69页。第1节虚力原理证明（续1）一、必要性证明已知位移状态协调、虚应力是任意平衡的，虚力原理成立。二、充分性证明已知对一切自平衡的虚应力虚功方程恒成立。与应力对应的位移协调第59页/共68页第五十九页，共69页。第1节虚力原理证明（续2）根据格林公式，可得第60页/共68页第六十页，共69页。第1节虚力原理证明（续3）第61页/共68页第六十一页，共69页。第2节泛函及其变换格式一、概述1、变量的分类——泛函变量、增广变量泛函中所显含的自变函数，称为泛函的泛函变量2、泛函所满足条件的分类——强制条件、自然条件、增广条件泛函中除泛函变量之外，对所讨论问题应包含的函数，称为泛函的增广变量3、两泛函间关系的分类——广义等价、等价、互等泛函中泛函变量必须事先满足的条件，称为强制条件由泛函的变分等于零所导出的条件（欧拉方程），称为自然条件泛函中泛函变量与增广变量或两增广变量间应满足的条件，称为增广条件两泛函所包含的变量相同，所满足的全部条件相同，则此两个泛函广义等价若两广义等价的泛函其所包含的变量对应且相同，所满足条件也对应相同，则此两泛函等价若两等价泛函间只相差一个比例系数，则此两个泛函为互等4、泛函的变换格式——放松格式、增广格式、等价格式有一个泛函变成另一个泛函有3种常用的格式：放松格式、增广格式、等价格式。第62页/共68页第六十二页，共69页。第2节泛函及其变换格式（续1）