有限脉冲响应数字滤波器的设计

式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即

θ(ω)=τω,τ为常数(7.1.3)

如果θ(ω)满足下式：

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)

严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即第1页/共81页第一页，共82页。

也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即

h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)

满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即

h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第2页/共81页第二页，共82页。(1)第一类线性相位条件证明：将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(7.1.7)第3页/共81页第三页，共82页。

按照上式可以将H(z)表示为

将z=ejω代入上式，得到：

按照(7.1.2)式，幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为(7.1.8)(7.1.9)第4页/共81页第四页，共82页。(2)第二类线性相位条件证明：(7.1.10)令m=N-n-1,则有同样可以表示为第5页/共81页第五页，共82页。因此，幅度函数和相位函数分别为(7.1.11)(7.1.12)第6页/共81页第六页，共82页。第7页/共81页第七页，共82页。第8页/共81页第八页，共82页。2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点

1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg(ω)为

式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第9页/共81页第九页，共82页。令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13)(7.1.14)式中第10页/共81页第十页，共82页。

按照(7.1.13)式，由于式中cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。

2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。第11页/共81页第十一页，共82页。3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数将(7.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有(7.1.15)(7.1.16)第12页/共81页第十二页，共82页。4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：

令m=(N-1)/2-n，则有(7.1.17)(7.1.18)令m=N/2-n,则有第13页/共81页第十三页，共82页。(7.1.19)(7.1.20)第14页/共81页第十四页，共82页。3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：(7.1.21)

图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布第15页/共81页第十五页，共82页。4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有第16页/共81页第十六页，共82页。(7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，(7.1.23)第17页/共81页第十七页，共82页。图7.1.2第一类线性相位网络结构第18页/共81页第十八页，共82页。图7.1.3第二类线性相位网络结构第19页/共81页第十九页，共82页。7.2利用窗函数法设计FIR滤波器

设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此第20页/共81页第二十页，共82页。

相应的单位取样响应h-d(n)为(7.2.1)(7.2.2)

为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)第21页/共81页第二十一页，共82页。

我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第22页/共81页第二十二页，共82页。

以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(7.2.4)

式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即(7.2.5)第23页/共81页第二十三页，共82页。RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ejω)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：第24页/共81页第二十四页，共82页。

将H(ejω)写成下式：(7.2.6)第25页/共81页第二十五页，共82页。

图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响第26页/共81页第二十六页，共82页。

通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：

(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。

(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似为

第27页/共81页第二十七页，共82页。

下面介绍几种常用的窗函数。设

h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函数。

1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)

前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为第28页/共81页第二十八页，共82页。2.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其频率响应为(7.2.9)第29页/共81页第二十九页，共82页。3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗当N1时，N-1≈N，第30页/共81页第三十页，共82页。图7.2.3汉宁窗的幅度特性第31页/共81页第三十一页，共82页。4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗(7.2.11)其频域函数WHm(ejω)为其幅度函数WHm(ω)为当N>>1时，可近似表示为第32页/共81页第三十二页，共82页。5.布莱克曼(Blackman)窗(7.2.13)其频域函数为其幅度函数为(7.2.14)第33页/共81页第三十三页，共82页。图7.2.4常用的窗函数第34页/共81页第三十四页，共82页。

图7.2.5常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第35页/共81页第三十五页，共82页。

图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；

(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第36页/共81页第三十六页，共82页。6.凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)式中I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：第37页/共81页第三十七页，共82页。

一般I0(x)取15~25项，便可以满足精度要求。α参数可以控制窗的形状。一般α加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4<α<9。当α=5.44时，窗函数接近哈明窗。α=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数为(7.2.16)第38页/共81页第三十八页，共82页。

表7.2.1凯塞窗参数对滤波器的性能影响第39页/共81页第三十九页，共82页。表7.2.2六种窗函数的基本参数第40页/共81页第四十页，共82页。

下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。

(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ejω)，那么单位取样响应用下式求出：(7.2.17)(7.2.18)根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：第41页/共81页第四十一页，共82页。

例如，理想低通滤波器如(7.2.1)式所示，求出单位取样响应hd(n)如(7.2.2)式，重写如下：

(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。

(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，

h(n)=hd(n)w(n)第42页/共81页第四十二页，共82页。(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：第43页/共81页第四十三页，共82页。

例7.2.1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。解用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有第44页/共81页第四十四页，共82页。

用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：第45页/共81页第四十五页，共82页。图7.2.7例7.2.1的低通幅度特性第46页/共81页第四十六页，共82页。7.3利用频率采样法设计FIR滤波器

设待设计的滤波器的传输函数用Hd(ejω)表示，对它在ω=0到2π之间等间隔采样N点，得到Hd(k)，再对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n)，(7.3.1)(7.3.2)第47页/共81页第四十七页，共82页。

式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数H(z)为(7.3.3)(7.3.4)第48页/共81页第四十八页，共82页。1.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件

FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是：(7.3.5)(7.3.6)(7.3.7)奇数偶数第49页/共81页第四十九页，共82页。

在ω=0~2π之间等间隔采样N点，

将ω=ωk代入(7.3.4)~(7.3.7)式中，并写成k的函数：(7.3.8)(7.3.9)奇数偶数(7.3.10)(7.3.11)第50页/共81页第五十页，共82页。

设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为ωc，采样点数N，Hg(k)和θ(k)用下面公式计算：

N=奇数时，(7.3.12)第51页/共81页第五十一页，共82页。N=偶数时，(7.3.13)第52页/共81页第五十二页，共82页。2.逼近误差及其改进措施如果待设计的滤波器为Hd(ejω),对应的单位取样响应为hd(n)，

则由频率域采样定理知道，在频域0~2π之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN(ω)，即第53页/共81页第五十三页，共82页。

由采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为第54页/共81页第五十四页，共82页。

图7.3.1理想低通滤波器增加过渡点第55页/共81页第五十五页，共82页。

例7.3.1利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率ωc=π/2rad，采样点数N=33，选用h(n)=h(N-1-n)情况。解用理想低通作为逼近滤波器。按照(7.3.12)式，

对理想低通幅度特性采样情况如图7.3.2所示。将采样得到的第56页/共81页第五十六页，共82页。图7.3.2对理想低通进行采样第57页/共81页第五十七页，共82页。图7.3.3例7.3.1的幅度特性第58页/共81页第五十八页，共82页。图7.3.4例7.3.1——(N=65)有两个过渡点幅度特性第59页/共81页第五十九页，共82页。7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器

如果用E(ejω)表示Hd(ejω)和所设计滤波器H(ejω)之间的频响误差

E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω)(7.4.1)

其均方误差为(7.4.2)第60页/共81页第六十页，共82页。1.切比雪夫最佳一致逼近准则设希望设计的滤波器幅度特性为Hd(ω)，实际设计的滤波器幅度特性为Hg(ω)，其加权误差E(ω)用下式表示：

E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］(7.4.3)

为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)=h(n-N-1),N=奇数情况，第61页/共81页第六十一页，共82页。将Hg(ω)代入(7.4.3)式，则(7.4.4)

式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题是选择M+1个系数a(n),使加权误差E(ω)的最大值为最小，即第62页/共81页第六十二页，共82页。

该定理指出最佳一致逼近的充要条件是E(ω)在A上至少呈现M+2个“交错”，使得第63页/共81页第六十三页，共82页。第64页/共81页第六十四页，共82页。2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位FIR滤波器设我们希望设计的滤波器是线性相位低通滤波器，其幅度特性为

如果我们知道了A上的M+2个交错点频率：ω0,ω1,:,ωM+1,按照(7.4.4)式，并根据交错点组准则，可写出(7.4.5)第65页/共81页第六十五页，共82页。

将(7.4.5)式写成矩阵形式，(7.4.6)第66页/共81页第六十六页，共82页。(1)在频域等间隔取M+2个频率ω0,ω1,:,ωM+1，作为交错点组的初始值。按下式计算ρ值：(7.4.7)(7.4.8)第67页/共81页第六十七页，共82页。

一般初始值ωi并不是最佳的极值频率，ρ也不是最优估计误差，它是相对于初始值产生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg(ω)，即(7.4.9)(7.4.10)(7.4.11)第68页/共81页第六十八页，共82页。(2)对上次确定的ω0,ω1,:,ωM+1中每一点，都检查其附近是否存在某一频率|E(ω)|>ρ，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。

(3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E(ω)|>|ρ|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。第69页/共81页第六十九页，共82页。图7.4.2雷米兹算法流程图第70页/共81页第七十页，共82页。3.线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g(ω)分别如下式：

奇数奇数偶数偶数第71页/共81页第七十一页，共82页。

经过推导可把H-g(ω)统一表示为

Hg(ω)=Q(ω)P(ω)(7.4.13)

式中，P(ω)是系数不同的余弦组合式，Q(ω)是不同的常数，四种情况的Q(ω)和P(ω)如表7.4.1所示。第72页/共81页第七十二页，共82页。