杨辉三角与二项式系数的性质

一般地，对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？第1页/共16页第一页，共17页。1．“杨辉三角”的来历及规律

杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………第2页/共16页第二页，共17页。二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．第3页/共16页第三页，共17页。二项式系数的性质2．二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：第4页/共16页第四页，共17页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由于：所以相对于的增减情况由决定．

第5页/共16页第五页，共17页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

由：

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，第6页/共16页第六页，共17页。二项式系数的性质（2）增减性与最大值

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。第7页/共16页第七页，共17页。（3）各二项式系数的和

二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

第8页/共16页第八页，共17页。

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（1）

（2）

（3）当时，

（4）

当时，第9页/共16页第九页，共17页。课堂练习：1）已知，那么=

；2）的展开式中，二项式系数的最大值是

；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；第10页/共16页第十页，共17页。

例1

证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2

已知的展开式中，第第11页/共16页第十一页，共17页。

例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416第12页/共16页第十二页，共17页。例4、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。第13页/共16页第十三页，共17页。1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_______

2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习(1+

)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.第14页/共16页第十四页，共17页。

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结第15页/共16页第十五页，共17页。感谢您的观看！第16页/共16页第十六页，共17页。内容总结一般地，对于nN*有。二项展开式中的二项式系数指的是那些。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式。数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项。2、在(1